Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 46
Текст из файла (страница 46)
действительно, как мы увидим, случайная величина те асимптотически имеет распределение Х' с ти — 1 — и степенями свободы, где г — число оцениваемых параметров Ю„..., йт в то время как, согласно 2 49, случайная величина тв, определенная формулой (!), асимптотически имеет распределение Хв с т,— 1 степенями свободы.
Числителя и знаменатели каждого слагаемого суммы (4) являются величинами порядка и. В знаменателях р можно заменить истинными значениями р', отличающимися от р величинами порядка 1)1'и: от этого функция распределения те изменится лишь на бесконечно малую величину. В результате получим видоизмененное выражение ~ (м — ир)* Хе =лн функцию распределения которого можно определить несколько легче, чем функцию распределения ув. Теперь мы воспользуемся теорией, изложенной в 2 48, причем в качестве р(о) выберем р* и рассмотрим координаты х,' = и р,(6') (6) гочки минимума квадратичной формы к (а — а')в Хо = л; Р,в = Ре(бв).
(2) Однако на практике истинные р* бывают неизвестны, и поэтому их заменяют оценками а И. ?Грал л ц х Как доказано в 5 48, оценки полученные методом минимума Х„'. отличаются оз соответствующих оценок наибольшего правдоподобия р величинами порядка 1/и. Поэтому пр в правой части (5) можно заменить па л', тогда Ц перейдет в у', и асимптотическое распределение не изменится. Следовательно, пам осталось лишь найти асимптотическое распределение тэ. Вероятность события тй ( м снова равна сумме вероятностей Р(Х) по всем точкам Х, принадлежащим области х~ ( и.
Как и в э 49, эту сумму можно заменить интегралом. В результате получится искомая аснмптотичсская функция распределения ~Г Г Р(и) =- (2п) ~... ) е 0У (8) где интегрирование производится по области Х,' С и, Введем теперь прямоугольные координаты у„..., у таким образом, чтобы выполнялось равенство, аналогичное (11) ~ 49: Х =Ут+ ° ° +У~. Ортогональным преобразованием этих координат можно добиться, чтобы гиперплоскость ~ х,.
= и в новых координатах имела уравнение у = О; тогда переменными интегрирования будут У ° ., У,, н мы получаем зГ Г Р(и) = (2п) ~... ) е "ч~?у,,4 (9) Теперь мы можем ещс раз ортогонально преобразовать координаты таким образом, чтобы новые оси Оу,,, Оу„лежали в линейном пространстве 6, определяемом параметрическими уравнениями р, -= р,(д); остальные оси будут тогда перпендикчлярны пространству О. Компоненты точки минимума формы (?) в этих новых координатах можно вычислить особенно легко. Действительно, точка Х' принадлежит О, следовательно, из ее координат отличными от нуля могут быть лишь у,',..., у,': остальные координаты у,„,,..., у, равны нулю.
В новых координатах форма ,"Д имеет аид у,) 4 ...4 (У„У,)-+У...+... У,-„,. (10) Она достигает своего минимума, когда все разности у,— у,,..., 254 Гв. 1Х. Оценка параметров по наовтэенным частотам у, — у, становятся равными нулю. В этом случае первые г слагаемых суммы (1О) исчезают, и мы имеем Хо = уеег + + ум-г. (11) Следовательно, в (9) область интегрирования является цилиндрической. так как левая часть неравенства у, '~ и зависит лишь от у„+„..., у, Если в (9) произвести интегрирование по у,,..., у„ то получим г Г 1 Р(м) = (2ц) ~... ) в " ' ду,+г...
йу,, (12) где область интегрирования задается неравенством (13) у,'+г +... + у' г ( и. Таким образом, Р(и) действительно является функцией распределения те с т — 1 — т степенями свободы. Оби(ии критерий те можно теперь сформулировать так: Если выражение уе превосходит границу, укаэанную в табл. б для т — ! — г степеней свободы, то гипотезуь соглисно которой истинные вероятности р' имеют параметрическое представление рЯ, гледует отвергнуть. В символе уе волна введена только для того, чтобы ясно отличать !ее от истинного т'. В приложениях этим различием, как правило, пренебрегают.
Очень важным для приложений является вопрос, можно ли в правой части (4) вместо р =. р(а) воспользоваться какой-либо другой оценкой р(Т)? Ответ гласит: Жслгг Т вЂ” асимггтотически эффективная оценка Я 50, конец) и поэтому ~ Т вЂ” Б ! с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, является ве,тчиной высшего, чем !/)гп, порядка малости, то в правой части (4) р можно заменить на р(Т) и зателг применить критерий Хе. Доказательство очевидно. Если к пр в числителях (4) прибавить некоторые дополнительные члены высшего, чем 1,г)гп, порядка малости, то т' изменится лишь на бесконечно малую величину, поэтому асимптотическое распределение останется неизменным.
Но если р заменить другими сценками, отличающимися от Р величинами в точности порядка ! фп, то (4) может оказаться значительно больпге те. Отсюди мы видам, как важно пользоваться лишь асимптотпчески эффективными оценками. и" 51. Критерий Х« Пример Зб. Если мы хотим проверить изложенную в примере 34 (( бб) гипотезу Ф. Бернштейна о группах крови О, А, В и АВ, то сначала можно найти оценки наибольшего правдоподобия для параметров р, 2 и и = 1— — р — и и затем с помощью функций от этих оценок р «2 рл = 2!и + р«, р. = 22 + 2«. ~ р« = 2рд (! 4) вычислить величину Х'. (лх — пр,)«(л« вЂ” пр«)«(л« вЂ” ирл)«(л, — пр,)з Х~ = .— — + — — + — т .
(15) прл пр« пр« пр« Так как по результатам наблюдений оцениваются два параметра р и и, то число степеней свободы равно /=4 — 1 — 2=1. Оценки параметров р и д очень сложны. Существует более простой способ проверки указанной гипотезы, который практически дает такой же результат, что и общий критерий х'. Прежде всего заметим, что уравнения (! 4) определяют в пространстве наблюдений некоторую поверхность Р и чхо Р представляет собой такую ~очку этой поверхности, котораи находится на кратчайшем расстоянии от наблюденной точки Н, в смысле метрики, определяемой выражением у'.
Следовательно, Хл — квадрат расстояния от Н до поверхности Р. Вместо параметрического предстанления (!4) поверхность У можно «адать с помощью ее уравнения, которое имеет вид« )'р,+р,+~р,+р,— (/р,— 1 —.. 0. (1б) Если точка Н не лежит на поверхности Р, то расстояние от Н ла поверхности пропорционально величине Р = ) Ь, + Ь, + )«Ь,(( !«-, 1 Ь, (1 У) Функцию Р в окрестности «истинной точки«Р, принадлежащей поверхности У, можно аппроксимировать линейной функцией координат Ь„йе Ьл.
Положив Ьг = рг+ ип после небольших вычислений найдем, что 1 и,+ие 1 и+и 1 и, Р— — — — + - — — — — = атил+ п,и, — . 'а,ил. (13) 2 ~!р, ! у, 2 )(р !.1, 2 Случайные величины и, =- Ьг — рг распределены пряближенио нормально с пулевым средним значением и дисперсиях«н С и, .-- пр, (1 — р;). (19! Согласно (4) з 50, математические ожидания произведений и,их также известны: с. и ие = — ««р; Рх. (20) ' Вегпа(е(п Г., 2.
)пг). АЪв(ашптппйв — и. ЪегегЪппдв1ейго, 27, (1, 245. е"я. ХХ. Оценки параметров по наблюденным чистотел йбб аз = азз Я йз + оз зЯ нзз + из зЬ из + 2оз из б изнз + + 2и, оз Я н,из + 2из из ~с нзнз (21) Следовательно, случайная величина дз дй о.з (22) есимптотичсски распределена, как х' с одной степео ью свободы. Выражение хп приближенно раино выражению хе, введенному ранее, и может быть з использовано для проверки гипотезы Бернштейна. Прн вычисление аз вероятности рп входящие в (!8), (!9) и (20), можно заменить нх приближенными значениями йь Прн тех больших значениях и, которые, как правило, встречаются при данного роля исследованиях, зто приближение ие может вызывать опасений, тем более что при небольших изменениях ре величина Хз меняется не очень сильно. Таким образом, сумма о,и, + изн, + и,мз (а вместе с ией н величина О) распределена приближенно нормально с нулевым срслним значением и дисперсией ГЛАВА Х ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ БИОЛОГИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ Эта глава посвящена обработке результатов биологических испытаний ядов н других веществ (Ьго-аээау!).
Если подопытные' животные подвергаются действию различных доз некоторого яда, то для каждой дбзы наблюдается определенная смертность. Кривая, изображающая зависимость смертности от дозы, называется кривой эффекта. Мы рассмотрим различные методы оценки кривых эффекта по результатам наблюдений. При этом будет предполагаться известным в основном лишь содержание гл. 1 и ГЕ з 52.
Кривая эффекта и логарифмическая кривая эффекта Существуют препараты, действие которых может быть выявлено лишь тогда, когда некоторое количество подопытных животных подвергают действию различных доз испытываемого вещества и регистрируют, сколько животных реагирует определенным образом, например умирает. Каждой дозе соответствует определенная вероятность реагирования, которая может быть аппроксимирована эмпирической частотой. С возрастанием дозы, как правило, возрастает и вероятность Р. Если эту вероятность как функцию дозы изобразить графически, то получится кривая эффекта данного препарата.
Очень часто в качестве абсциссы выбирают не саму дозу, а ее логарифм 6. Соответствующая кривая в плоскости Юр называется логарифмической кривой эффекта. Одно из преимуществ применения логарифмов заключается в том, что кривые эффектов двух препаратов, отличающихся только различными концентрациями действующего вещества, получаются друг из друга параллельным сдвигом. Величина параллельного сдвига, очевидно, равна логарифму отношения концентраций, Если имеются два препарата с похожими свойствами и нужно сравнить результаты их действия, то по большей части предполагают, что соответствующие логарифмические кривые эффек- а Вю-нанну (англ.) — бнолом!веское испытание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
