Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 52
Текст из файла (страница 52)
н. ПРОВеркА ПОРмАльностн кРиВОЙ эФФектА Пусть имеется т групп подопытных животных, и пусть и„, и„..., яг — количества животных в этих группах. Если животные подвергались действию некоторого вещества, причем логарифмы доз в соответствующих группах были равны 1,, (х,..., 1,„ и если в результате опытов с~али известны количества животных т„шз,..., ш„реагировав!них на эти дозы, то с помощью методов из 9 54 можно попытаться подобрать такую нормальную кривую эффекта, которая в том или ином смысле соответствует ' Рекомендации автора относительно критерия Х'(тзаь) для проверки яормальносги при небольшом числе классовых промежутков слишком неопределенны.
Как показали Чернов и Леманн (С Ь е г по ГЕ Н. апг( ! о Ь павии Е. Ь., ТЬо пво о( говхшпшг Ьйе!!Ьоос( свь(гпве в пп Хз зев(з (пг йоодпевв о( (!з,Апп. Ивзь. Ясак, йб, № 3 (! 954), 579 — 586), случай пан величина Х'(ть, зь) асимптогичсски распределена как сумма уг + уз+ .. ° . + + уг-з+ Аз у -в+ Дз уг-ы где уг — независимые н нормально распределенные величины, Я(у,) = О, П(уй = 1: числах,их лежатмежду нулем иединнцей н зависят от параметров проверяемого закона и принятого способа подразделения.
Если для данного уровня значимости о мы зададим критическую границу, исходя из закона распределения с г — 3 степенями свободы (как зто часто делается на практике), то такой выбор может привести к серьезному преуменьшению вероятности ошибок первого рода. Но и выбор г — ! степеней свободы, который рекомендуется автором, может привести к заметной потере мошностн критерия. — Прим.
ргд. з Очень хороший сводный отчет об зтих исследованиях дал Кочрен (см, С о о Ьг пи ЪУ. О., ТЬе Х' Еевь от яоос(почв отПЬ Апп. ЫазЬ. Ывь, ВВ, 315) ° у З6. Применения крикеерия Хе 285 наблюденным частотам Ь, = х,./п, Для того чтобы проверить согласие между этой кривой эффекта и результатами наблюдений, нужно вычислить соответствующие вероятности р„.. „р„а также их дополнения у, = 1 — р, и образовать ~ 1Ю вЂ” ннР~)' + к (М вЂ” иЕ)' (35) где у, = и, — х, — количество животных из группы с номером в', которые не реагировали на дозу 1,.
Так как снова (хе — яре) + (у, — лев,) = О, то (' можно записать короче: ~ (и — иерг)е (35) икр~де Прн этом постоянные Ь и в, определяющие положение и наклон кривой эффекта, нужно вычислять с помощью асимптотически эффективных методов, например по методам пробит-анализа или по методу минимума т' Ц 51). Графическая оценка прямой эффекта в этом случае не является достаточной, так как величина ти может получиться чрезмерно большой. Число степеней свободы равно ~ = 2т — т — 2 = т — 2, так как наблюдается 2т количеств х„..., х, и у,,..., у„, связанных т линейными уравнениями х,+у;=пи и два параметра Ь и в оцениваются по результатам наблюдений.
Если для одного и того жс дсйствующего вещества имеется несколько эмпирических кривых эффекта, то для кам<дсй такой кривой можно вычислить Ц и результаты сложить. Сумма у~ (с ~, степенями свободы) и Д (сне степенями свободы), в силу 2 23, подчиняется распределению ув с ~, + г; степенями свободы. Чем больше количество слагасмых, из которых складывается общая величина т', тем надежнее можно полагаться на асимптотическое распределение т'-'; это следует из центральной предельной теоремы Я 24 Г). Если найденные те, а также их сумма не превышают границ, за которыми нармалыюсть заведомо отвергается, то тем пс менее к гипотезе нормальности нужно относиться скептически, Толька тогда, когда на обширном эксперименталыюм материале удастся установить, что величины ти все время колеблются около своих средних значений ~ (г' — число степеней свободы) и, слсдова1ельна, сумма всех тв близка к сумме всех г', только тогда к гипотсзс нормальности кривой эффекта можно относиться с несколько большим доверием.
2ВБ Гх Х1. Проверка гиоотеа с аомоитью статистических критериев К. НАСКОЛЬКО ВЕЛИКИ ДОЛЖНЫ БЫТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ ИР, ЧТОБЫ БЫЛО ПРИМЕНИМО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Х'? В литературе можно часто встретить замечания такого рода применение распределения та допустимо лишь тогда, когда математические ожидания яр по величине не менее 5 или 10. Повидимому, эти замечания диктуются лишь взглядами их авторов. Кочрен, а вместе с ним все те, кто исследовал этот вопрос точнее, пришли к более оптимистическому заключению'. Символом Х' Кочрен обозначает ту дискретную случайную величину, которая применяется в критерии та: Хе ~~?~' ( ~в?) мг? Непрерывную случайную величину, подчиняющуюся распределению Ха с тем же числом степеней свободы Г', что и Х', он обозначает та и, точно так же как мы это делали в 3 56 Б, сравнивает распределения Х' и )(2. При этом особое внимание уделяется сравнению указанных распределений в той области изменения ы, где вероятность Р события Ха) и заключена между 0,01 и 0,05.
Согласие оказывается достаточно хорошим, особенно если число степеней свободы не слишком мало. Если оно больше 6, то одно из математических ожиданий яр может снижаться даже до 2/2 и прн этом согласие будет вполне удовлетворительным. При 60 степенях свободы или более и при малых математических ожиданиях точное значение вероятности Р оказывается существенно меньше приближенного значения, вычисленного с помощью распределсния Хв, так как дисперсия Х' больше дисперсии Х'.
Таким образом, применение распределения Ха лишь увеличивает надежность критерия. Если вместо распределения та воспользоваться нормальным распределением с точной дисперсией, вычисленной Холдейном', то приближение станет еще более лучшим. Как показывает пример в 3 56 Б, при двух степенях свободы математическое ожидание может снижаться до 2 единиц. Только при одной степени свободы нужно соблюдать осторожность н при этом либо требовать, чтобы математические ожидания не были меньше 4, либо, что еще лучше, умножить Х' на (Л' — 1)?Л; где хтг — общее число наблюдений (см. 3 9). л. примеры критерия 2 Пример 37.
Тройные гибриды примулы (т. е. гибриды по трем паследственныи признакам) скре?пинались с представителими чистой линии, т С о с )г г а и 'тт'. О., ТЬе Х' теа$, Ал?п. Мас)ь Бсаь, 23, 323. ' На)б ап е 1. В. Б., В)ошест))са, 23, 133 и 31, 346.
б бб. Применения криглгрил дв 287 у которых все три признака были рецессизнымиг. В качестве наследственных признаков рассматривались: СЬ вЂ” оЬ: Китайская примула — звездная примула 0 — йк Зеленый пестик — красный пестик 1т' — »и Белый венчик — желтый венчик В 12 семействахв потомства были получены следующие распределения восьми возможных типов: Номер семеаствв вв Сумме 197 ~ 110 119 121 122 ~ 127 129 13! ~ 132 ! !зз ~ 1за 179 1 12~ 17 9~ 20 16 !О 9 ! 3 11 ( 10, 150 16 ~ 20 9 ) 24 18,) 2 23 3 5 154 137 113 134 13 12 7 12 9 12 9 ' 12 1О' 6 13 9 5, 16 6, 14 14 13 5 !2 7 10 18, 10 ~ 18 1 19 4 14 4' 23 4 23 7 6 12 21 13 14 22 5 13 6 8 10 117 13 11О 16, 140 5 ' 4 5! 4 8)10 97 / 1055 2,0 )115,7 Сумма ) 93 ( 78 ) 92 ( 44 155 ! 41' ,40 !45 153 ( 41 76 7(в = / !2,6/19,2, 10,1/12,4, 18,1~ 4,9, 4,8 9,2! 3,2/ 14,2 5,0 Если трн наследственных признака не являются сцепленными и если факторы летальности и неуживчивости не играют никакой роли, то для каждого типа следует ожидать частоту, близкую к т)в.
Общая сумма квадратов отклонений от математических ожиданий для всех семейств равна дв = 115,7. В каждом семействе имеется семь степеней снободы, всего, следовательно, 84. беев-ная граница в случае 84 степеней свободы равна 106,4, следовательно, Хв превосходит эту границу. Кроме того, в трех семействах соответствующие величины Хв превосходят беге-ную границу для семи степеней свободы, равную 14,1. Семейство № 110 превосходит даже 1еюную границу 18,5, Таким образом, наблюденные частоты значительно отклоняются ат закона Менделя. Для того чтобы исследовать, какие из наследственных признаков ведут себя нерегулярно н имеются ли сцепленные признаки, мы, следуя Фишеру, разложим об!дую величину хе на составные части, соответствующие отдельным наследственным признакам и парам признаков. Тогда будет видно, какие составные части особенно велики.
в Сге(гогу, де %'(пвоп апб Базенов, Семей!сн оЕ Ргппп)а Зшепзш, Ю. оГ СепеЫоз, 13 (1923), 236. Статистический анализ излагается по книге Р!вЬег В. А„БЬвс!зц МейЬодз(ог ВевеагсЬ %огйегн, 11 епм Ех. 16, р. 101. (Терминология и основные понятия объяснены в примере 32, $ 46, где шла речь о двойных гибридах. — При.м. перев.) в Семейства 54, 55, 58 и 59 из этой таблицы исключены, так как числа, указанные Фишером, не совпадают с теми данными, которые указаны в журнале — У. о( СепеВсв, 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
