3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Таким образом, время ожидания такого требования имеет гамма-распределение порядка п — з + 1 с параметром )ез, и 3 Р())7(Ц= )Тт(8) = )!и (О)+ А ~ Лт ()ЕЗ)е-е-'!Ше — еа-И™ве-еа!ГВ ! .ЛИ (а — е)! е — ! 4 -л ~Е,~. !е -" " "е ~= !-о о -В 4П-о! е !+(! — а) ~~~~ р! т-о й 8. ВИРТУАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ И ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ В этом параграфе рассматривается другой подход к задаче о времени ожидания для одноканальной системы обслуживания с пуассоновским входящим потоком и произвольным распределением времени обслуживания (М/6/1).
Будут также получены некоторые результаты, относящиеся к периоду занятости данной системы. Для этой цели будет использован материал гл. 9, $ 3. Поскольку процесс обслуживания в целом является немарковским, мы выше рассматривали вложенную цепь Маркова и анализировали времена ожидания требований, используя ее. Однако если рассмотреть величину Ч(Г) (Ч(т) иногда называют виртуальным временем ожидания), которая равна времени, в течение которого должно было бы ожидать требование, если бы оно поступило в момент !, то Ч(!) определяет марковский процесс с непрерывным временем. Так, если !„и о„— момент поступления и время обслуживания и-го требования соответственно, то при Г„~ ! ( !„+! имеем ч(!) -(ч(г.+) — (! — 1.)) ') и Ч(! +)=Ч(г )+и ( Ч (т + ) = 1!тп Ч (т + е) Ч (7 — ) = !пп т) (! — а) ).
е.+о е.ьо ') Символ [х)ь определяется равенством !х, если х)0, !х)+ —— со, если хо.о. 488 Гл. Пй Процессы массового обслуживании Обозначим через ) параметр входящего потока (который по предположению пуассоновский), а через Н(п) — распределение времени обслуживания, Типичная реализация процесса т)(() показана на рис.
1. Очевидно, что будущее поведение траектории т)(() не зависит от ее предыстории до попадания в текущее состояние. В самом деле, поскольку значения () являются моментами наступления событий пуассоновского потока, то время для следующего поступления требования не зависит от того, когда поступило предыдущее требование. Можно дать величине т) (() другую интерпретацию как времени, необходимому для завершения обслуживания всех требований, Р(т) а, с, еа Рис. !. имеющихся в системе в момент й Действительное время ожидания и-го требования равно Ч((„) = п((п — ). Обозначим Р ((, х) = Р (т) (() х). Можно вывести интегро-дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет г"((,х). Это уравнение может быть проанализировано с целью нахождения свойств функции г" ((, х). В $ 3 было доказано, что функция распределения времени ожидания и-го требования г"„(х) =- г" ((„, х) сходится к предельному распределению прп и- оо.
С помощью соответствующих теорем восстановления можно доказать также сходимость функции г((,х) и показать, что ее предел совпадает с пределом функций г„(х) '). Дальнейшие подробности выходят за рамки данной книги (см. литературу в конце данной главы). ') Замепгм, что последний факт ае является очевидным в силу того, что моменты П, случайны и совпадает с моментами скачков процесса Ч(с), т. е. последовательность ()„) и функция Ч(С) не являюгся независнмымн.
— Прим. перев, э" в. Виртуальное время ожидания и период занятости В оставшейся части главы будут рассмотрены различные представляющие интерес случайные величины, связанные с системой (М/6/1) . Заметим, что если т!(!) ) О, то обслуживающий прибор в момент ! занят, а если з!(!) = О, то свободен. Пусть Р. (!) = Р(ц(!) = О), т. е.
Рз(!) — вероятность того, что прибор в момент ! свободен. Период занятости определяется как такой временной интервал, в течение которого прибор постоянно занят. Если т!(0) ) О, т. е. обслуживающий прибор в момент ! = 0 занят, то существует начальный период занятости, который заканчивается, когда т!(!) в первый раз обращается в О. Обозначим через 6(х) вероятность того, что длительность начального периода занятости ( х. Следующие за начальным периодом занятости (если таковой имеется) периоды незанятости и занятости чередуются.
Длительности периодов занятости, следующих за начальным, являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, поскольку каждый последующий период занятости начинается в одних и тех же условиях. Обозначим через 6(х) вероятность того, что длительность периода занятости (отличного от начального) ( х. Периоды незанятости также являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, функция распределения которых экспоненциальна с параметром Л. Нашей первоочередной задачей является доказательство теоремы 8.1, сформулированной ниже.
Это доказательство опирается на один результат, полученный в гл. 9, 5 2, который мы для удобства приведем здесь в виде леммы 8.1. Лемма 8.1. Пусть ть уь ..., !1„— неотрицательные перестановочные. случайные величины с суммой у1 + уз + ... + !т„= у, пусть ти тм ..., т„— координаты (расположенные в порядке возрастания) и точек, распределенных равномерно и независимо друг ог друга на интервале (О, !).
Если (тз) и (ть) — независимые последовательности, то ! 1 — т, если 0(у(!, Р(х,+ ... +Х,(т„, й=1, 2, ..., п)-),0 (8.1) Доказательство леммы 8.1 и ее применения даны в гл. 9 (см., в частности, 5 2). Приведем еще одну лемму. Л е м м а 8.2. Пусть ть тз, ..., !1„— неотрицательные перестановочные случайные величины с суммой Х~ + те+ ... +т„= 1, и пусть ть тз, ..., т„~ — координаты (расположенные в порядке 490 Рл. !4 Процессы леассовосо обслужаваная возрастания) п — 1 точек, распределенных равномерно и независимо друг ог друга на интервале (О, 1). Если (Хя) и (тс) — независимые последовательности, то Р(Х,+ ...
+Ха(тя, й=1, 2, ..., и — !)= —. (82) Дока з а тельство. В силу леммы 8.! Р(Х,+ ... +Хя(тя, юг=1, 2, „и — 1~Х,+ ... +"Х„,=у)= 1 — У, если 0<у<1, О, если у) Е Далее, в силу формулы полной вероятности Р(Х|+ . +Ха(тм й=1, 2, ..., и — 1)= ~ Р(Х+ +Ха~та й=! 2,, и — ! !Х~+. +Х„|=у)Х о Х др (Х, + ... + Ха, ( ~у) = ) у! (! — —,) дР (х + + х.— ( у) = ! — —, м (х + + х.- ) = ! о поскольку Х„..., Х„перестановочны и их сумма равна!. Отсюда, очевидно, получаем ! Р(Х,+ ... +Хя(<тм А=1, 2, ..., п — 1)= —. ° Т е о р е м а 8.! .
Если т! (0) =- с (с — постоянная), то вероятность того, что начальный период занятости имеет длительность (х, равна х-с 6(х)= ~г —,ск" ~ е м'+м(с+У)" ' дН„(У), если х) с, с=а а 6 (х) = О, если х< с, (8.3) где Н„(у) — и-кратная свертка функе4ии Н(д) (Н,(у) — распределе- ние, имеющее единичный скачок в точке 0). Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем вычисления, налагая условие на число поступивших требований. Число поступлений за начальный период занятости может принимать значения п = О, 1, 2, . Если и = О, то начальный период занятости имеет длительность с, ф 8.
Виртуальное время ожидания и яериод занятости 491 а вероятность того, что за время (О, с) не поступит ни одного требования, равна е-". Таким образом, получен первый член (л = 0) суммы (8.3). Если л)~ 1, то обозначим через ть тм ..., т, моменты поступлений требований, а через Хь Хз, ..., Մ— длительности их обслуживания. Эти величины должны удовлетворять условиям т~(Х>+ ... +Х»+с, 1=1,2, ..., л, (8.4) где сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю. Действительно, соотношение (8.4) утверждает, что суммарное время обслуживания 1 — 1 требований, поступивших после момента О, и требований, имевшихся в системе в момент О, превышает момент поступления /-го требования, 1 = 1, 2, ..., л.
Это условие, очевидно, гарантирует, что обслуживающий прибор занят по крайней мере до завершения обслуживания л-го поступившего требования. Конечно, Р(Х1 + Хз+ .. +Х (х) = Н (х) Если Х, + ... + Х„ = у, то длительность начального периода занятости равна с + у, а вероятность того, что в интервале (О, с+у) поступит в точности л требований, равна — (Л(с+у))"е ~'+в'. Моя! менты поступления можно считать координатами (расположенными в возрастающем порядке) и точек, распределенных равномерно и независимо друг от друга в интервале (О,с+ у)(см. стр.
206, гл. 7). Далее, Хь Хь ..., Մ— неотрицательные перестановочные случайные величины. Вычитая неравенства (8.4) из у+ с, получим эквивалентные соотношения У+о — тг)~У вЂ” Х1 — Хз — ° ° ° — Хг-ь 1=1, 2, ..., л. (8.5) Пусть т„"+, — — у+ с — т, и, поскольку Х> +...
+ Х„= у, неравенства (8.5) можно перепйсать в виде т"„,, г~)Х„+Х„,+ ... +Х, 1=1, 2, ..., л. (8.6) Но величины т"„+, р 1=1, ..., л, очевидно, вновь распределены как л порядковых статистик равномерного распределения на (О, с+ у). Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на значения т, в обратном порядке, проходя интервал от точки с + у к точке О.
Требуемое утверждение получается из соображений симметрии. Кроме того, величины Х„, Х„>, ..., Х„ь1; имеют совместное РаспРеделение, такое же, что и величины ХьХя, ..., ХВ в силу перестановочности. Следовательно, событие (8,6) имеет ту же вероятность, что и событие т~~ ~Х! + Хз+ ° ° + Хз> 1 1> 2> ° ° > (8.7) Гл. )4, Процессы массового обслужоаанпя 492 Обращаясь к лемме 8.1, мы заключаем, что вероягность события (8.7) равна у с 1 — — = сьу сьу Учитывая все приведенные факты, с помощью формулы полной вероятности получаем х-с кз г сг (х) = лги ) Р (наяальный период занятости ~ (х~т1 (О) = с, и требований, »-о о поступивших за зто время, имеют суммарное время обслуживаюш У) Х Р (за период занятости поступило Н требований 1 т)(0) = с, суммарное время обслуживания » требований рав.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
