Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Из приведенной таблицы видно, что максимальная погрешность нормального приближения Пуассона (при самом благоприятном их использовании в зависимости от т и р) оказываетсяв2,5 раза больше максимальной погрешности приближения (1) и более чем в 28 раз превышает погрешность приближения (11). Приближения, соответствующие формулам (6) и (7), несколько громоздки. Для практических расчетов более удобными оказываются вычисления по формулам (2) и (3) при помощи таблиц 3.3 (по этим таблицам определяется поправка либо к приближению (1), либо к видоизмененному нормальному прнблин«еиию; см. описание таблиц 3.3). Н р в м е р. В введении к сборввку (Т27) (с. 64 пример 36) показано, что ври и = 30 и р = 0,2 имеют место неравенства Р (Р < 2) < 0 05 < Р (Р < 3), Р ()«) 1Ц < 0,05 < Р (!«) 10). (8) Ниже приводятся точные значения зтвх вероятностей, вычисленные по таблице 5.1, а также несколько првблвженвых значений, соответствующих формулам (4) (5) в (6) (в предпоследней строке даны приближенные звзченвя, зычзсленные но таблице 3.36), рядом указаны отвосвтельные погрешности.
Таням образом, в случае замены вероятно«тек вх нормальным кли пуассововсквм приближением первое вз неравенств (8) ве зыполняетсл: зтв приближения слввжоь«грубые. Остальные првбляжевия можно првзнать удозлетворвтельвыми. ег > !е! о!и > ггг Р!э аз! и!и ~ 3! ааачение 0,02562 0,06109 О,!2271 0,04418 Точное По формулам: (4) (5] (6] прн у=у, (6) прп у= у, с поправкой по таблице 3.36 (6] прн у=у, 0 01999 22оо 0,04262 67ойо 0,02687 4,9о4 0,12692 3,5% 0 15120 24ой О,'12385 0,93оо 0 05508 9,9ой 0 08392 38ео 0,06289 3,0% 0 05508 25о4 О,ОЩэг 4!2% 0,04484 1,4% 0 12274 0 03о'„ 0 !2272 0,0!ойо 0,02559 О,!2% 0,02566 0,16% 0 00112 0 05оо 0 06!12 0 05оо 0,04419 0 Озоо 0,04418 0,00% Таблица 5.2.
Доверительные пределы для параметра Р биномиального распределения Согласно общей теории интервальных оце нок нижний доверительный предел ч для неизвестной вероятности р определяется как решение уравнения Х (р, и — ]г + 1) = 1 — Р, (9) где Р— заданный коэффпциеят доверия (0,5 ~( Р < 1), и — общее количество независимых испытаний, р — число испытаний, в которых наблюдался исход А, 1„(а, Ь)— функция В-распределения (см. описание таблиц 3.3 и 5.1, а также [11, 18, 28, 47, 55, 121)).
Верхний доверительный предел П представляет собой решение уравнения 1п(]г + 1, гг — р) = Р. (10) При этом, если ]г = О, то л = 0; если же 9=и, то П=1. Пара чисел л и П, соответствующая одним и тем же значениям р, и и Р, определяет для неизвестной вероятности р доверительный интервал (л, П) скоэффициентомдоверия 2Р— 1. В таблице 5.2 указаны пары чисел (л, П) с тремя десятичными знаками для Р = 0,95; 0,975; 0,995 (т. е. для 2Р— 1 = 0,90; 0,95; 0,99) н ]г, и — р = 0 (1) 20 (2) 30 (5) 50, 60, 80, 100, 200, 500, оо. Доверительные пределы, соответствующие Р = 0,975; 0,995, заимствованы из сборника таблиц [Т50).
Часть таблиц 5.2, относящаяся к коэффициенту доверия Р = 0,95, вычислена в отделе математической статистики Математического института АН СССР. Тан как в силу формул (9) и (10) л и П нредставляют собой (1 — Р)-квантиль и Р-кван- тиль В-распределения, то в обозначениях из описания таблиц 3.4 л =Х(1 — Р; ]г, и — ]3+1), П=Х(Р; ]3+1, и — ]г). (11) Поэтому согласно формуле (3.29) л ==1 — Х(Р; и — 9+1, 9), В=1 — Х(1 — Р; и — р, р г 1). Танич образом, (1 — л) и (1 — П) — верхний и нижний доверительные пределы для д = =1 — р: 1 — л=Х(Р; р'+1, и — р,'), 1 — П = Х (1 — Р; ]г', и — р' + 1), где ц' = и — ]г.
В силу этого свойства без ограничения общности можно считать, что в формуле (9) и > 29 — 1, а в формуле (10) и ь ) 2]г + 1 (в противном случае всегда можно вместо р и ]г рассматривать 1 — р и и — ]г). Предыдущее замечание показывает, что приближенные значения доверительных пределов для р можно вычислять по формуле (3.31), где в случае оценки л следует положить: а = ]г, И = 2и — ]!+1 и х = х (100 Р%, 2]г) — так называемая 100Р-процентная точка ](3-распределения с 29 степенями свободы. При вычислении верхнего доверительного предела П следует положить а = ]г + 1, И = 2и — [г, х = х [100 (1 — Р)%; 2]г + 2[. Формулы (3.31) и (3.33) полезны для вычисления л и П в тех точках ([г, и —.9), которые не совпадают с табличными, а также.для экстраполяции таблицы 5.2.
Все сказанное в предисловии к таблицам 3.4 об интерполяции по каждому из аргументов аги!Ь .относится также и к интерполяции л и П по 'аргументам ]г или и — р. П р н м е р. В 65 независимых испытаниях (и = = 65] наход А наблюдался 30 раз (р = 30). Требуется построить доверительные пределы для нензвесигой еероятностн исхода А, соответствующие коэффнцаенту доверия Р = 0,975. Так как в данном случае р =- 30 и и — р = 35, то по габлнце 5,2 находим и = 0,337 н П = 0,590.
Такам образом, в силу правила с коаффнцнентом доверия 2Р— 1 = 0,95 можно утверждать, что неизвестная вероятность удовлетворяет неравенстзаи 0,337 ( р < 0,590. Чтобы проплаюстрнровать интерполяцию таблицы 5.2 по оцнону нз аргументов, вычислим те же значення и н П, используя табличные аначення в точках р = 30, и — р = 30 н р = 30, и — р = 40. В согласии с замечанием об ннтерполяцзп таблиц 3.4 (сн. предисловие к табл., а также [17]! пы должны пронвтерполнровать лнае!Тно обратные величины табличных значений л и П по аргументу о = Ч вЂ” П.
Пусть (по, По] н (и,, ПΠ— доверительные пределы для р, соответствуюггэге эвачеяяям т, я ч, (аргумент р предполагается постоян- яым), тогда поп| пп я„и ц-я| (1 — и) ' ?)ои+ П| (1 — и) ' чо и= зъ — чо В пап|вы случае пе =- 0,368, По = 0,032, я, = 0,3П, П| =- 0,552 и и =- 0,5, поэтому я = 0,337 я П = 0,589. Пй шсаевпые эяачевмя атаячаюгся от табличных не более чем ва 0,001.
наконец, если дая опредглеявя я я П воспоаьаогаться формулой (3.31), то, полагая в первом случае а = 30, 10 .=- 101 п определяя по табавцам 2.2 х(2,5оо,' 60) = 40,482, получмм 80,964 202 -[- 40,482— 1798+ 29 40,482 — (40,482)о = 0,337. Двя отысвапвя П в формуле (3.31) саедует пояожвть и = 31, 10 = — 100 в х (97,5ой; 62) = 85,654 (посяедпее зпаченне найдено по таблицам 2.2). )3 результате получен 171,308 200 + 85,654— 1920 + 30 85,654 — (85,054)о =- 0,590. Оба вычисленных доверительных предела совпада|от с табличными. По таблице 5.2 можно также находить доверительные пределы для параметра р отрицательного биномиального распределения. Распределение вероятностей случайной величины т, принимающей целые положительные значения, называется отрицательным биномиальным, если Р( хи]т,р)= ~ С |,р (1 — р)" г=в (и=0,1,2,...) (т,н р — параметры распределения, 0 ~( р ( ~( 1, т — целое положительное число). Сумму т + т можно истолковать как количество независимых испытаний, которое понадобилось для осуществления в данной серии опытов ровно т исходов А (р — вероятность исхода А в отдельном опыте).
Согласно формуле (3.20), а также в силу результатов; изложенных в статье [11], нижний и верхний доверительные пределы для р в случае отрицательного биномиального распределения задаются равенствами (см. описание таблиц 3.4) и* = Х (1 — Р; т, т + 1), П* = Х (Р; т, т)о если и* — целое, если и* — дрооное, пе, [и*] + 1, где при малых р х 1 / х ) и =т+ —, + — (т — 1 — —, 2) 2 (то — 1) -,'— (т — 1) х — хо 12х Р ' (Р ) (12) и х = х [100 (1 — Р) %; 2т] — процентная точка )(е-распределения (см.:|таблицы 2.2). В терминах обычного биномиального распределения такое значение и можно рассматривать как минимальный объем выборки, обеспечивающий с заданной вероятностью Р осуществление события А не менее т раз. О приложениях отрицательного биномиального, распределения см.
[59, 60, 143!. Таблица 5.3. Распределение Пуассона Распределение вероятностей случайной величины 3, принимающей целые леотрицательные значения, называют распределением Пуассона с параметром 2, если Р [й = 1 [ о) = —. е-" (). ) О, | = О, 1, 2,...). Л В таблице 5.3, заимствованной из сборника [Т27], даны значения веронтностей Р (с = = 1 ] Ц (с шестью десятичными злаками) для ). = 0,1 (0,1) 15,0; аргумент | изменяется с единичньп| шагом в таких пределах, где Р (5 = =| ] Ц)5 10'. Эта таблица, по сути дела, дополняет л дублирует таблицы 2Л. Действительно, согласно замечанию, сделанному в предисловии к таблицам раздела П, ентом доверия Р, то в силу формул ('11) будут иметь место равенства и* = и (т, т), П* = — Л (т — 1, т).
Иными словами, если т подчиняется отрицательному биломнальному распределению с известным параметром т и неизвестным параметром р, то нижний доверительный предел для р можно найти по таблице 5.2, положив р — т и п — р = т. Верхний доверительный предел также можно найти по этой таблице, полагая р=.т+1 и п — р=-т. Как показано в работе [17], для заданной вероятности Р наименьшее значенпе п, при котором Р (т чч и [т, р) ) Р, удовлетворяет соотно|пенню а где Р— заданныи козффнциелт доверия (0,5 ( Р(3(й[з) 7~ )" .|. Р(2ч 2й . 2 13 ( Р < 1). Стедовательно, если мы обозначим символами и (р, и — р) и П (р, п — р) доверительные пределы в случае обычного бпно- где Р (х, п) — лчтеграл вероятл|остей йе-| пс ъп|ального распределения с тем же козффпци- пределення с и степеняъш свободы, таоулп]о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
