Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Кривая с уравнением (5) так же, как нормальная кривая, симметрична относительно точки с координатами з = О, р = 1/2: Р(а) +р( — з) =1. Уравнение (5) можно легко разрешить относительно г: з = — 1п(- — 1) . Д (6) ~.п Величины з, определяемые формулой (6), называются лбгижами. Вычисления с помощью логитов выполняются легче вычислений с помощью указанных ранее пробитов у = '.Р(р). Все методы пробит-анализа (графический метод, метод наибольшего правдоподобия, метод двух точек и метод одной точки) можно с одинаковым или еще ббльшим успехом применять для логит-анализа.
2 55. Методы «вверх и вниз» А. метод диксона и мидА Диксон и Мудв указали метод, который нри меньшем количестве опытного материала позволяет получать столь же точные оценки, как и методы, изложенные вьппе. Согласно этому методу, сначала нужно выбрать исходную дозу (1 — логарифм этой дозы) и подвергнуть ее воздействию одно животное. Затем, смотря по тому, реагйрует ли животное определенным образом (например, умирает) или нет, логарифм уменьшается нли соответственно ' В е г1е в оп Т., Лопгпа1 Агпег.
31а11ва Аввоо., 39, 41, 48. ' П1 в о и %1'. Ю. апа Вг о о е А. М,, допгпа1 Ап1ег. 81айвг. Аввое., 43 (19481, 109. 268 Гл. Х. Обработка реобльтагпов биологических исаытакий увеличивается на Ыи новая доза применяется ко второму животному и т. д. — всегда вверх или вниз. Никакие другие дозы, кроме доз с логарифмами 1, 1+ с(, ! 3- 2И,..., не применяются. При таком методе ббльшая часть экспериментов автоматически проводится с теми дозами, которым соответствует наиболее крутая часть кривой эффекта, так как если смертность близка к единице, то доза, с большой вероятностью, будет уменьшена, и точно так же если смертность близка к нулю, то доза будет увеличена.
Это очень выгодно, так как приходится иметь дело как раз с той частью кривой эффекта, которая находится вблизи точки с ординатой р = ",, (50%-ная смертность). Чтобы метод действовал хорошо, разность «1 должна, по возможности, быть выбрана из интервала от о/2 до 2«г. Таким образом, грубая оценка для гг должна быть известна заранее. Для оценки неизвестных параметров можно бы было применить метод площадей. Однако Диксон и Муд воспользовались другим, чрезвычайно, простым методом. Согласно этому методу, сначала надо подсчитать общее число «успехов» (т, е.
число случаев, в которых животные реагировали положительно) н общее число «неудач». Пусть л»т — наименьшее из этих двух чисел и пусть соответствующее Менее частое событие (успех или неудача) происходило при экспериментах с дозами 1, Ц, 4,..., причем для указанных доз это событие наступало по, п„н„... раз. Образуем суммы (=~йя„ В=~й»пь. Тогда для Ь вЂ” логарифма 50'/-ной дозы — можно указать следующую оценку: лег =!о+ '1~у с~-1 ° Знак + употребляется в том случае, когда успехов наблюдается больше, чем неудач, а знак —, когда успехов наблюдается меньше, чем неудач.
В качестве оценки для ст используют выражение е = 1,62~ ., + 0,03~ . (2) Обоснование этих формул методом наибольшего правдоподобия можно найти в оригинальной работе. Броунли, Ходжес и Розенблатт (см. Вготвп1ее, Нос)йез апг) Кобец!»1а6$, д. А»пег. 8$аь)зь. Аззос.,48,262) показали, что формулы (1) и (2) очень полезны даже при малом количестве опытов. Кроме того, этн авторы предложили вместо (!) н (2) несколько модификаций, предназначенных для того, чтобы сделать метод еще более эффективным.
При обосновании формул (!) и (2) кривая эффекта предполагалась нормальной, однако это предположение не очень суще- д дд. Методы ввверх и внове ственно. Достаточно, чтобы часть кривой вблизи средней смертельной дозы приближенно представлялась некоторой нормальной кривой.
Поведение ветвей кривой эффекта вблизи прямых р = 0 и р = ) не имеет большого значения, так как метод устроен таким образом,что очень большие и очень малые дозы применяются чрезвычайно редко, н поэтому они не оказывают почти никакого влияния на среднее значение и дисперсию оценки лт, Недостатком метода является то обстоятельство, что последующий опыт можно проводить лишь тогда, когда установлен результат предыдущего опыта (успех или неудача).
Этот недостаток можно частично уменьшить, поставив одновременно, например, четыре ряда опытов. Б. МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ Согласно результатам Роббинса и Монро', метод «вверх н вннзв можно еще более улучшить, если дозы увеличивать или уменьшать не на постоянную величину Ы, а на некоторую переменную величину, стремящуюся к нулю при и- . Предварительно выбирают убывающую последовательность положительных чисел ОО пв и заДают начальнУю ДозУ вь Если на ДозУ (л Очередное животное реагирует, то в качестве следующей дозы выбирают 1 ~лет ~л с'ал но если животное на дозу )л не реагирует, то полагают (л+Т вЂ” — 1„+ — ал.
1 (4) Можно также, при желании, проводить опыты одновременно с несколькими животными. Если Лл — частота успехов в и-м опыте, то в следующем опыте дозу выбирают равной (л+ —— 1л + ( — — Ь„) и,. (5) В качестве оценки для 50%-ной дозы принимают последнюю вы- численнУю ДозУ вы+„гле Аг — число опытов. ПРи некотоРых огРаничнвающих предположениях Роббинс и Монро доказали, что при Л'- оценка вы+, сходится, по вероятности, к 50с~',-ной дозе, т. е.
что для достаточно больших .У с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место неравенство )1ы+,— Ь ) се. г В о Ъ Ъ1 а в Н..аай М о иго Бл А вьосьввмс арргокииа11ои шеььод, Ааа. МаЬЬ. ЗФаС., Вй (1951), 400. 270 Гл. Х. Обработка результатов биологитескик испмтапия а„= —,, (0ск< — ) В противоположность этому, Роббинс и Монро выбирают е а„= — .
Коэффициенты (б) с~оль медленно стремятся к нулю, что это обеспечивает состоятельность оценки при доволыю общих предположениях о виде кривой эффекта. При выборе последовательное~и (7) нужно соблюдать осторожность, Если а — угловой КОЭффИцИЕНт КаСатЕЛЬНОй К КрИВОй Эффеита ВбЛИЗИ От 50о7ь-Нсй дозы 5, то постоянную с в формуле (7) нужно выбрать большей', чем )/(2а), Если вблизи 50е7,'-ной дозы кривая эффекта приближенно представима некоторой прямой линией, то,согласно результатам Чжуна, при определенных дополнительных предположениях, квадратичное отклонение оценки )щ+т будет асимптотнчески равно "п )2ао — 1 )(Ж где а.„— квадратичное отклонение для частоты Ь, соответствую- щей дозе, близкой к д.. Если п' — количество животных в каж- дом опыте, то Рб о л (в) Если кривая эффекта ведается диффсренкируемой функкней р(и) и если а = впр р'(а), то с в формуле (7) должно удовлетворять нерввенству о ) ))(2а).
— Прим. перев. Об асимптотическом распределении оценки ььт+т прежде всего см. работу Чжуна: СЬппя К. Ь., Оп а зтосЬаз1(с арргсх1шай(сп ше1Ьод, Лпп, от Ма1Ь. 81аЬ, 25 (1954), 463. Какой выбор коэффициентов а„является наилучшим? Во всяком случае они должны стремиться к нулю, так как иначе, в силу формул (3) и (4), сходнмость последовательности („к 1, будет невозможна. С другой стороны, если бы а„столь быстро стремились к нулю, что ряд ~к'", а„был бы сходящимся, то с некоторого номера и успех илн неудача в очередном опыте почти не оказывали бы влияния на величину последующих доз 1„+т, 1„+„..., 1 1 таК Каи СУММа ВСЕХ ПОПРаВОЧНЫХ ЧЛЕНОВ Оз — аа ~-а„+т ~...
по абсолютной величине была бы меньше е. Поэтому а, выбирают таким образом, чтобы ряд ~а„расходился. Чжун рекомендует выбрать з" де. Метода ьееерх и снись 271 Выражение (8) достигает минимума при 1 (10) с=— и Но если угловой коэффициент а известен лишь приближенно, то с разумно выбрать несколько большим, чем 11а, На квадратичное отклонение это окажет лишь малое влияние, так как функция (8) вблизи своего минимума возрастает очень медленно. Во всех случаях, как уже говорилось, с нужно выбирать большим, чем 1/(2а). Если с стремится к !/(2а), то выражение (8) становится очень болыпнм. ГЛАВА Х1 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ С ПОМОЩЪЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ Статистические критерии яВляются важнейн!ей частью Всех приложений.
В этой главе мы сначала рассмотрим некоторые наиболее важные критерии и при этом вспомним те из них, которые были уже изложены ранее. Затем мы познакомимся с основными идеями общей теории Неймана и Пирсона. Если даже читатель изучил и не все предшествующие главы этой книги, то, как я надеюсь, с помощью примеров он сможет уяснить те основные принципы, от которых зависит выбор критерия, соответствующего данным конкретным условиям. Необ.
ходимость знакомства с основными понятиями гл. 1 н 11 предполагается сама собой разумеющейся. Прн доказательствах в некоторых случаях будут, конечно, делаться ссылки на более поздние главы (а именно на гл. 'Ч1П и1Х), а также на дополнительную литературу. з 66. Применения критерия Хз Общий критерий тх, выведенный нами в $ 5), включает в себя различные специальные случаи, часть которых была уже рассмотрена ранее. Напомним, что критерий )(' применяется тогда, когда по наблюденным частотам нужно проверить некоторую гипотезу относительно вероятностей.
л. проверил однои првдполхгхвмоя вввоятиости Пусть некоторое событие в я независимых опытах наступило х, раз и не наступило х, раз (х, + х, = я), и пусть предполагается, что вероятность этого события равняется некоторому заданному числу р. Для пронерки этой гипотезы полагают д =- 1 — р и образуют 2 (х1 кр)в (хз еу)1 х'= „„'+ (яр и и(( — математические ожидания х, и х,). Если Хз оказывается больше некоторой границы, выбранной по табл. 6, то пред- Э аа. Применения критерия Х' 273 полагаемую вероятность р отвергают, Так как два наблюдаемых количества, х, и х,, связаны одним линейным уравнением х, + х, = = я, то число степеней свободье равно / = 2 — 1 = 1. Но (х,— яр) + (х,— пд) =О, следовательно, (х, — яр)' = (х, — пд)а. Последнее равенство позволяет записать (1) проще: Х'= (х — пр)а (р+ Ч! (х — пр!' пят прд (2) Это в точности то же самое выражение, которым мы пользовались раньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
