Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Согласно формулам (6) и (8), получаскл М = 0,957, зм = 0,016. Следовательно, логарифм средней смертельной дозы равен Ъ = 0,957 ~ 0,016: Этот результат показывает, что бессмысленно пользоваться более чем трехзначными логарифмами доз даже второй заак у дт не заслуживает доверия, так как выборочное квадратичное отклонение превышает единицу второго десятичного знака. С помощью этого же самого экспериментального материала, но другим методом, связанным с большим количеством вычислений, Блисс' вашел. что Ь = 0,961 ~ 0,0166. Отсюда видно, что метод площадей по точности почти не уступает более сложным методам вычисления оценок, основанным на предположении нормальности кривой эффекта.
В заключительной части моей только что цитированной работы получен более точный результат, согласно которому средняя ошибка метода площадей, в случае одинаковых количеств животных, лишь на 1% превышает среднюю ошибку метода наибольшего правдоподобна, в предположении, что кривая эффекта является нормальной. 3 54.
Методы, основанные на предположении нормальности кривой эффекта Если предположить, что логарифмическая кривая эффекта представляет собой график функции нормального распределения, ~о в нашем распоряжении окажется целый ряд методов обработки наблюдений. А. ГР АФнч епкин и е год Основой графического метода является такое преобразование оси Ор, при котором кривая эффекта превращается в прямую.
Абсциссу 1, равную логарифму дозы, теперь удобнее обозначить буквой х, Тогда, согласно (1) 9 52, нормальная кривая эффекта будет задаваться уравнением '=Г) т Ъ'ам д о г ЦГ негде и, АтеЫч Г. ехр. Раььо1., 195 (1940), 389. в В 11 в а С. 1., Яцштег(у Юоптпа1 Рьаппасу апд РЬаппасо1., 11 (1938), 202. 264 Гл. Х. Обработка результотоа биологических иоаытаний Введем теперь новую зависимую переменную у, соотношением р =ср(у) нлн у = х(р). связанную с р (2) эффекта будет В новых ксюрдинатах х и у уравнение кривой иметь вид к — Х у= — . о Это уравнение задает прямую линию. Иногда, для того чтобы не иметь дела с отрицательными числами, к значениям у прибавляют 5 и суммы у + 5 называют вя м вя ж гт вв 55 вв вв в ко ви лв lо 5 в / а5 ог ог авв авала к агин ая ао йвл а/ а.
ол г Р и с. 27. Графическая оценка двух параллельных кривых эффекта методом прббитов. прббитами. Однако с целью получения более простых формул мы будем пользоваться самими величинами у, а не у + 5. Для того чтобы оценить 5 и гг, на оси Ох откладывают логарифмы применяемых доз, а на оси Оу пробиты у=ггг(Ь), соответствующие частотам Ь. Затем проводят такую прямую, которая возможно меньше отклоняется от полученных точек с координатами (хг, у).
Существует бумага, похожая на миллиметровую бумагу и устроенная таким образом, чтобы точки (хб у,) можно было наносить без. предварительного вычисления логарифмов и пробитов (рис. 27). Трудность заключается в том, что при Ь = 0 или Ь = 1 соответствующие пробиты принимают значения — или + Для того чтобы преодолеть это затруднение', сначала по наблю- Рвгк не В.
пиб и о 15 атее иго Алел. ехр. Рева., 191 (1939), 303. д д4. Методы, предполагающие нормальность кривой эффекта 265 денным частотам Ь вычисляют доверительные границы р, и р„ причем в формулах из $ 6 целесообразно положить д = 1: в этом случае границы нс будут слишком широкими. Затем по этим р, и ре вычисляют соответствующие границы пробитов у, и уз, согласно формуле (2).
В результате для каждой дозы получают отрезок, параллельный оси О~г и расположенный между точками с ординатами тг, н вгг. Если Ь = 0 или А = 1, то этот отрезок распространяется вниз или соответственно вверх до бесконечности, Предположительную прямую эффекта проводят таким образом, чтобы она пересекала все или по крайней мере большинство этих отрезков. Если это можно сделать многими способами, то прямую выбирают так, чтобы она проходила возможно ближе к точкам, соответствующим тем наблюденным частотам Ьр которые отличны от нуля и от единицы. Этот метод иллюстрируется рнс.
27, заимствованным из работы, цитированной в предыдущей сноске. Б, НАИБОЛЬШЕЕ ПРАВДОПОДОБИЕ Результаты графической оценки можно улучшить с помощью метода наибольшего правдоподобия'. Этот метод, однако, требует очень большого количества вычислений, которые, по-моему, никогда не окупаются.
Кажущаяся точность пробит-анализа является лишь иллюзорной, так как все выводы основываются на весьма недостоверной гипотезе о нормальности кривой эффекта. Если тем не менее обработку наблюдений все же рискуют строить на столь скользкой почве, то можно вполне довольствоваться грубыми графическими оценками. Для того чтобы получить для неизвестных параметров более надежные приближения, точность которых можно оценить, следует применить метод площадей, не зависящий от гипотезы нормальности кривой эффекта. Лишь в одном случае методы получения асимптотически эффективных оценок оказываются, безусловно, необходимыми, а именно, тогда, когда нужно проверить гипотезу о том, что кривая эффекта является нормальной. В этом случае применяют критерий уз (951).
Выражение уз зависит от оценок пр для математических ожиданий. Для того чтобы тз не было слишком велико, нужно, чтобы эти оценки были асимптолшчески эффективными. Согласно 5 50, такие асимптотически эффективные оценки можно получить методом наибольшего правдоподобия. Несколько более удобным является эффективный метод минимума тз о($48) (яр<в> в знаменателях Д можно найти, например, с помощью графического метода).
' В 11 в в С. 1., Ашт1в ог Аррцед Вто1., 93 (1936), 134, с дополнением Ртьег В. А., 149. Этот метод обстоятельно изложен н книге: Р1впе у П. 1., Ртоь16 Апе1утв, СвшЬпдяе 11штг. Реева, 1941. Гл. Х Обработка результатов биологических испил~аной 966 в. метод двух точек Согласно этому методу, животных подвергают воздействию лишь двух доз испытываемого вещества, наблюдают соответствующие частоты Ь, и Ь, и на вероятностной бумаге (см, рис.
27) через точки с координатами (х,, Чг(Ь,)) и (х,, Я'(Ье)) проводят прямую линию. Лбсцисса точки пересечении этой прямой с осью Ох является оценкой для 50",',-ной дозы. Этот метод можно применять лишь тогда, когда количества подопытных животных велики, а параметры 5 и а. кривой эффекта (1) заранее приближенно известны. Для того чтобы, с большой вероятностью, обе точки были расположены по разные стороны от 50;4-ной прямой х = 5, нужно, чтобы первая доза была значительно меньше 50о,',-ной дозы, а вторая доза — значительно больше 50оУ,-ной дозы. С другой стороны, нельзя допускать, чтобы дозы слишком отклонялись от 50',",-ной дозы, так как если эмпирическая смертность будет равна 0 или 100'/, то соответствующую точку нельзя будет нанести на вероятностную бумагу. Эти недостатки' усугубляются еще и тем, что изложенный метод существенно зависит от предположения нормальности кривой эффекта и что точность этого метода оценить очень трудно, а может быть, и вообще невозможно.
Мпе представляется более предпочтительной такая постановка эксперимента, при которой можно применять метод площадей. Г. МЕТОД ОДНОЙ ТОЧКИ Если приближенное значение для углового коэффициента прямой известно из других экспериментов, то наиболее точным методом получения оценки для л является метод одной точки, согласно которому ко всем подопытным животным применяется лишь Одна доза, по возможности близкая к средней дозе л".
В резульзате эксперимента получают точку (х, у), через которую проводят прямую с известным угловым коэффициентом 17ьг. В качестве оценки для средней дозы 5 принимают абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох: М = х — о.у. На практике ьг, конечно, заменяется оценкой в. Этот метод является надежным только тогда, когда примененная доза близка к средней смертельной дозе л.. Следовательно, сначала с помощью предварительных опытов нужно определить приближенное значение для средней смертельной дозы (например, по методу площадей) н лишь затем применять метод одной точки.
0 вычислении з По этому попросу см. В оьговэ ппь1 К Вгьог, АгсЬ1г акр. Рэьь., 177 119Щ, 637. 5 дд, Методы в вверг и внивв 267 средней ошибки вг см. мою ранее цитированную работу в журнале .4гойвп ехр. Ра1)к, 195 (1940). Метод одной точки использует лишь сродною, наиболее крутую часть кривои 'эффекта. Следовательно, он мало зависит от предположения нормальности кривой эффекта. д. логистическАя кРКВАя Вместо нормальной кривой эффекта можно, следуя Берксону', принять за основу так называемую логистическую кривую, уравнение которой задается формулой 1 в в *+1' где з — линейная функция от в. Если г возрастает от — до +, то функция (5) так же, как Ф(з), возрастает от О до 1. Функция (5) очень мало отличается от функции нормального распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
