Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 4
Текст из файла (страница 4)
р = 0,025 и 0,975, х = гу (р) = — 1,959964 и +1.959964 соответст- венно. Искомые величины Х' и Х" связаны с заданными значениями вероятностей р соотношениями 1 Х' = 72+ 12 С (0,025; =~), 'брг2)' 1 Х" = 72+ 12.С 0,975; = ' 6)/2 ) В таблице 1.2 ближайшее к х) 0 табличяое зна- чение аргумента есть х, = 1,960, поэтому в данном случае х — х„= — 0,000036. Как и в предыдущем примере, по формуле Тейлора получаем ф (х) = 0,058441 + 0,000036.0,115 = 0,058445 = =ф( — х), фн) (х) = — 0,114544 — 0,000036 0,166 = = — 0,114550 = — фп) ( — х), ф1з) (х) = 0,166066+ 0,000036 0,096 = 0,166069 = = ф'ю ( — х), ф)з) (х) = — 0,096400 + 0,000036 0,309 = 0 096389 ф(з) ( х) Следовательно, С (0,025; — ) — — 1,797328, 1 'ОУ2 С (0,975; — 2,113048, ' 6У2/ Х' 72 — 12 1,797328 = 50,432, Х' 72+ 12.2,113048 = 97,357.
По таблипе 2.2а Х' = 50,428 и Х" = 97,353 (с аб солютной погрешностью не более 0,001). Таким обре зом, относительные ошибки вычисленных прибли женных значений Х' и Х" ве превосзодят 0,01фэ П р и м е р 3. Пусть (»„»г) — двумерная, нор- мально васпределенная случайная величина с пара- метрами аг=М»г=О, аг=М»,=0, оз=п»г=1, осе=1)»г=1, р = М [(»г — а,) (»г — еэЦ!(сгс,) = М (»г»г) =0,6, н пусть требуется вычислить вероятность одновременно- го осуществления событий: »г < — 1,1 и»з < — 1,2. Согласно (8) имеем Р (»г < — 1,1; »г < — 1,2) = — ),1 -г,з ех)г ( — ~ эв сг1 = Ф ( — 1, 1) Ф ( — 1, 2) + Е роч) ( — 1, 1) рсэ) ( — 1, 2) + ' ' (О буи-г э=г Так как Ф( — х) = 1 — Ф (х] и грот) ( — х) = ( — 1)эфгэ) (х), то искомая вероятность равна [1 — Ф(1, 1Ц [1 — Ф(1, 2Ц+ + ~~ ' ' (0,6)'". (л + 1)1 га= — э Если ограничиться частной суммой этого ряда, в кото- рой п изменяется от 0 до 5, то по таблицам 1Л и 1.2 можно будет вычислить приближенное значение иско- мой вероятности: Р(»г < 1 1»г< 1 2) 0 13567 О 11507+ 0,21785.0,19419 0,23964 0,23302 + 1 0,6 + ' 2 (0,6)э + 0,04575 0,08544 0,4290 0,3635 .[- 6 (О 6)э + ' 24 (О 6)4+ 0,609 0,693 1,05 0,62 + 120 (0,6)'+ 720 (0,6)э = 0,05233.
С точностью до единицы пятого знака точное значение искомой вероятности, вычисленное по таблицам (Т34), равно 0,05247. Следовательно, относительная ошибка в данном случае менее О,Зэгэ. Более подробные и обстоятельные сведения о применениях таблицы 1.2 можно найти в монографиях [52,681. Таблица 1.3. Функция, обратная функции нормального распределении Функцией, обратной функции нормального распределения р = )т' (х; а, а) (см. (1)), называется такая функция х = )т' ' (р; а, а), значение которой в произвольной точке р интервала (О, 1) определяется как корень х уравнения р = Л' (х; а, а).
В силу равенств (2) н (3) это уравнение имеет вид (х — а)/с р= ~ е-нщй, (9) где а и а — параметры распределения ( — оо < (а<. + оо, а) О). В математической статистике значения функции ))г ' (р; а, и) иногда — 13 навывают р-квантилями нормального распре- деления с параметрами (а, а). Согласно равенству (8) Ь' )(р; а, о) = а + оЛ' )(р; О, 1), поэтому для вычисления значений Л' ' (р; а, о) достаточно иметь таблицу функции Ч' (Р) = Л( ' (р; О, 1), которая представляет собой обратную функцию для (1) (х) (см. (3)).
Таким образом, б [Ч (Р)) = Р (О < Р < 1), Так как Ч' (р) при всех р нз интервала (О, 1) удовлетворяет ток деству (см. (4)) Ч (Р) + Ч (1 — Р) = О, то практически нужны таблицы функции Ч' (р) лишь для тех значений р, которые принадлежат полуинтервалу 0,5 < р < 1. В таблице 1.3данызначенияЧ" (р) с шестью десятичными знакамн для р = 0,500 (0,001) 0,9700 (0,0001) 0,9990. Каждая табличная строка представляет собой таблицу, в которой последний десятичный знак аргумента р меняется от 0 до 9, причем в столб- цах с первого по девятый указаны лишь пять последних десятичных знаков, отличных от цифр в первом столбце (табличные значения функции Ч' (Р), у которых две первые цифры одинаковы, выделены «зонами»). Пусть, например, требуется определить Ч" (0,9775).
На пересечении строки «с номе- ром» 0,977 и столбца «с номером» 5 расположено число 04654; это число находится в той «зоне», где первые две цифры в «пулевом» столбце есть 2,0, поэтому окончательно Ч' (0,9775) = = 2,004657. Для вычисления значений Ч" при 0,999 < < р < 0,999999 дава специальная таблица, где для облегчения интерполяции вместо Р за аргумент принята величина — 19 (1 — р) = = 1д 1/(1 — р) (1д — десятичный логарифм). Интерполяция таблицы 1.3 на шесть деся- тичных знаков пе сложнее кубичпой. Погреш- ность квадратичной интерполяции нигде не превосходит 10», если в качестве интерполя- ционной формулы воспользоваться формулой Бесселя: Ч (Р) = 1 (Р») + идх (Р»)— — — [А"~' (Р«) + А'Ч' (Р ))), где р ), р„р„...
— равноотстоящие таблич- ные значения аргумента Р«ьр<Р). = (Р— Р»)~(Р( Р«) — Фаза интерполяции. Первые и вторые разности функции Ч".(Р) определяются формулами ЬЧ) (Р() — Ч' (Р( ) — Ч' [Р(), А'Ч' (Р() = АЧ«О«) — АЧ'(Р(). ач"(в( ) а ч'() «) р д = 0,9986 ро = 0 9987 р» = 0,9988 р« = 0,9989 2,988882 3,011454 3,035672 3,061814 22 572 24 218 26 142 1646 1924 Так как в данном случае и = 0,5 и (1 — и).= = 0,25, то по формуле Бесселя получаем Ч' (0,99875) — 3,011454 + + 0,024218(2 — 0,003570/16 =-3",023340.
На самом же деле с точностью до шесто~о знака Ч' (0,99875) = 3,023342. Таблица 1.3 составлена по восьмизначным таблицам [Т101. Дополнительная таблица для отыскания Ч' (Р) при р '> 0,999 вычислена в отделе математической статистики Математического института нм. В. А. Стеклова АН СССР. Более подробные сведения о функции Ч' (р) и ее применениях можно найти в [Т101 и [28, 47, 68). Т а б л и ц а 1.4. Отношение Миллса В таблице даны (с пятью десятичными знаками) значения отношения Миллса 0 ф( ) — е» )3 -(Ч»((1 <» (х) для х = 0,00 (0,01) 3,0 (0,1) 10. При х ) 10 это отношение приближенно равно выражению х ' — х» + Зх»; погрешность не превышает 15х '. Пусть, например, требуется вычислить Ч" (0,99875). По таблице 1.3 выписываем четыре соответствующих значения функции Ч) и составляем следующую вспомогательную таблицу разностей (выделены те значения функции Ч' и ее разностей (»Ч' и А»Ч", которые входят в ннтерполяционную формулу)4 П.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ х' если х ~(0, если х) О. и О, х е т. е. клн, окончательно, — 15— Случайной величиной )('„, подчиняющейся распределению уа с п степенями свободы, назы- вают сумму квадратов п взаимно независимых случайных величин б„с„..., е„, одинаково нормально распределенных с параметрами (О, 1) (см. раздел 1). Таким образом, )( = 11 + $2 + ° + Й. Функция распределения у' с п степенями сво- боды выражается формулой (см., например, (38, 681) Рп(х) =РЬ~ (х) = Таблицы етого раздела предназначены для вычисления значений так называемого интеграла вероятностей Хаг Р (х, п) = 1 ~ уи/2-1 е-у/21(у 2и/'Г (п/2) п=1,2,3,..., связанного с функцяей распределения ув со- отношением Р(х, и) = 1 — Рп(х), а также для вычисления Е-процентных точек распределения )(2 (иногда их называют Е-про- центными критическими значениями), которые определяются как значения функции х (Е, и), обратной 100Р (х, и) % по аргументу х: Р ( (Е, ), .1 = Е)100 (0% < Е ( 100%; и = 1, 2,...).
Иными словами, при фиксированных Е и п значение Е-процентной точки х (Е, п) определяется как корень х уравнения Р (х, п) = 0,01Е. Производные интеграла Р (х, п) по аргументу х связаны с разностями цо аргументу и/2 формулой эв 1 —,Р(х,п)=-~ — — ) Ч'Р(хвп — 2з)в (2) где Р(х* ) = Р( +3) — Р(х, ), Ч'Р (х, т) = рв ' Р (х, т + 2) — тУ 1Р (х, т). Поэтому разложение функции Р (х, и) по степеням (х — хв) имеет вид Р (х, п) = Р (х„п) + т т (х — х.) + ау ( — —, — 7 Р(хе, гг — 2т). (3) 2/ т! Равности Ктр можно использовать также Лля вычнсленяя ортогональных функций Лагерра. Полипом лагерра ьгпг (у) степени т с нндаксомп определяется формулой (вг) О, у ) О) д — (у"'Во 1Е"У) = ( — 1) т! Ьг > (у) у" Е "° ду™ т Полагая сг = п/2, у = х/2 и рааделпв обв части послед- него равенства на 2т+1 Г (т+ >г/2), получки хтгп/2-ге-х/2 дх ' ~ 2и'+"/2Г (т + п/2) ~ 1 ( + 1) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
