Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В. НЕСКОЛЬКО ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть имеется выборка объема я из некоторой бесконечной совокупности, разбитой на тв классов, и пусть х„..., х — наблюденные количества выборочных элементов, принадлежащих этим классам, причем х, -1-...
+х = я, 11ужно проверить гипотезу, согласно которой вероятности, соответствующие пе классам, равны заданным числам р„..., р (например, в случае двух несцепленных генов, '/ип е/,е, б/ап а/, ). С этой целью вычисляют та = ~ ' ' 1! (пе — 1 степеней свободы), (3) ппе и если 7(а превосходит границу, найденную по табл. 6, то гипо1сзу отвергают.
Строго говоря, распределение 1(а имеет место лишь аснмптотически при я- . Точное распределение случайной величины 7(а является дискретным, так как прн заданных я и р, величина те может принимать лишь конечное число значений. Для того чтобы проверить, насколько близки точное распределение и распределение та, я для случая я = 10; р1 = О 5; ра = 0 3; р, = О 2 вычислил точное распределение случайной величины 1,, — «-1* У=1 — е (4) 1З Б Л. аан дар Варден - !Оба 274 Ге.
ХЕ. Проверка гипотез с помои(ью статистически» критериев н сравнил его с аснмптотическим распределением. В этом слу чае (х, — б)' (х, — 3)* (х, — 2)а а б 3 2 (5) Имеется 66 возможных троек чисел (х„х„х,), удовлетворяющих условию х, + х, + х, = 10. Тройке (х„х„х,) соответствует вероятносгь . (0,5)и (0,3)» (0,2)» . (0) и се(м) =~е — 'в(с =! — в-".
о Поэтому асимптотическая функция распределения случайной величины У задается формулой О, о<0, У(о)= о, 0 о<1, (7) 1, п~ 1 Р и с. 28. Точное и асимптотическое распределение У с двумя степенями свободы (о = 10, и, = О,б, Ре = 0,3, ре = 0,2). и имеет своим графиком прямую, изображенную па рис. 28.
Отклонение точной функции распределения У от асимптотической мало, особенно в интервале от 0,95 до 1,который наиболее важен для приложений. Вероятность события )(а > 9,21 при аснмптотическом распределении должна быть равна 0,01, а в действительности она равна 0,0096. Вероятность события (а ~ 5,99, которая должна быть равной 0,05, в действительности равна 0,0502. В большинстве случаев истинный уровень значимости критерия та оказывается даже меньше уровня значимости, вычисленного по асимптотической формуле, поэтому примене- Каждая тройка, согласно (4) и (5), приводит к определенному значению У.
Эти значения и их вероятности (6) определяют не- которую ступенчатую функl цию, являющуюся функцией распределения случайной ве-' личины У (рис. 28). Асимптотическая функция распределения )(а с двумя степенями свободы равна Э" аб. Применения крик!ерня Х' ние асимптотического распределения, как правило, лишь увеличивает надежность критерия'. В литературе часто можно найти замечание, что асимптотическое распределение уа можно применять лишь тогда, когда наблюденные х, нли их математические ожидания пр, не слишком малы. Толька что приведенный пример показывает, что математические ожидания пр, могут быть равны лишь двум или трем единицам и тгм не менее асимптопшческое распределение оказывается г]це применимым. Это же подтверждается и другими примерами.
Если имеется много классов, то математические ожидания могут быть даже равны единице. Я однажды проводил вычисления в примере с десятью классами пр, = 1, пр, = 1,..., прка = 1 (и = 10) и нашел все еще удовлетворительное согласие с асимптотичсским распределением та. Следовательно, чрезмерная осторожность является излишней. В. сплвннние дВух Вероятностей Пусть некоторое событие в и, опытах наступило х, раз и не наступило у, раз.
И пусть в новых и опытах это собьпие наступило х, раз и не наступило у, раз. Нужно проверить, изменилась ли вероятность события или нет? Все опыты предполагаются неза виснмымн. Гипотеза, которую мы хотим проверить, гласит: вероятность р в обоих случаях одинакова. Значения р мы не знаем. Для того чтобы вычислить тт, мы должны р заменить некоторой оценкой, а именно, асимптотическн эффективной оценкой, так как иначе значение )(и может получиться слишком бел]шим 6 51), Для отыскания такой оценки мы нсспользусмся методом наибольшего правдоподобия.
Если вероятность осуществления события в каждом отдельном опьпе равна р, то вероятность того, что в и, опытах это событие наступит х, раз, а в и, опытах наступит х, раз, равна и»! па! ря чя» хоп»+Р» х»у» я» у» Прн вычислении максимума этого выражения на числовой множитель можно не обращать внимания. Максиатум достигается в точке х» + ха и»+ яа ' Надежность критерия Ха увеличивается, так как реже будет ошибочно отвергаться испытываемая гипотеза, когда она имеет место в действительности н вместе с тем мы с большим основанием будем ааилючать о существенности ]неслучайности) расхождений между наблюдаемым в опыте распределением и гипотетически допускаемым.
— Прим, ред. ] ьа 276 Гт ХЕ. Проверка гипотез е помо<чью етатиеишчеекик критериев С помощью этого значения р н д = 1 — Р образуем теперь 7(а== — + — — =' — += — + ' — —, (9) (па — «а<Р)а (Уа — п«7)~ (Фа — пар) (Ра «««7) пар УЩ п«Р «аат или, что то же самое, (Фа — пар) (па — «а«Р) п<РЯ пар7 (19) Но (па — п«Р) + (ва — п«Р) = (), следовательно, уа можно записать короче: а (па — п«РР («аа + па) (11) Ж папа!«а Ранее мы видслн, что при малых и, и и, множитель дг = — и, + + и, в числителе (11) целесообразно заменить на Л' — !.
При этом истинный уровень значимости бучст лишь незначительно превышать заранее заданную величину (см. Э 9). Таким образом, для сравнения двух вероятностей вместо Ха следует польэоватьея статистикой (ха — пар)а(п, +па — 1) (п<пэ — хап,)а(па+па — 1) п,п,рг па Ц(*. +*а) (Эа+ Ра) Число степеней свободы равно 1 = 4 — 2 — 1 = 1, так как наблюдались четыре количества х„ у„ э„ у„ связан«ые двумя линейными уравнениями, и оценивался один неизвестный параметр р по формуле (8).
Г. пРОВеРкА1незАВнсимости дВух пРизнАкОВ Пусть зат объектов раекласснфицированы по двум парам признаков, вследствие чего возникают четыре класса (так называемая таблица еопряв<еен<аоопги признаков 2 Х 2), и пусэь хп, в<а, хаа, паа — количества объектов в этих четырех классах. Нужно проверить, будут ли обе пары признаков независимыми? Пусть Р, и Р, — вероятности тоге, чео В отдельном опыте объект будет обладать соответственно первым или вторым признакэмн, принадлежащими первой паре, и пусть в, и да — вереятн< с<я признаков второй пары (Р, -' Р, =- 1, д, -~-<у« = 1).
Рслн признаки независимы, то четыРем классам соответствУют веРонгносы< Ра!(а, Рйа Рай« Р«2«. а еб. Применения криягерия Х' Значения рг и дя неизвесгньь Если для их оценки снова воспользова1ься методом наибольшего правдсподооня, то найдем Р, =- —" — 'е (4 = 1,2), Дк — — -' —" —,*" И = 1,2) (13) С помощью р, и дк можно образовать (х.— гсрч)', (х — )ет*т.)' + г Дгяет. )~'Ре4е + (хм — г))Р~~Уе)' + (х„— Лгп,т,)' Д'Р 4. З)реЧе Если в числигелях и знаменателях гтгр, заменить величинами я, = х,, + хм, то получим то же самое выражение, что и (9), когорое могкно преобразовать в (Е)) илп (! 1), нли (хо хее — х„х„)' дт (! 5) (хо т хее) (хм + хее) (хн + хм) (хее + хее) (14) Так как наблюдались четыре количества, связанные одним ли- нейным соотношением х„р х„+ х„+ х„= гтг, и два неизвестных параметра р, и ег, оценивались по результатам наблюдений с помощью формул (13), 1о число степеней свободы равно 1 = 4 — 1 — 2 =- 1, Если множитель йг в числителе (15) мал, то его снова целесообразно заменить величиной гт' †-1.
Среди английских статистиков в свое время велась большая дискуссия по вспрссу о выборе числа степеней свободы. Если проверка пезависимссти признаков производится на основе таблицы 2х 2, то чему должно равняться это число, 1 или 32 Первоначально Карл Пирсон вьшел критерий т' только дгя случая, ко~да вероятности р, и д» заданьь Прн зтсм предположении асимптотнчески для больших Л' имеет место распределение те с 4— — 1 = 3 с1епенямн свободы.
Если исзинные р, ь ик заменить нх приближенными значениями (13), то )(е может лишь уменьшиться. Поэтому истинное значение )(е не меньше приближенного значения (15). Следовательно, если приближеннсе значение (!5) превосходит границу и, то и истинное значение те заведомо превосходит а. Пусть граница и выбрана по таблице с тремя степенями свободы, тогда вероятность того, что истинное значение будет удовлетворять неравенству т' > а, равна ф ( = 0,01 нлн 0,05). Таким образом, для того чтобы иметь уверенность, что уровень значимости критерия )(е не превосходит р, нужно 27З Гг. Х1.
Проверка гипотез с помоиг*т статистические критериев пользоваться таблицами распределения тв с тремя степенями свободы — такой вывод делал Пирсон. В противоположность этому, Фишер оправдывал свою точку зрения так: величина ув, вычисленная по формуле (!5) (назовем ее тв), в большинстве случаев оказынается меньше истинного значения тв. Следовательно, вероятность события ув ) м существенно меньше вероятности события тв> вс.
Таким образом, уровень значимости критерия у' с тремя степенями свободы существенно меньше р, т. е. он излишне мал. Но если принять ~ = 1, то уровень значимости будет в точности равен р. Так как Фишер не смог точно доказать справедливость своего взгляда и прнводял лишь наводящие соображения, то ГОЛЬ н Браунлн с помощью обширных случайных экспериментов попытались установить, каково число степеней свободы у функции распределения тв.'Г = 3 или у = )с Опыты показали, что прав был Фишер, однако противники взгляда Фишера стали критиковать это экспериментальное доказательство.
В конце концов спор был полностью решен Нейманом и Е. Пирсоном', которые с помощью математического доказательства установили, что интуиция Фишера была правильной. Д. СРЛВНЕННЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть некоторое событие в первых яг опытах наступило х, раз и не наступило у, раз, во второй группе из яг опытов оно наступило х, раз и не наступило ув раз, н т. д. Нужно проверить, одинаковы вероятности этого события во всех группах опытов или нет? Еще более общим является следующий случай. Пусть а, объектов разбиты по какому-то признаку на й классов, н пусть х„тг„ ... а, — количества объектов в этих классах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
