Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 21
Текст из файла (страница 21)
описание таблиц 3.1 и 3.2): 1. С какой вероятностью по критерию Стьюдента наблюдаемый эффект окажется значимым (при фиксированном объеме выборки)7 2. Сколь велика должна быть выборка, чтобы по критерию Стьюдента данный эффект оказался значимым с заданной вероятностью? Ответы на зти вопросы формулируются в терминах нецентрального распределения Стьюдента, которое представляет собой распределение отношения независимых случайных вели- чин 1о (С) = (9 + С)Лг Х~/И, (37) где 9 распределена нормально с параметрами (О, 1), а ~„'.подчиняется обычному «центральному» т»-распределению с и степенями свободы (см.
разделы 1 и П). Постоянную величину с называют параметром нецентральности; если с = О, то г„ (О) = го подчиняется обычному «центральному» распределению Стьюдента с и степенями свободы. Плотность вероятности случайной величины 1„(с) вырагкается формулой 1 р„(1; с)— 2 '- Г®Р' го+гг (1+ — ".) ' Х ~ х ехр~ — 2 (х — =) ~ггх.
е Ответы на вопросы, сформулированные выше, требуют вычисления следующих интегралов: а) для двустороннего критерия Стьюдента -гго, ю р„(1; с) й+ ~ рв(1;с) с(1; (38) — Х гго, о б) для одностороннего критерия Стьюдента р„(1; с) ггг. (39) Нп, ог (Эдесь 1© и) есть 0-процентная точка, или г,г-процентное критическое значение, распределения Стьюдента с и степенями свободы; см. таблицы 3.2.) Эти интегралы квк функции параметра с называют функциями мощности соответствующих критериев Стьюдента. В таблице 4.11 даны графики функций мощности (38) для б) = 0,5 я 2,5%« (т. е.
для двусторонних критериев с уровнями значимости 2г',) = 1 и 5%). На оси ординат принят логарифмический масштаб. В качестве аргумента выбрана величина гр = с/)/2. Параметр и (число степеней свободы) принимает значения и = 6 (1) 10, 12, 15, 20, 30, 60, о (если и = оо, го причем в данном примере 7=1 (41) — 64 отношение (37) распределено нормально с параметрами (с, 1)). Прн положительных растущих значениях с первый интеграл формулы (38) быстро стремится к нулю (то же самое происходит со вторым интегралом в этой формуле, когда параметр нецентральности отрицателен и уменьшается), поэтому графики таблицы 4.11 можно использовать для приближенного вычисления интеграла (39), представляющего собой функцию мощности одностороннего критерия Стыодента с уровнями значимости () = 0,5 и 2,5%.
П р и м е р. В предисловии к таблицам 3.2 во втором примере применяется критерий Стьюдевтз для сравнения двух средних значений по выборкам объемов 5 и 6. С какой вероятностью критерий Стьюдента, соответствующий уровню значимости 20 = 1э74. позволит выявить расхождение между Ми и МХ, превышающее 2от Так как согласио формуле (37) Х вЂ” Х ~ МХ вЂ” М.т .~/ 77Л7 (МХ вЂ” мг( / ъ „7 30 о т и+и 47 и по таблицам 3.2 1(0,5%, 9) = 3,25, то для ответа иа поставленный вопрос нужно вычислить вероятность, с которой случайная величине гр (3,50) по модулю окажется болыпе. чем 3.25.
Полагая рр = 3,507'и' 2 = = 2,47, по таблице 4.11 иаходим Р (1 11 (3,50] 1 )~ 3,25) — 0,62, поэтому можно утверждать, что при 1 МХ вЂ” Мх 1) 2о вероятность отвергнуть гипотезу МХ = Мг превышает 0,62. Если бы мы рассматривали другой критерий Стьюдеита, в котором э = Л, то имели бы равенство При каких звачекиях Л7 выявление того же расхождеиия. что и в предыдутпеи случае, будет осуществляться с вероятностью, ае меиршей чем 0,98? Полагая 20 = 1%, по таблипе 431 находим рр = 3,58 при 7У = 11 и рр = 3,45 при 7У = 16. По в нашем случае рр = Р' Лр, поэтому при Л' = И в 16 должно быть соответственно рр =- 3,32 ч„3,58 и рр = 4 ) 3,45. При поиопш интерполяции нетрудно убедиться, что при Л' = 12 вероятиостт выявленьи расхождения ие превыпрает 0,98. з прк 7У = 13 эта вероятность больше 0,98, поэтому слецует ноложигь Лр = 13.
Таблица 4.11 заимствована из сборника (Т271. Подробнее о нецеятральном распределении Стыодента см. 1Т7, Т28, Т56]. Т а б л н ц а 4 12. Функция мощности лт'-критерия (нецентральное й' распределение) Пусть 917 9„..., етр и т)1* т)„..., т)р— взаимно независимые нормальные случайные величины, обладающие одинаковыми дисперсиями, равными пэ. Кроме того, пусть МП, = = Мт)1 = ° ° ° = Мт)т, = О, Положим а=,~~ (М~,.)т)пз.
Если для статистической проверки гипотезы а = 0 против альтернативы а ) 0 прдменяется Г-критерий (см. табл. 3.5), основанный на статистике и Р,;= зХ0/( Хцт), 1-1 7=1 то функция мощности такого критерия выражается формулой У (а ~ т„ч„Я = 1 — С Ю ((); ...); т„тз, а1, (40) где Д вЂ” заданный уровень значимости (в %), г' (7,); ч„чз) есть 7,)-процентная точка и'-распределения (см. табл.
3.5) и 6 (хд чтр эз, а) — функция нецентрального Р-распределения со степенями свободы ч„чэ и параметром нецентральности и. Так как в обозначениях. введенных в предисловии к таблицам 2.1, 2.2 и 4.10, —,. 7.51=К',(а), —,, у Ч'=Х.,(0), то случайную величину, подчиняющуюся не- центральному Г'-распределению, можно определить как отношение Р.„.,(а)= туз(а)/ Х'7(0)).
Если чт = 1, то это отношение представляет собой квадрат непентральной статистики Стьюдента (см. формулу (37))1 1'„'(с) = и (9 + с)з/Хят = Ег, „(с') поэтому функция мощности двустороннего критерия Стьюдента с уровнем значимости 2() (см. формулу 38)) совпадает с функцией мощности У (с' 11, и, 2(р) точно так же, как 11((); и) совпадает с г'(2(); 1, и) (см.
формулу (4.32)). Заметим также, что случайная величина иР, (а) распределена как Х„(а) и, значит, при тр = и и чз = оо функция мощности и'-критерия совпадает с функцией мощности критерия, основанного на статистике Х . В таблице 4.12 даны графики функций мощности критерия Р,причем в качестве основного аргумента выбрана величина тр = (7'а!(тр + 1) По оси ординат принят логарифмический масштаб. Каждому аначению чт = 2 (1) 8 соответствуют два семейства функций мощности: для = 1% и ч = 5%; графики построены для тех функций, у которых тз = 6 (1) 10„12, 15, 20, 30, 60, оо.
Для вычисления функции мощности и'-критерия при ут) 8 рекомендуется воснользо- «и, внг у= у,(1+ ') '(! — ') ' Н у = уе (1 — —,) ав / «га РН у = н, (!+в а !у „- егсг х/а(1 ав / Мода — ав (х (ав Моди «среднее) — а ( х ( а З!еда — а (х (сс Среднее + 2т — 2 — с (х( 'в' у = уве т/"х у! У=ус(х-а)сх-с' Начало нривсй О ( х ( сс а<х( Точка, отстоящая яс ! а ! ст печали кривой Среднее (мсда) хв «-т У=Ус (!+ — ) — в(х( с Навболес типичвни колоколообразная форма кривой типа ! ваблюдаетсн тогда, когда я т, я т, положительны (сы. область ! н таблице 4ЛЗ); для у-обраивых кравых (сы. область ! (У)) один ва этих показателей отрицателен.
Нели же тв н тв обв отрицательны, то кривая иыеег г/-образвую форму (см. и таблице область ! (Г/)). — 65— 3 '!. Н. Бсдвтее, Н. В. Свшрнев ваться преобразованием, предложенным Патнайком (см. формулы (2.13) и (41)). Как показано в работе [88[, случайная величина нвРыдд (а)/(нв + а) распределена приближенно, как Р в (0), где н,н = (нв + а)е/(нв + 2а), >Ы гг Поэтому согласно формуле (40) ! н«/г (Ов н«, нв] 1 — У (а ! ны не, (7) = сг ~; '"', нв, О ~!, (нв + а) Иными словами, вероятность ошибки второго рода 1 — У (а ! ъв/ не, «/) приближенно равна значению функции обычного, сцентрального> Р-распределения в точке н«Р (!7; ъ„не)/(н, + + а); при этом степени свободы равны р«н = (н, + а)в/(чвв + 2а) и не 0 вычислении функции Р-распределения см.
предисловие к таблицам 3.3 и 3.4 (формуль! (3.17) и (3.40)). Таблица 4.12 перепечатана из статьи [97!. Подробнее о мощностц/статистических критериев и о нецентральных распределениях см. [17, 28, 42, 68, 72, 88, 94, 115, 137, 147!. Таблица 4.13. Графики для определение типа кривой К.
Пирсона в зависимости от величин [)! к [)в Э а таблица, а также таблица 4.14 не имеют прямого отношения к нормальному распределению. Они включены в 1«в раздел только для того, чтобы не устраивать в этом сборнике специальный маленький раздел, посвященный кривым Пирсона. Таблицы 4.13 и 4.14 заимствованы из сборника [Т27!. Плотность вероятности у = /(х), график которой принадлежит семейству кривых К. Пирсона (см. [52, 68, 149!), является решением дифференциального уравнения 1 ав х+с« у а'х се -[- с,х -[- с, х> где началом отсчета для х служит среднее знатип в равнение чение.
Вид решения зависит от постоянных величин сс, с, и с„которые связаны простыня соотношениями с моментами соответствующег«« распределения вероятностей; нв,— ввц, *У~в, ! «- « 2 (55, — й[)в — э) " 2«(56, — йб, — э) 26в — Збг — а 2 (5!)в — за — Ц) где е 2 в 2 о — «ве !)1 = [вв/)~в не =)ве/[в р, = ~ х'/ (х) с(х, г=2 3 4 ..
([се=1 рв =0). Величины !в и !, являются нижней и верхней границами естественной области определения плотности / (х). Таким образом, если вдоль осей прямоугольной системы координат условиться откладывать отрезки, отвечающие величинам [)е и [)„ то в плоскости [1>!/рв различным типам крцвых Пирсона будут соответствовать области, кривые и точки. В таблице 4.13 указано такое разбиение плоскости [)>0[)в для основных типов кривых Пирсона 1 — УП.
Прямая линия с уравнением ре — [)« — 1 = 0 представляет собой верхнюю границу для допустимых точек (р„[1«), так как не существует распределений, для которых !)е — [3« — 1 ( О. Кроме того, если кривая принадлежит семейству Пирсона, причем 8!)е — 15(3« — 36 ~ )О, то )ве = сс. В таблице 4 13 прямая с уравнением 8[)>в — 15рв — 36 = 0 служит нижней границей точек с координатами (ре, рв). Используя стандартные обозначения (см. [149!), уравнения кривых, принадлежащих указанным семи типам семейства Пирсона, можно записать следующим образом: Начала Отчета Об.часта дли х спредечеиии П р и м е р. В случае нецентрального уо-распределения с и степенями свободы и параметрои исцеятральности а (сы.
пояснения к разделу П) моментные отношения бг и ()г выражаются формулами (и+За)' (и+4а) ()г =- 8 (и ] За)ь ()ь= 12 ( ] 2а)г +3. (42) Вти формулы явля>ется параметрическими уравяения ми, зада>ашики в плоскости ()гО~> некоторую кривую. Пря этом, как нетрудно убедиться, выеет место неравенство 2()ь — 36> — 6 ( О, иоторое обращается в равенство лишь прн а = 0 или а = — со. Таким образом, согласно таблице 433 при 0 < а ( са нецентральпое /г-распределение в классе распределений Пирсона аппрокспмаруется распределением 1 типа (если а = О, то уг (0) подчиняется распредеяению 111 типа; прв а оо нецентральное уг-распределение стремится к гормальному распределению).
Так как для распределения 1 типа Зг = (тг+ т, + 3) ((тг+ иг + 2)г — 4 (тг+ 1) (то + 1)] (т, -]-1) (т,+ 1) (тг+ ль,+ 4)' Р,=3+ОХ (игг + т. + 3) ((тг + рг, + 2)ь — 4 (тг+ 1) ( иг+ 1Ц (т, )- 1) (т, + П (то + ги, + 4) (тг + т, + 5) 1 т,+иго+5 ~ ' то т, + 1 и т, + 1 — корни квадратного уравкення 5 --()ь+1 ' — 62()ь †])г-бх+ 144 (()г — Зг+ 1) (36> — 4()г) + 16(ояг — 45>)(зйг — 36> — 6)ь+ г(2]1,+6)ь(26> — 3()г — 6) Поэтому, например, для отыскания т, и ть, соответ- ствующих аппроксимации нецентрального ](ь-распре- деления, следует в левой части этого уравнения 3 и ()ь заменить значениями (42). При этом корни долгины идентифицироваться с т, + 1 и ть + 1 таким обра- зом, чтобы совпадали не только абсолютные величины, пои звали третьих центральных моментов аппроксими- руеыого и аппроксимиругощего распределений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
