Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доверительные пределы для медианы Т а б л и ц а 6.7. Критические значения для количества серий Т а б л и ц а 6.8. Критические значения статистики И' критерия Вилкоксона Т а б л и ц а 6.9а. Критические значения статистики Х критерия Ван-дерВардена Т а б л и ц а 6.9б. Вспомогательная таблица для вычисления дисперсии статистики Х критерия Ван-дер-Вардена Другие ранговые критерии Т а б л и ц ы 6.10. Ранговая корреляция Таблица 6.10а. Распредс..аппо коаффпппспта рапговой корреляции р Опирыена Таблица 6.10б.
Распределение коаффпппсвта ранговой корреляции т Кендалла Таблица 6.10в. Распределение коаффициеита согласованности И'.. УН. Вспомогательные таблипы Т а б л и ц а 7.1а. Равномерно распределенные случайные числа Т а б л н ц а 7.1б. Нормально распределенные случайные числа Т а б л и ц а 7.2. Ортогопальные мпогочлеиы Чебышева Т а б л и ц а 7.3.
Степени целых чисел Т а б л и ц а 7.4. Оумьгы степеней шсел натурального ряда Т а б л и ц а 7.5. Квадраты целых чисел Т а б л и ц а 7.6. Факториалы, десятичные логарифмы факториалов, квадратные корни и обратные величины Т а б л и ц а 7.7. Г-функция, ее десятичный логаркфм и некоторые вспомогательные функции Т а б л и ц а 7.8. Натуральные логарифмы Т а б л и ц а 7.9, Постоянные «Литература Послесловие (70. В. Лрохороо, Д.
3К Тпбасао) . Коигшптарпи и библиографии (сост. Д. С. Шяерлияг) Укааатель Стр, паясви- Стр. тельной таочасти лиц 98 363 98 363 98 36«а 160 365 030 366 100 371 100 376 102 386 102 388 103 390 1ОЗ З92 103 398 104 400 105 402 106 403 404 413 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Из года в год наблюдается все усиливающийся антерес к математнко-статистическим методам со стороны представителей почти всех опытных паук и технических дисциплин, а также со стороны работников производства, медицины, сельского хозяйства и т.
д. Эти лица болыпей частью нуждаются в указании рационального способа обработки имеющихся у них результатов наблюдений или специальных экспериментов для получения по возможности надежных и обоснованных заключений на основе информации, доставляемой опытом.
Но как раз эта конечная цель статистической обработки, предпринимаемой ради решения определенных познавательных задач или руководства последующей деятельностью, требует применения вероятностных оценок, делающих выводы, сопоставления или прогнозы оправданными н надежными в той мере, в какой это вообще возможно в данной ситуации. Этот заключительный и наиболее ответственный момент приложения статистических методов технически должен быть, как правило, обслужен надлежащими таблицами функций распределения используемых статистических критериев. Необходимость специальных таблиц для полноценной методики статистических выводов была осознана уже давно, и в настоящее время работа над созданием весьма разнотиппых по своему составу таблиц математической статистики ведется довольно широко.
Наибольшей популярностью в международной статистической практике пользуется сборник *), отравивший, с одной стороны, основные постижения английской школы Р. Фишера и с другой — школы Неймана — Пирсона. Эти таблицы взяты за основу при составлении настоящего сборника. Был использован ряд таблиц, опубликованных в рааличных математических журналах и книгах; соответствующие литературные ссылки даны в описании каждой таблицы; обнаруженные ошибки исправлены. Приблизительно четвертая часть всех таблиц различных функций (их в сборнике около (00), необходимых для приложения вероятностных и статистических методов, вычислена целиком или частично в Математическом институте ЛН СССР и публикуется впервые. Канской таблице предпослано специальное описапие.
В разделах 1 — П1 сосредоточены таблицы, наиболее часто встречающиеся в статистической практике (таблицы нормального распределения, )('-распределения, распределения Стьюдента и т. д.). В подробных описаниях таблиц этих разделов рассмогрены различные примеры статистических приложений и приемы интерполирования. Остальные таблицы разделов 1'чг — 'чг1 имеют более специальное назначение и'снабжены поэтому лишь краткими замечаниями. Предполагается, что читатель владеет основными понятиями теории вероятностей и математической статистики. Введение к таблнцаы не может заменить изложение соответствующих вопросов в том или ином учебнике: опо гчредпазначено лишь для ориентировки читателя в способах применения таблиц для решения наиболее типичных задач статистической практики.
С цель|о осуществления возможности вычисления значений табулированных функций во всей естественной области их определения некоторые из имевшихся ранее таблиц расширены, что в ряде случаев потребовало уточнения асимптотических формул и разработки специальных приемов интерполяции и экстраполяции. 'Таким образом,по сравнению с указанным выше сборником Пирсона и Хартли предлагаемый сборник содержит не только более обширный по своему составу, но *) Р е а г з о в В. Я. апд Н а г 11 е у Н, О. В!ошесг!ка !а51ез !ог з!а!!з!!с!авз, ч. 1.— СашЬгйяе 0з!чэгэ!!у Ргезз, 1954.
и в ряде случаев более полный (в смысле охвата естественной области определения) комплекс табулированных функций. Там, где это представилось возможным, наряду с функциями распределений приводятся таблицы соответствующих процентных точек или квантилей. Значения некоторых функций даны с количеством десятичных знаков, иногда превышающим запросы обычных статистических приложений. Это сделано в расчете на решение других задач, воаникающих в математической статистике и требующих повышенной точности. Например, вычисление критических значений для резко выделяющихся наблюдений требует знания квантилей распределения Стьюдента с несколькими запасными десятичными знаками.
Точно так же квантили В-распределения можно оценить по квантилям Г-распределения, вычисленным с большей точностью (см. описания таблиц 3.4 и 4.8в). Таблицы занумерованы двойной нумерацией. Первое число указывает номер раздела, а второе — номер таблицы этого раздела. В пределах каягдого раздела во введении формулы имеют самостоятельную нумерацию с помощью лишь одного числа. В ссылках на формулы других разделов принята двойная нумерация; например, (3.2) означает формулу (2) из раздела Ш.
Способ интерполяции указывается, как правило, для каждой таблицы отдельно, чтобы по возможности свести к минимуму ссылки на описание других таблиц. Ссылки на литературу даются числами, заключенными в квадратные скобки. Каждое число указывает номер статьи или книги в списке литературы, приложенном к таблицам. В ссылках на таблицы перед числом поставлена буква Т (например, [Тб~ ).
П р и н я т ы е о б о з н а ч е н и я. В тех случаях, где это представлялось возможным, случайные величины обозначались греческими буквами, остальные величины — латинскими. Иногда в разных по содержанию таблицах можно встретить одинаковые обозначения для разных величин (например, И' — статистика критерия Вилкоксона, И~ — количество серий и И' — выборочный размах). Однако в пределах каждой таблицы одинаковых обозначений нет. Р (А) — вероятность события А, М$ — математическое ожидание случайной величины $, 0$ — дисперсия случайной величины $.
В работе по вычислению таблиц, по подготовке рукописи к печати принимали участие сотрудники отдела математической статистики МИ АН СССР: Б. И. Девятов. Е. С. Кедрова. В. Ф. Котельникова, Н. К. Печенкова, М. А. Рыбинская. 1. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Таблица »Л. Функция нермвльйого распределения Распределение случайной величины $ нааывается норд«ел»ныла, если соответствующая ей функция распределения выражается формулой Р($«. х) =У(х; а,о)= = ехр~ 2 а ~с)1, (1) «/ 2пе в которой х может принимать все действительные значения и где а и о — параметры распределения (( а ) ~ оо, о) 0). Функция нормального распределения У (х; а, о) удовлетворяет равенству У (х; а, о) = У((х — а)/о; О, 1), (2) поэтому для вычисления ее значений достаточно иметь таблицу функции Лг (х; О, 1) (далее условимся для краткости обозначать Л' (х; О, 1) = Ф (х)).
Таким образом, Ф (х) = ((((х; О, 1) = ~ е н(аа(1. (3) Узя Формулой (3) функция Ф (х) определяется при всех действительных х и представляет собой непрерывную, монотонно возрастающую Я -7 д 7 2 х Рнс. 1. функцию, изменяющуюся от 0 до 1 (график функции Ф (х) изображен на рис.' 1); легко можно убедиться в справедливости формул ='а е п(аа)(=Ф(х) — —, з х = 'а е анзй=2Ф(х) — 1. У2п д Так как при всех действительных значениях х имеет место тождество Ф(х) + Ф( — х) — 1, (4) то для вычисления интеграла (3) достаточно иметь таблицы функции Ф (х) лишь для х в О.
В таблице 1.1 указаны значения функции Ф (х) с шестью значащими цифрами для х = = 0,000 (0,001) 3,000 и с пятью значащими цифрами для х = 3,00 (0,01) 5,00 (в данном случае значащими называются все разряды десятичной дроби, начиная с первого, отличного от девятки; например, если Ф (х) = 0,99976737, то значащими цифрами будут 76737).
Каждая табличная строка представляет собой таблицу функции Ф (х), в которой последний десятичный знак аргумента х меняется от 0 до 9, причем в столбцах с первого по девятый указаны лишь последние цифры значений Ф (х), отличные от цифр в «нулевом» столбце (табличные значения функции Ф (х), у которых несколько первых цифр одинаковы, выделены «зонами»). Пусть, например, требуется определить Ф (0,055) и Ф (3,73). Па пересечении строки «с номером» 0,05 и столбца «с номером» 5 расположено число 1931; это число находится в той «зоне», где первые две цифры в «нулевом» столбце есть 52, поэтому окончательно Ф (0,055) = = 0,521931. Во втором случае на пересечении строки «с номером» 3,7 и столбца «с номером» 3 находим число 04260; так как первые цифры в соответствующей «зоне» есть 94 (т. е.
9999), то Ф (3,73) = 0,999904260. При х ~( 3 таблица 1.1 допускает линейную интерполяцию, а при х ) 3 — квадратичную х) *) Для интерполяции в пределах шести десятичных знаков можно воспользоваться формулой Ф (х) = = Ф (х„) + (х — х,) Ч (хз), где х, — блнжвпшсе к х табличное знзчвнке аргумента к ар (х( = ЕФ (х)(ах (знзчення производной ар (х) даны в таблице 1.2). (соответственно на шесть н на пять значащих цифр). Пусть, например, требуется определить Ф (и/2) н Ф(п). Так как 1,570 ( и/2 ( 1,571, 3,14 ( и ( 3,15 и по таблице 1.1 Ф (1,570) = 0,94 17924, Ф (1,571) = 0,94 19087, Ф (3,14) = 0,94 15526, Ф (3,15) = 0,94 18365, Ф (3 16) 0 94 21115 то, сохраняя только значащие цифры, получаем ЬФ (1,570) = 1163, ЛФ (3,14) = 2839, Ь4Ф (3,14) =- — 89, где ЛФ и /гоФ вЂ” первая и вторая разности функции Ф (х), вычисляемые для равноотстоящих значений аргумента хо, х, и х, по формулам иФ (хо) Ф (хг) Ф (хо) Л4Ф(х,) = />Ф (х,) — ЬФ (хо) = = Ф (то) — 2Ф (х,) + Ф (х,).
Согласно интерполяционной формулу Ньютона имеем (квадратичная интерполяция) а (1 — и) Ф(х)=Ф(хо)+и'йФ(хо) — 2 Л'Ф(хо), где х, ~ х( х„и = (х — хо)/и — фаза интерполяции и /г — табличный шаг аргумента, т. е. /г = х, — х,. В обоих случаях первые разности >1Ф имеют четыре значащих цифры, поэтому фазу интерполяции и следует вычислить ие менее чем с четырьмя верными знаками: в первом случае и = 0,7963, а во втором и = = 0,1593 и и (1 — и)/2 = 0,067. Таким образом, с погрешностью, не превышающей единицы последнего десятичного знака, находим Ф/ — ") =10 '(9417924+ 0,7963 1163) (2/ = 0,9418850, Ф (и) = 10 ' [99915526 + 0,1593 2839 — 0,067( — 89)1 = 0,99915984. Для вычисления функции Ф (х) при х) 5 можно воспользоваться аснмптотическим рядом: Ф(х) =1— 1 „,4/ 1 13 135 — е-"'/' (1 — —,, + — — —, +...) .
х)/ 2а Таблица 1 1 составлена по пятизначным таблицам [Т361. Более подробные сведения о функции нормального распределения можно найти в учебниках [38, 68, 115, 128, 1371. Таблица 1.2. Плотность нормального распределения и ее пять производных Плотность нормального распределения спараметрами (а, а) продставляет собой первую производную по х от функции нормального распределения /о' (х; а, а): п (х; а, и) = ех'~ (х'а'а) 7= ехр ~ 2 ( ) ~1 в частности, >г(х; О, 1) = — />/(х; О, 1) = — = е-х-'/о. а оаг 1 х ' ' Их У" 2п Поэтому п(х;а,а)=п(х о; 0,1)/гп, значит, для вычисления значений плотности нормального распределения достаточно иметь таблицу функции и (х; О, 1) (далее условимся для краткости обозначать п (х; О, 1)= гр (х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
