Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Г (р) 3 о Заменой переменной интегрирования 2х = у убеждаемся, что при и ) 0 еи 1(и,Р)= р зл У" 'е-зндУ=1 — Р(2и, 2Р). 1 2" Г (р) Если 2р — целое число, то для вычисления 1 (и, р) можно непосредственно воспольаоваться таблицей 2Ла. Если же 2р — дробное, то для вычисления функции 1(и, р) потребуется интерполяция таблиц интеграла Р (х, п) по аргументу и; при и ) 32 (прп р ) 16) эта интерполяция осуществляется довольно просто по таблице 2.1б, где по аргументу и = 1)'"у' 2п = = 1/(2 у" р) допустима линейная интерполяция.
Для вычисления функции Г-распределения 1 (и, р) существуют специальные таблицы [Т22, Т26Ь которыми в силу последней формулы можно воспользоватьсн для вычисления интеграла Р (х, п). Вычисление зна сепий функции распределения Пирсона 111 типа. Функция распределения Пирсона 111 типа с параметрами а и Т (~ а ~: сс, у ) 0) задается формулой Р(х;а,у) = О, если х( — а, х С ~ [1+ =) е тису, если х~ — а, Р (й = Ус) = — „, е-л = Р (й + 1; Л) — Р (сс; )л) . Вычисление значений функции Г-распределения. Распределение вероятностей случайной величины $ называют Г-распределением с параметром р ) О, если ее функция распределения задается формулой з) сс е) ИнтегралГ(и, р) = Г)х~ ле хасхназызаюткепсло яой Г-фуакцвей; при и = со вспслаая Г-фувкцая совпадает с сспслноцм Г (оо, р) = Г (р). Таким образом, 1 (и, р) = Г (и, р]с'Г (р) (это спрецелсвве несколько отличается ст первоначально предложенного К.
Пврссасм [Т26): 1 (и, р) — -- Г (и )с р+ 1, р)с'Г (р + П). — 18 Поэтому для вычисления значений Р()с; ) ) в целочисленных точках )с можно применять таблицы 2.1а и 2Лб, полагая при сс = 1, 2, 3,... Р(й; сл) = Р(2)с, 2)с) (по таблице 2Ла конско непосредственно вычислять Р ()с; )с) при )с = 1 (1) 35). Таблицы 2Ла и 2.1б применимы также и для вычисления вероятностей РД = )с), так как где С не зависит от х п определяется условием Р (сс; а, у) = 1.
Заменой переменной интегрирования 27 (у +а) = х убеждаемся, что йкх+а) 1 с Р(х;а,у) = зйтй ' Вз= 2ат+с Г (ау+ 1) а = 1 — Р [2 у (х + а), 2ау + 21. Величина 2ау может быть здесь какцелой, так и дробной, поэтому предыдущее замечание о вычислении и интерполяции функции Г-определения целиком относится и к функции распределения Пирсона 111 типа. Вичисле>сие еиачеииа фуссииии ссеиеиюрального рас.ареде.сеиил Ха. Гслв случайные величины $1с $ес...
..., $„вззимвс независимы и подчивяются нормальному распределению с единичной дисперсией и отличными от нуля математическими сжадзккями, то распределение суммы теа (а) = 1е+ $л+ ° ° + сл называют нецевтрзльяыы распределением те с п степевямв свободы и параметром вецевтрзльвссти а = (мал)е+ (мс Р +... + (мса)', при а = 0 это распределение совпадает с обычным распроделевлзм Хг, т. е. Хгг(0) = Хг. Пецептральлое распределение Х' встречается в статистических аадачах, посвященных исследованию мощвости критериев типа Х' (см.
[20, 72[). Если число степеней свободы и — четное, то функция пецеитральвого распределения Хг выражается формулой (см. [42[) Ри (х; а) =. Р (Х„(а) < если х< О, О, Эта формула устанавливает связь между иецелтральвым распроделевиом 7» и распределением Пуассона. Действителько, пусть случайные величииы ц и возависимы и подчияяются распределевиям Пуассона с параметрами х/2 и а72 соответственно (х ) О, а ) О), т.е. при ш=-'0,1,2,... (х72) — †,, (а>2)и> Р(>>=ю)= — > а, Р(г=.т)= — — а и пусть г — произэольиое поло>китольвое число.
Из формулы (11) следует, что в таком случае Р(ц — 4>*[*, ) = Р (Х'„(а) <х). Если же г ~(0, то Р (ц - 4 > г [' ) = (уз,,) (х) > ) и+2а [ г аг Х вЂ” +Эа [Хи(а)т и-[-за~' (и+ 2а)г (и+ За)г (12) В качестве аппроксимации распределеиия случайной велвчивы Х" естественно воспользоваться обычвым Х'-распределекием с 7 стспевями свободы () — вообще говоря, число дробное). «Уииверсальиость» преобразовавия (12) выгодно отличает его от указавиых выше Таким образом, формулы (точиые или приближенвые) для фувкции центрального распределения могут быть использованы для вычисления функции распроделовия разности двух независимых случайных величии, подчивяющихся распределениям Пуассова. Легко можио убедиться, что при а 0 распределскяе случайной величивы Хг (а) стрел>ится к распределевию Х„' = Хг (0), а при а со отношение [Хг (а) — и — а[>»> 2 (и -[- 2а) асимптотически нормальио с параметрами (О, 1).
Уточнения этих предельиых теорем послужили осповой целого ряда прибли>кекяых формул для квавтилей и функции кецеятральвого распределения Х'. Одна яз наиболее удачных аппроксимаций этого распределения указана Э. Пирсоиом [94), который предложил нормировать Хг (а) так, чтобы математическое ожидавие, дисперсия и центральиый третий момент относились друг к другу как 1: 2 > 8 (такие отношения имеют место для соответствующих моментов обычного «цеитральвого» распределеиия Х'). В результате получается преобразование преобразоваиий, пригодных лишь при малых а или только ири больших а.
Вычисления свидетельствуют, что точность такой аппроксимации практически удовлетворительна при всех а ) О. Более того, можно показать, что функция распредслеквя случайной величины Х'г отличается от фувкцви распределения Хг с 1 степенями свободы при а 0 ва величину порядка аг и при а со ва величику порядка 17а (см. [17)]. В некоторых статистических приложеввях удобвсе воспользоваться менее точкым, во зато более простым преобразованием, предложеикым Патвайком [88): и + а Х„' (а), (18) (и+ а)з МХ"'=у=- и 2.
В качестве аппроксимации для распределения 7'г можно своза воспользоваться обычным распределением с е степеилми свободы. Если а О, то погрешность такой аппроксимации будет, как в прежде, велячииой порядка аг; если же а оо, то эта погрешность— величина порядка 1/Р а. Прибли>веивые формулы (12) и (13) особенно цевкы потому, что фуикция вецептралького Хг-распределеиия Е, (х', а) сколько-иибудь полно ие табулировава.
Для предварительных грубых всследозалий гющности статистических критериев типа Хг могут оказаться полезными таблицы [Т47[, которые беа измековвй воспро>«вводятся далее в разделе [У (таблипа 430). В этих таблицах даны величины параметра иецевтральности а для различных и, и и [), свяааивых уравиеииями )>и (х,' 0) = 1 — с«, Ри (х,' а) = 1 — [)> т. е. 6 = 1 — Ри [х (100а, и); а) (последвюю функцию от параметра кецеитральвости а вазывают функцией мощности критерия Хг с уровнем значимости и). Рассмотрим несколько примеров, из которых первые два будут посвящены формальным вычислениям по таблицам 2.1 и 2.2.
П р и м е р 1. Выч>«еление интеграла Р (х, и). Пусть требуется вычислить значения Р (х, и) з точках: а) х = 0,8442, и = 1, б) х = 19,2501, и = 14, в) х = 62,0355, и = 52. а) В первом случае х< 1 и и = 1, поэтому можно воспользоваться формулой Р (х, 1) = 2 [1 — Ф (р"х)). Так как )/х = [>'0,8442 = = 0,918804 и по таблице 1.1 Ф (0,918) = 0,820691 и Ф (0,919) = 0,820901, то линейной интерполяцией получаем Ф (0,918804) = 0,820691 + 0,804 0,000261 = = 0,820901. Таким образом, по формуле Р (х, 1) = 2 11 — Ф (угх)) окончательно имеем Р (0,8442; 1) = 2 (1 — 0,820901) = 0,35820.
— 19— б) Для отыскания Р (19,2501; 14) восполь- зуемся таблицей 2.1а и формулой Бесселя (8), где следует положить х з = 18,5, хо = 19,0 и х, = 19,5. Имеем Р (хо, 14) = 0,16495, ЛР (х „14) = — 0,02000, ЬР (хо,14) = — 0,01824, 6Р (хы 14) = — 0,01657, х — ха 19, 2801 — 19 0 5002 х,— ха О, и (1 — и) = 0,25. По формуле (8) окончательно получаем Р (19,2501; 14) = =10 о(16495-0,5002.1824+0,25 )= = 0,15561. в) Так как в третьем случае и = 52 — чет- ное число (и ( 70), то для вычисления Р (62,0355; 52) можно воспользоваться табли- цей 2.1а и формулой (9). Имеем и=52, х,=62, х,=64, и = 0,01775, и (1 — и) = 0,017. Р (х„п) 0,16148, ЛР (хо, и) = — 0,03865, ЬР (хо, и — 2) = — 0,03070, а ЛР (хо, и — 2) = ЬР (хо, и) — ЛР (хо, и — 2) = = — 0,00795, поэтому Р(62,0355; 52) = = 10 ' (16148 — 0,01775 3865 — '4 2 795) = = 0,16072.
В этом примере разность х — хо — — 0,0355 мала, поэтому для вычисления Р(62,0355; 52) можно было бы просто воспользоваться линейной интерполяцией по формуле (3): Р(х, п)=Р(хо, и) —, " РР(хо, и — 2)= =0,16148-0,0355 0,02134 = 0,16072. Наконец, таи иаи и = 52 ) 32, то этим примером можно воспользоваться для того, чтобы проиллюстрировать интерполяцию таблицы 2.1б (см. формулы (5) и (10)). Имеем Р (х, и) = 1 — Ф (») + В (», и), где » = )/ 2х — (Г2п = )/ 124,0710 — 7Г104=0,9407, и = = = 0,09806. 1 "г' 2н Таким образом, 0,9 (» ( 1,0, 0,09 ( и " 0,10 и иа = 0,407, и»(1 — иа) = 0,24, и = 0,806, иаи,= 0,33.
Из таблицы 2.16 выписываем те значения В и гаВ, которые входят в формулу (10) (все эти значения умножены на 10'): ,=ало он 0,8 0,'9 1,0 182 178 189 — 1242 197 — 1877 Следовательно, по формуле (10) В(0,9407; 0,09806) = — 1242+ 0,407 178+ + 0,806 (1242 — 1377) — — ' (169 — 182) + + 0,33 (197 — 178) = — 1271. Из таблицы 1.1 находим 1 — Ф(») = 0,17343 и убеждаемся, что в окончательном результате снова верны все пять десятичных знаков: Р (62,0355; 52) = 0,17343 — 0,01271 = = 0,16072. П р и и о р 2.
Вычисление процентных точек х(»), и). Пусть требуется найти х((а, 100) при (7 = 0,05% и 99 95%. Непосредственно по таблице 2.2а находим х(99,95%; 100) = 59,896, х(0 05%; 100) = 153,167. Постараемся теперь определить те же вели- чины по таблице 2.2б. Имеем 1~2п = у'200 = = 14,1421, и = 1/ )» 2п = 0,0707. Так как по таблице 2.2б г (99 95 о% 0 07) = 6 432 г (99,95%; 0,08) = 6,411, г (0,05 %; 0,07) = 6,631, г (0,05 % ' 0,08) = 6а640, Оба результата совпадают со значениями процентных точек, найденными по таблице 2.2а.
П р и м е р 3. Критерий то.' Рассмотрим последовательность независимых испытаний, то, линейно интерполируя по и с фазой интерполяции и = 0,07, окончательно получаем г (99,95%; 0,0707) = = (1 — 0,07) 6,432 + 0,07 6,411 = 6,431, г (О 05о4. 0 0707)— = (1 — 0,07) 6,631 + 0,07 6,640 = 6,632.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
