Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 24
Текст из файла (страница 24)
— 70— ванный в таблицах 2.1. Таким образом, РД=1)Х)=Р(2Х, 21+2)— — Р (2Х, 2/). (14) Таблицы 2.1 позволяют вычислять Р (х, и) при всех целых значениях и ) О, и, значит, они пригодны для вычисления функции распределения Пуассона (13) при всех значениях Л) О. Эти таблицы можно исполвзовать для вычисления вероятностей Р Д = 1 ( Ц по фоР- муле (14) при Х ) 15. Для грубых, ориентировочных расчетов при больших значениях Л можно пользоваться простой приближенной формулой Р Д ««й ! Л) = Ф ((й + 0,5 — Л)/)/'Л). Если Л вЂ” ь со, то абсолютная погрешность этой формулы стремится к нулю равномерно относительно й. Подробнее о распределении Пуассона см. (28, 38, 47, 83, 115, 128, 137).
Тан как согласно формуле (14) вероятности Р Д = 1 ! Х) являются разностями интеграла вероятностей Р (2Х, 21) по аргументу 6 то для инторполяцпп таблицы 5.3 по Х можно воспользоваться замечанием об интерполяции таблицы 2.1а (см. предисловие к разделу П). Б силу этого замечания к таблице 5.3 применима интерполяцпонная формула Бесселя р(Х) =р(Хо)+ пй (Хо)— (1 — ) Р (Л1) — Р (Лы) 2 2 Ф где р(Х) = РД=1~Л); Лп Ло, Х,— последовательные табличные значения аргумента; и = (Х вЂ” Хо)/ (Х1 — Х,) — фаза интерполяции (предполагается, что Ло «( Х < Лт); йр (Л;) = = р (Льы) — р (Х;), 1 = — 1, О, +1. При этом, если 0 ( Х ( 1, то погрешность интерполяции не превьппает 5 10 ', в интервале 1 ( ( Х ( 5 эта погрешность не более 5 10 ', а при 5 ( Х ( 15 ошибка интерполяции менее 10 '.
Таким образом, если 0 ( Х ( 1 и требуемая точность равна 10 ', то для вычисления Р Д = 1 ) Ц в промежуточных точках следует либо воспользоваться интерполяционными формулами высших порядков, либо применить таблицы 2.1 (см. формулу (14)), интерполяция которой по формуле Бесселя обеспечивает правильность пяти десятичных знаков. Таблицы 5 4, Доверительные пределы для параметра распределения Пуассона Согласно общей теории интервальных оценок нижний доверительный предел Хт для неизвестного параметра Л распределения Пуассона (см.
введение к таблице 5.3) определяется как решение уравнения Р (2Х„ 2с) = Р, где Š— случайная величина, подчиняющаяся распределению Пуассона с параметром Х, Р— заданный коэффициент доверия (0,5 «( Р < 1) и Р (х, и) — интеграл вероятностей у'-распределения с и степенями свободы (см. таблицы 2.1); при этом, если $ = О, то и Хт = О. Верхний доверительный предел Л, представляет собой решение уравнения Р (2Л„2$ + 2) = 1 — Р. (16) Пара случайных величин Х, н Х„соответствующих одним и тем же значениям з и Р, определяет для неизвестного параметра Х доверительный интервал (Хп ЛД с коэффициентом доверия 2Р— 1, т, е.
1п1 Р (Лд < Л < ь>о < Л, ~ Л) = 2Р— 1. В силу формул (15) и (16) удвоенные доверительные пределы являются процентными точками йо-распределения (см. раздел П): Х, = —,х(100Р%; 2$), Хо= — х(100(1 Р)о4 25+ 2) поэтому для определения Х, и Л, можно воспользоваться таблицами 2.2. Подробнее о доверительных пределах для параметра распределения Пуассона см.
(15, 18, 34, 99, 119, 121, 137). Таблнпа йАа. Доверительные пределы длл параметра распределения Пуассона В таблице 5.4а указаны пары чисел (Л„Лв) с двумя десятичными знаками для Р = 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999 (т. е. для 2Р— 1 = = 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,998) и $ = 0 (1) 50. Таблица 5.4б. Довернтельныс пределы длл параметра распределения Пуассона (поправки в приближенным формулам длл Х, н Х, прп $) ьо) Если $ ) 50, то для вычисления Л> и Х. следует воспользоваться формулами, аналогичными формуле (2.7): Хг = $ — Ч" (Р) ь~ $ + гг [ Р; — ~), 2рр, / ,,'=5+ Ч (Р) -1г3, „(Р; ' '), (17) 2У~, / где Ч' (Р) — квантиль нормального распределения с параметрами (О, 1) (см. таблицу '1.3), а функции г, и г, связаны с функцией г ф; Р) (см.
(2.6)) формулами „(Р; ' ) = — ,, '° (10ОРГ%; — '), г, (Р;=~) =1+. Ч'"(Р) ()/ 4-1 — )/$) + 2)/б / + — г ~100(1 — Р)",о',, 1 Г дуайт ~ — 71— В таблице 5.4б даны аначения функций г, и и, (с тремя десятичными знаками) для указанных выше значений Р и 1/(2 [/9) = 0,00 (0,01) 0,08. По аргументу1/ (2 у/9) таблица 5.4б допускает линейную интерполяцию с погрешностью не более 0,001. В последней строке таблицы указаны значения функции гр (Р), Часть значений в таблице 5.4а заимствована из сборника [Т271, остальные значения этой таблицы и таблица 5.4б вычислены в отделе математической статистики Математического института АН СССР. П р и и е р (см. [831. с.
141). При измерении уровня радиоактивного фона было получено 36 отсчетов за 10 гшн, Нужно устазовить доверительные пределы с коэффициентом доверия Р = 0,975 для неизвестного среднего значения а числа отсчетов за 1 мин. Предцолагая, что число отсчетов з подчиняется распределению Пуассона, получим Р [5 = С 1 аС) =- — е а (с = О, 1, 2,,), где с — время наблюдения (в минутах). По таблице 5.4а находим, что значениям 5 =- 36 и Р .= 0,975 соответствуют Л, = 25,21 и 7;, = 49,84. Из неравенств Л, < ас < Л, при с = 10 следует, что 2,521 < а < 4,984.
Указанный доверительный интервал построен по правилу, соответствующему коэффициенту доверия 2Р— — 1 = 0,95. Ксяп для определения Л, и Лг воспользуемся формулами (17). то, линейно зкстрацолируя таблицу 5,46 для 1/(2 )/5) = 1/12 = — 0,0833 и Р = 0,975, получим г, = 0,974 и гг = — 2,079. ПоэтомУ с точностью До 0,01 зйачевия Л, и Лг, найденные по формулам (17): Л = 36 — 1.96 6 -1- 0 974 = 25 214, Лг = 36 + 1,96 6 + 2,079 = 49,839, совпадают с указанными выше табличнымв значениями, О применении таблиц 5.4 для построения интервальных оценок параметров простейших потоков в случае экспериментальных схем последовательного типа см.
Н5, 141[. Та блица 5.5. Доверительные пределы для отношения параметров двух распределений Пуассона Если йс и йг — независимые слУчайные величины, подчиняющиеся распределениям Пуассона с параметрами Л, и Л, соответственно (см. описание таблицы 5.3)„то верхний доверительный предел д (Р; йс, йг) для отношения Л,/Л, выражается равенством ~7(Р„ьс,сг) = Оо, если $г — — О, Р [100(1 — Р) %; 2$с + 2,2$г), (18) ес.си $г ". О, где Р— заданньпс коэффсщионт доверия (0,5 а ~<Р( 1) и Р(В ог, тг) есть д-процентная точка Р-распределения с параметрами тг и тг (см. предисловие к таблицам 3.5, а также [14, 121!) .
Могссно показать, что случайная величина д удовлетворяет соотношению (пГ Р(с/(Р; йс, зг)) Лс/Лг) -Р. х» 7. >з Неравенство в фигурных скобках эквивалентно неравенству 1/я (Р, 9„9,) ( Л./Л„ поэтому 1/о (Р; сг, $с) представляет нижний доверительный предел для отношения Л,/Л,. Интервалу с конечными точками 1/с/ (Р; сг, йс) и д(Р; $„9г) соответствУет коэффиЦиент доверия 2 Р— 1. В таблице 5.5 даны значения верхних доверительных пределов с/(Р; 8„5г) не менее чем с тремя значащими цифрами для Р = 0,95; 0,99; 0,995 и 8„9г = 0 (1) 15 (5) 30 (10) 00, 75, 100 (50) 300, 500.
Эта таблица составлена в отделе математической статистики Математического института АН СССР. Для вычисления значений д в точках (9„ $г), не совпадасощпх с табличными, рекомендуется применять параболическую интерполяцию функции я (по аргументу йс) и ее обратной величины 1/д (по аргументу $г).
Если (9„8г) ) 15, то для отыскания с/ можно воспользоваться приближенными формулами, являю,цямися следствием форъсул (18), (3.44) и (3.45): ч (Р ь! ьг) 2и 2гб, (С, + 2) + Сси — и' ' 2 (5 + 25г) — " — 6 (8, + 2Ы если 9,(сг — 1, 2 (5 — 1) -[- (.".— 1) и — иг г с (19) 2(2."„с+Ег+1) — и — б 2„+ +1) 2и если йс ) $г — 1, где и н н — процентные точки )(г-распределения (см.
таблицы 2.2): и = х 1100 (1 — Р) %; 2~с + 21, и = х (10ОРба; 28г). П р и и е р. Пусть йс = 17 и 4г = 18. Требуется айти верхний доверительный цредел а для отношения Лс/Л„соответствующий коэффициенту доверия Р = = 0,995. В таблице 5.5 значение Ч в точке (17; 18) не укаааво. Ниже приводятся табличные значения О дзя Ьс = 15, 20 н г = 15, 20, 25. Линейно интерполнруя табличные аначения д по аргументу 5, но формуле е (0,995, 17, йг) = О,ба (0,995; 15, йс)+0,44 (0,995; 20, 4г), «(0,0»5; (7, (~) 1«(0,005; (7, Ь)] 20 (5 3,071 2,101 1,586 2,777 1,904 1,438 0,3256 0,4760 0,6305 3,513 2,396 1,808 15 20 25 получим результаты, указанные е предпоследнем столбце таблипы. так как по аргументу б следует ввтерпалвровать абратвые величины 1/0 (анп даны в паследвем столбце), та акалчательна па форыуле квадратичной ввтерцаляцвв с фааац (18 — 15)/5 = 0,6 получаем д(0,995; 17, 18) = 1 0,3256 + 0,6 0,1504 — 0,6 0,4 0,0041,2 Если бы мы для вычвславия вскаыаго значения д еаспальэавалвсь фарыулае (19) ари » = х (99,5«й»; 36) = 17,888, та емеле бы снова д(0,995; 17, 18) = 106 — а — (646 + 170 — 0»)(318 2,408.
В силу формул (18) е (3.43) точное зеаченве 0 в данном случае можно вейте ПРв папаши таблиц 3.2 в ]6«двть- сп, чта а точностью да 0,001 искомое значение действи- тельна рвана 2,408. *) Если условиться выбирать в качества б( ту вэ двух пуассавовских случайных величин, которая балыца другой, та критическая область для проверки гипотезы Л, =- )п пр»( двусторонних альТернативах определяется едвватееввыываравевством д (Р; 5(, $ ) ~< ( 1. Таблица 5.5 может слу ките посоапем для проверки гипотез вида й(/)ч = )с, а также ).(7).2 ( й и )ч(ь«) )с.
Например, если (1— — Р) — заданный уровень значимости идля основной гипотезы Х,!)ч = )с альтернативные гипотезы определяются неравенством й,('ь» ( /с, то крптилеское множество характеризуется условием (7 (Р; 9ш, 92) ( )с. Иными словами, если результаты наблюдений $, и 52 удовлетворяют последнему условию, то основную гипотезу следует отвергнуть. Для ал(,тернатнв вида й(Я,) )с критическое множество задается неравенством (7 (Р; 5„9() ( 1('(с. Если же альтернативы носят «двусторонний» характер; )ч/)«Ф )с, то критическое мноя(ество представляет собой совокупность критических множеств для обоих односторонних критериев (прв этом, разумеется, уровень значимости для двустороннего критерия будет равен 2(1 — Р)).
Рассмотренная задача при й = 1 эквивалентна задаче о проверке гипотезы )( =- йю а упомянутый выше критерий в этом случае совпадает с обычно употребляемым для этой ' цели критерием типа критерия знаков и) (см., например, (Т27), таблица 36; [Т56!, таблица 33, а также (28], таблица 9). Поэтому мы с этом сборнике не помещаем специальную таблицу для проверки гипотезы й( = )ч(впрочем, вместо таблицы 5.5 для этой цели можно испольаовать таблицу 6.6). Другая область применения таблицы 5.5— сравнение интенсивностей потоков в задачах массового обслуя иванна.
Подробнее об этом см. И5, 141!. Таблица 5.6. Доверительные пределы для парамера гипергеометрнческого распределения; критерий значимости для таблиц сопряженности признаков 2х2; критерий сравнения вероятностей Если из конечной совокупности объема Л' извлекается случайная выборка (без возвращения) объема п (и ( Л') и если во всей совокупности имеется ровно М элементов (М ( Лс), обладающих некоторым признаком У, а остальные Л' — М элементов данным признаком не обладают, то количество элементов с этим признаком среди п отобранных будет случайной величиной (обозначим ее )«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
