Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 22
Текст из файла (страница 22)
После того кан найдены значения параметрог, тг и тг, величины а, и аз (см. область определения кривой 1 типа) опроделяются уравнениями аь (тг + 1) — аг (то + 1) =М, т,+ли+2 (аь-1-аг)г (ги, + 1) (т, + 1) (т, ]- -., + 2)ь (т, -]- ш + 3) (, +, + 4) — О, где М вЂ” математическоо ожидание и Π— дисперсия аппроксимвруемого распределенвя (для нецентрального уг-распределеквя М =- и + а, О = 2 (и + 2а)). Кривые Пирсона иногда используют для сглаживания выборочного распределения, когда теоретическое распределение неизвестно. Прв этом величины М, О, рг в 6 заменяют нх выборочными оценками см.
(95, 149]). Таблица 4. 14. Квантили нормированных слупи(гиых величин, подчиняющихся распределениям К. Пирсона Пусть у = /(х), 1, (х ( (г, — плотность распределения, принадлежащего семейству г]>орсона, с математическим ожиданием ш и квадратичным отклонением о (см, описание гаолицы 4.13), и пусть хр есть Р-квантиль этого распределения, т. е. ~ /(х)гьх=Р (0(Р(г). г, В таком случае Хр = (хр — ш)/о представ- ляет собой Р-квантнль нормированной слу- чайной величиньг, подчиняющейся распреде- лению с плотностью /(х). В таблице 4.14 даны значения Хр (с двумя десятичными знаками) для Р = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,95; 0,975; О 99 О 995 р, = 0,00; 0,01; 0,03; 0,05 (0,05) 0,20 (0,10)1,00, ()г = 1,8 (0,2) 5,0. В плоскости ])зО(гг точки фзг (Зг), для кото- рых в таблице 4.14 указаны значения Хр, ог- раничены сверху линией, соответствующеи кри- вым Пирсона 1Х типа (этот тип определяется уравнением у = уо (1 + х/а) ). Точки (()т, ])г), леькащие выше этой границы, отвечают /- и //- образным кривым (см.
таблицу 4.13). Таблицу 4.14 можно использовать для оты- скания приближенных значений квантилей тех распределений, которые удовлетворительно апп- рокспмируются распределенияьш из семейства Пирсона. П р в и е р. Пусть требуется определить нижние и верхние критические значения, соответствующие уггозням значимости 0,05 и 0,005, для нецентральзого Х -распределения с одной степенью свободы (и= 1) и параметром нецентральности а = 16.
По формулам (42) в этом случае ()г — 8,(49)ь/(ЗЗ)о — 0 534 ()ь = 12.65/(33)ь + 3 = 3,716. Линейной интерполяцией таблицы 4.14 >>входим Хо,т = — 1 40 Хо,оь = 1,831 Хо,ооь = — 1 85' Хо,ооь = 3 23 (нижиие процентные точки отрицательны, так как для иецентрального у'-распределения рь р 0). Искомые приближенные ьрнтическяе значения вычисляются по формуле хр = оХр + т, где приме- нительно к нецонтральвому уь-распределоггггго следует положить т = М = и+ а и оо = О = — 2 (и+ 2а), т.
е. в данном случае т = 17 и о = ]/66 = 8,124. Таким образом, хо,оь = 5 63' хо,ь>=31 87' хо,ооь=1 97' хо,ооь= 43,24. С точностью до двух значащих шгфр исппшые уровни значимоств для указанных приближенных критических акачений хр а данном случае можно вычислить по фор муле Ф (4/хр — 4), если Р (0,5, с>, —— 1 — Ф(т/хр — 4), если Р) О 5, где Ф (х) — фуякцня нормального распределения, зна- чения которой указаны в таблице 1.1.
С помощью этой таблицы находим ео,оь = 0 052; ео.ьь = 0 050' зо.ооь = 0 0047', со,ьоь = 0 0050 Таким образом, в этом примере для приближенных ьрипгческих значений. пайдопных прп помощи таблицы 4Л4, истинные уроапн значимости отличаются от за- данных величин 0,05 и 0,005 не более чем на ОК. У. НЕКОТОРЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ имеем (2) где — 67— Та б л и ц а 5А. Биномиальное распределение Если последовательно осуществляется п независимрлх испытаний, в каждом из которых некое событие А может иметь место с постоянной вероятностью р, то общее число испытаний с исходом А представляет собой случайную величину (обозначим ее ц), причем Р (и = 1 ! п, р) = С,',р' (1 — р)"-' (1=0,1,2, ..., и). Так как вероятности Р ([о = 1 ! п, р) есть члены разложения бинома (р + д)" при о = 1— — р, то распределение вероятностей случайной величины [о называют бнномиальным распределением (с параметрами п, р).
В таблице 5.1, заимствованной из сборника [Т27), даны значения вероятностей Р (Р = = 1 [и, р) (с пятью десятичными знаками) для и = 5 (5) 30 и р = 0,01; 0,02 (0,02) 0,10 (0,10) 0,50. Если р ) 0,5, то для вычисления указанных вероятностей можно воспользоваться формулой Р (и = 1 ! п, р) = Р (и = — п — $ ! п, 1 — р) или, что то же самое, применить таблицу 5.1 со значениями аргументов 1 и р, приведенными в правой крайней колонке и в последней строке. Таблица 5.1 мо;кет служить пособием при изучении теории вероятностей н математической статистики и предназначена для иллюстративных целей.
Более обстоятельные вычисления, связанные с биномиальным распределением, можно осуществить по более полным таблицам [Т29, Т41),а также по таблицам неполной В-функции [Т25] и 3.3. Действительно, согласно формуле (3.19) Р(и(т[п,р)= ~ Р(и=[[и, р) = От-О = Хт „(и — т,т -[- 1) =1 — 1р(т+ 1, и — т). Следовательно, значения функции биномиального распределения Р ([с (т ! п, р) в целочисленных точках т = О, 1, 2, ..., п совпадают со значениями функции В-расцределеняя 1, о (и — т, т + 1). В силу формулы (3.26) отсюда, например, при и ) 2т + 1 Р([с (т[п, р',-= Р(2у,2т -! 2) — 7(Р '" 91) р (2п — т) у= з о э о -о у (у, а) = — "' [2у' — (а — 1) у — (а' -- 1)) Г (о) (значення функций Р н у указаны в таблицах 2.1 и 3.'Зб). Если же п ( 2т + 1, то согласно формулам (1) и (3.26) Р (и ( т ! и, р) = + где у' = (т + п + 1) (1 — р)! (1 + р).
Аналогичным образом, для вычисления функции бйномиального распределения могут быть использованы формулы (3.21) — (3.25) и таблица 3.3а. Если п велико, то для оценки функции биномиального распределения в руководствах по теории вероятностей и математической статистике обычно рекомендуются две приближенные формулы (см., например, [28, 38, 68, 83, 115, 128, 137)): Формула Муавра — Лапласа: Р [и (т! п, р) =Ф ( ' ), (4) ир (1 р) где Ф (а) — функция нормального распределения с параметрами (О, 1) (см. раздет 1); предполагается, что и волике и р не зависит от п (с ростом и параметр р остается постоянным). Формула Пуассона: Р([о (т! п,р) = ~~~~ (("р' е ""=Р(2пр,2т+2), (5) где Р(2пр, 2т + 2) — интеграл вероятностей уо-распределения (см.
раздел 11); предполагается, что п велико, а р мало н с ростом п параметр р стремится к нулю. Формула (5) обычно применяется в тех случаях, когда произведение пр пе очень велико. 0,5000 0,6065 0,5908 0,5905 0,5905 0,9320 0,9098 0,9177 0,9185 0,9185 0,9986 0,9856 0,9909 0,9914 0,9914 1,ОО ОО 0,9998 0,9997 1,0000 1,ОООО О,1 1,ОО ОО 0,9982 0,9947 0,9990 0,9995 0,9532 0,9974 0,9197 0,9810 0,9390 0,9827 0,9419 0,9920 0,9421 0,9933 0,2 0,2881 0,3679 0,3292 0,3277 0,3277 0,7И9 0,7358 0,7358 0,7373 0,7373 1,0000 0,9963 0,9987 0,9996 0,9997 0,3 0,8355 0,9745 0,8088 0,9344 0,8307 0,9541 0,8366 0,9678 0,8369 0,9692 0,50 00 0,5578 0,5287 0,5283 0,5282 О, 1645 0,2231 0,1712 0,1681 0,1681 0,9983 0,9814 0,9954 0,9974 0,9976 0,4 0,6760 0,9146 0,6767 0,8571 0,6767 0,8974 0,6823 0,9И9 0,6826 0,9130 0,0854 0,1353 0,0821 0,0778 0,0778 0,327«0 0,40 60 0,3425 0,3372 0,3370 0,9893 0,9474 0,9862 0,9896 0,9898 О,81 44 0,7576 0,8008 0,8И9 0,8125 0,9632 0,8912 0,9643 0,9686 0,9687 0,0368 О,С821 0,0357 0,0314 0,0313 0,1856 0,2873 0,1992 0,1881 0,1875 0,5000 0,5438 0,5018 0,5003 0,5000 Основной недостаток прцблиясеиных формул (4) и (5) — ыалая точность при тех значениях в, которые характерны для большинства практических приложений.
Недостатком нужно также считать отсутствие четких рекомендаций, з каких случаях следует применять формулу (4), а в каких — формулу (5). В силу указанных причин, например при п ( 200, обе эти формулы пригодны лишь для грубых, ориентировочных расчетов. С точки зрения обычных требований вычислительной математики и математической статистики точность нормального и нуассоновского приближений (4) и (5) следует признать недостаточной (нааванне этих приближений «удовлетворительными» зо многих вероятностных и статистических приложениях является следствием снисходительности авторов и часто основано на небольшом количестве удачно подобранных примеров, демонстрирующих «удовлетворительное согласиез).
О точности нормальной аппроксимации (4) см. (7, 8, 73, 125, 127]. Как показано в работе (17), более точное приближение, чем (4) или (5), получается как следствие асимптотической формулы т Р(р (т) п, р)=~~~) +е" + Л= з з (Л') (Р) (1) !П) Точное значение ()у) (Р) (1) (П) Точное зазчеаве Р') (р) (!) (П) Точное звзчевве (%) (Р) (!) (П) Точное звзчевве ()У) ОР) 1!) (П) Точное звачевве = Р (2у, 2т + 2) + Л, (6) где поведение остатка В при т = сопз« и и -ь -ь оо определяется формулой (равномерно относительно всех р нз интервала 0 ( р (1) р (2п — т) у=у!= 0(в з), если 0(в «), если У| 1 + (т (т + 2) + ту1 — 2уз),'(6 (2п — тЛ (7) Приближения, построенные по формулам (6) и (7), предпочтительнее приближений (4) и (5) даже в тех случаях, когда и = 2т + 1.
Для сравнения ниже указаны точные значения функции распределения Р ()«( т ( и, р) для и = 5, р = 0„1 (0,1) 0,5 и т = 0 (1) 4, а также нормальные приближения (Х), пуассоновские приближения (Р) и приближения (1) и (П), соответствующие значениям у = у, и у = у. в формулах (6) и (7) (так как при т = 3 и 4 условие 2т + 1 ( 5 не выполняется, то формула (6) использовалась для оценки вероятности Р (р ( п — т — 1 ( и, 1 — р), сумма которой с искомой вероятностью Р (р ( ( т (и, р) равна единице).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
