3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Следовательно, при каждом х фуннция Р„(х) убывает с ростом г. Поскольку Р, (х) ) О. то отсюда следует, что Р, (х) сходится, скажем, к функции Р(х). Переходя к пределу при г-»со в равенстве (3.!), получим Р(х) = ~ Р(х — у) у(у) бу'), или, если положить г = х — у, Р(х) = ~ Р(г) у(х — г) дг.
о Теперь нужно исследовать вопрос о том, когда предел Р(х) является собствещсым распределением. Очевидно, что Р(х) — неубывающая функция, но может оказаться, что !!щ Р (х) < 1, а не !1т Р (х) = 1. Первый случай можно К.»сс х-» интерпретировать как возможвость того, что время ожидания и-го требования (и-»оо) стремится к со с полажительиой вероятностью (или длина очереди стремится к со с положительной вероятностью). ') Заметим, чта множество значений д.с. в, У„, г = 1, 2, ...,— вся действительная прямая ( — со, сс). — Прись перев.
') Ограничение, что б(х) имеет плотность, наложено для простоты рассмотрения и не существенно для последующих рассуждений. з) Обоснование возможности перехода к пределу под знаком интеграла требует знания теории интеграла Лебега. Если читатель еще не знаком с ней, то ему следует принять соответствующее утверждение на веру. Тогда, очевидно, (Уг)г ! -последовательность независимых одинаково распределенных д, с. в.'). Пусть Р,(х) — функция распределения величины ЯГ„ а у(х) = У'(х) — плотность величины У„ которая по предположению одинакова для всех г '). Поскольиу Уг'с и У, независимы, то при х ) 0 Рг», (х) Р (%',ос ~ х) = Р (гпах (Оу, + Уо 0) ~ х) - Р (йгг+ У, < х) = к - ~ ! (УР,4-У,<х(У,=у)у(у)бр= 466 Гл.
14. Процессы лассового обслуживания Получим сначала другое выражение для Е(х). Поскольку 1. х>0, Е) (х) = О, х< 0, то Е, (х) = ~ л(и) гХи=Р(У) (х), х) О. Далее, г)*)- )' г (*- )г()) - )'( )' г()иф))и- и.-х и<х)).с<х-и и (ит) о (и,) )(иэ с(и) и,<х, и,+и,<х = Р(У,<х, У, ф У,<~х) = Р(У, <х, У, + У,<х), где использован тот факт, что У) и Ут — независимые одпнаково распределен- ные д. с. а. По индукн)ш непосредственно получаем, что Е,+) (х) = Р (У, ~( х, У„+ У,, ~ (х, ..., У, + ...
+ У, ( х) = =Р(У,<гб У,+У,<х, .... У,+ ... +У,<х), поскольку У), Уь... У, одинаково распределены. Таким образом, если У,= ~Р~ У), то )=) Ее ш (х) = Р(й„<х, г=(, ..., и), к~~0, Очевидно, Е„(.т) монотонно убывает с ростом л (это было так)ке доказано выше), н поэтому Е(х) =Р(й,(х при всех г), х)0. Если х < О, то Е)(х) = О, и тривиальным образом получаем Р(х) = О, х < О. Используя полученный резэльтат, можно определить, когда Е(х) является собственным распределением. Предположим, что Л1(5) < ее и М(Т) < ое, т. е. д.
с. в. 5 и 1 имеют конечные л)атематические ожидания. Тогда гпрааедлиаа слепую)дая Те о р е м а 3.1. (1) Если М(У) ) О, то Е(х) — = О. (2) Если М(У) < О, то Вгп Г (х) =- 1. Интуитивно этот результат очевиден. Оп утверждает, что если средняя длительность интервала между моментами поступления меньше средней длительности обслуживания, то очередь растет бесконечно и )(т,-е ео с вероятностью 1. Доказательстао разбивается иа три части. Докезательство.
(1) М (У) ) О. В силу усилеш)ого закона больших чисел 1ип Уи М(У) с веРоЯтиостью 1, о-эы и б 3 Модели обелужозанил одном прибором 437 следовательно, для почти всех реализаций последовательности йь 0„ су„ ..., т. е, с вероятоосгью 1 имеем й„>-," м(и) (3.2) при достаточно больших л, где выбор л зависит от реализации.
Событие (й, ~ ~х при всех г) является частью события, дополнительного к событию (3.2). Следовательно, его вероятность равна нулю. (2) М(У) < О. Вновь в силу усиленного закова больших чисел для любых е > О и 6 > О существует целое !Уе, а, такое, что при и ) )ЬГ„а 1 Р~ ~ — Ул — М (Ц ~ < <а при всех л > >ЬГм а ~ > 1 — 6. Выберем е таким малым, что М(Ц+ е < О. Тогда для любого Ь > О существует )уа, такое, что 1 — 6 < Р(У„< <п (М (У) + в) при всех л > йга) < < Р(й„< О прн всех п> Уа).
Далее, поскольку О(х) — собственное распределение, для указанных 6 и 126 можно выбрать достаточно большое х, такое, что Р!В) = Р(й,~<х при всех 1 <г <йгь — 1) >1 — 6. Смысл события В очевиден из приведенного равенства. Пусть А = (й„< О при всех л ) йга). Событие (й, < х при всех г) содержит пересечение двух событий А и В и его вероятность не меньше Р (А П В) = Р (А) + Р (В) — Р (А В В) ) 2 — 2Ь вЂ” 1 = 1 — 26. Следовательно, Р(х) ) 1 — 26 при достаточно больших х, или !пп Р (х) > 1 — 26. к-» Но, поскольку 6 произвольно, это означает, что 1!ш Р (х) = 1. (3) М(и)=О. В этом случае утверждение следует из довольно глубокой теорслгы, относящейся к возвратности сумм независимых случайных величин, которая лежит за пределами данной книги ').
Дисхретным аналогом теоремы является теорема 3.3 гл. О. Б. Возвратность событг)я, заключающегося в том, что время ожидания поступающего требования равно нулю При анализе случайной последовательности (Чгл)„ о с пространством состояний (О,оа) возникает вопрос о возвратности события А, заключающегося в том, что некоторое требование застанет систему свободной. Формально скажем, что событие А наступило из и-м шаге, если йг О. Предложение «событие А происходит» будет в дальнейшем означать, что оно происходит на некотором конечном шаге.
Заметим, что, если событие А происходит, процесс начинастся с очередного значения йг, равного пулю. ') См. С п и ц е р Фч Принципы случайного блуждания, «Мир», М., 1933. 468 Гл. !4 Прог(еееы маегоааго обслужиеиния Теорема 32. (1) Если М(У)> О, то собьгтие А — невозвратное (т. е. вероятность события А меньше 1). (2) Еела М(У) ( О, то собьпае А — еоаератное (т, е. Р(А) =!). (3) Если М(У) < О, то событие А — положительное еозератное (т. е. среднее нремя до напупления А конечно). Доказательство. (1) Используя те же обозначения, что н прежде, заметим, что 0 „„>й„.
(Напомним, что У„= У~ + ... 4У„= 5~ +... + 5 — Т, —., — Т, — разность между суммарным временем обслуживания первых и требований и временем поступления (п -1-!)-го требования.) При этом равенство выполняется лишь втоц случае, если обслуживающий прибор был все это время занят (т. е. до момента поступления (л 4!)-го требования не было перерыва в его работе). Таким образом, если все У„> О, то событие А не наступает. В силу усиленного закона больших чисел для любых е, 6 > 0 существует число )у, такое, что Р~! — — М (У) ~ (в при всех и >йг (>! — 6. Ун Таким образом, если М(У) > 0 и выбрать достаточно маяое е (е < М(У)), то существует чисяо )у, такое, что Р (Уп> 0 при всех и > йг)>0.
Это означает, что с положительной вероятностью А может происходить лишь конечное число раз, т. е, событие ()Уг, 0 лишь для конечного набора индексов г) вмеет положительную вероятность. Но событие является возвратным тогда и только тогда, когда вероятность его осуществления бесконечное число раз равна 1 (см. теорему 7.1 гл. 2). Следовательно, если М(У) > О, то А невозвратно, (2) Если М(У) < О, то для произвольных е, 6 > 0 существует число Л', такое, что Р ~ ~ — — М (У) ~ < е для всех и > йт ~ >! — 6. Ун и Отсюда, если в достаточно мало, получаем Р (У„(0 при всех и > йг) > 1 — 6 и в силу произнольности 6, усиливая неравенство, имеем Р(Ун(0 при некотором и) =!.
Но если У («О, то некоторая величина )Р'т 0; в частности, если У» — первая из последовательности (У„) величина, которая ( О, то )ьь О. Г!оэтому если М(У) < О, то А — возвратное событие. Если М(У) = О, то соответствующее доназательство является довольно тонким н мы не будем его проводить, а отошлем читателя к цитируемой в конце главы литературе. (3) Если М(У) < О, мы утверждаем, что событие А является возвратным положительным. Доказательство этого мы опускаем, э 4.
Метод вложеннвгх целей Маркова $4. МЕТОД ВЛОЖЕННЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ (М/ОД) Рассмотрим частный случай одноканальной системы с пуассоновским входящим потоком (с параметром Х), Предположим, что длительность обслуживания У является положительной случайной величиной с произвольным распределением В(в), для которого М(У) < оо. Для простоты изложения предположим, что В(о) имеет плотность й(а). Исследуем этот процесс с помощью вложенной цепи Маркова, определяемой следующим образом. Пусть Х(1) — число требований в очереди в момент Г (1)~ 0).
Предположим, что процесс Х(г) наблюдается в моменты окончаний операций обслуживания'). При этом получается последовательность целых чисел (4.1) где 1г, 1а, 1м ...— последовательные моменты окончаний операций обслуживания. Последовательность (Х(1„)) образует процесс с дискретным временем Хо=.О Хи=Я(ги)* и 1, 2... ') (4.2) Ниже будет показано, что в силу «пуассоновости» входящего потока последовательность (4.2) является цепью Маркова. Дадим несколько более интуитивное описание данного процесса с дискретным временем. Его переходы происходят только в те моменты времени, когда заканчиваются операции обслуживания требований.
Состоянием процесса является число требований в очереди (включая и требование, которое начало обслуживаться, если таковое имеется), оставшееся после того, как обслуженное требование покинуло систему. Легко видеть, что этот процесс является марковским, поскольку если Х„ — состояние системы в момент и, то Х „— ! +Ф, если Х„)1, и где И вЂ”, число требований, поступающих за время У обслуживания (п + 1)-го требования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
