3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Хин«иным и более полно отражает существо рассматриваемых задач. — Прил. перев, ') Под термином «требования» можно понимать, например, клиентов, гре. бующих обслуживания, корабли, входящие в порт, поток сообщений в некоторую контору, неисправные машины, ожидающие ремонта, и т. д.
(Вместо термина «требование» используют также термины «клиент», «вызов», «заявка», а вл~есто термина «обслуживающее )стройство» вЂ” «прибор», «линия», «канал». Употребление того или иного термина чисто определяется характером рсшаел|ой прикладной задачи. — Перев.) 46! б 2. Простейшие процессы обслуживания чайными величинами. Такие потоки иногда называют рекуррентными, или потоками восстановления. Термин «простейший поток» используется иногда в случае, когда моменты поступления требований образуют пуассоиовский поток, т. е. когда интервалы между моментами поступления распределены экспоненциально. Будет также предполагаться, что длительности обслуживания отдельных требований — независимые одинаково распределенные случайные величины, не зависящие от входящего потока.
$2. ПРОСТЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ (М/Мг!) ') Наиболее простыми и наиболее полно изученными являются процессы обслуживания с пуассоновским входящим потоком и экспоиенциальным распределением времени обслуживания. Эти процессы уже были описаны и было показано, что процесс изменения длины очереди является процессом рождения и гибели (см. пример 2, $6 гл. 7) ').
Вновь рассмотрим случай одного обслуживающего прибора. Функция распределения интервалов между моментами поступления равна Р(!)=1 — е хг, )с>0, а функция распределения длительности обслуживания сг(!)=1 — е и', )х)0. В силу «отсутствия последействия» (теорема 2.2 гл. 7) у экспоненциального распределения очевидно, что процесс Х(!) (длина очереди в момент !) — однородный по времени марковский процесс рождения и гибели. Пусть Рту(!) — его переходная вероятностная функция. Тогда Р, е+,(й) — вероятность того, что за время Ь поступит одно новое требование и не закончится обслуживание ни одного требования.
При малых й Рь г„, (Ь) = Ай + о (Ь), 1) О. ') Для обозначения простых процессов обслуживания в литературе широко используются стандартные сокрашения. )(алим для справки сохрашенные обозначения процессов, которые будут изучаться ниже. В записи (АгВгс) с — число обслуживающих приборов, а А и В указывают типы распределений интервалов между моментами поступлений требований и длительностей обслуживания соответственно. На первых двух местах используются следугощие символы; О или Ой когда относительно распределений не делается никаких частных предположений; М, когда соответствующее распределение зкспоненциальное; Еы когда соответствующие интервалы имеют гамма-распределение порядка Й (зрланговское распределение) (так что Е~ = М); П (детерминированное), когда указанные интервалы имеют фиксированные длительности.
з) Под «длиной очереди» здесь и далее понимается общее число требований, находящихся на обслуживании и ждущих его. — Прил« перев. Гл. 44 Процессы лассового обслужлеанил 462 Аналогично находим Рс,,(Ь)=рай+о(й), с 1, и Рн(й) =1 — (Л+ р) А+ о(Ь), 1) 1, Роа (й) 1 Лп + о (и). Иифинитезимальная матрица равна ~ — Л Л О О р — (л+р) л о А=- о р — (л+р) л В ~ 6 гл. 7 показано, что Л(р, Вт Рм (1) = Рг = с.ы 1 О, Л> 14. Отсюда получаем ответ на многие вопросы, включая стационарность. Если процесс развивался достаточно долгое время и л ( р, го вероятность того, что поступившее требование начнет немедленно обслуживаться (обслуживающнй прибор свободен, т. е.
длина очереди равна нулю), равна л Р =1 —— п В случае Л ( р можно также найти распределение времени ожидания в стационарном режиме. Если поступающее требование застает очередь длины и, то его время Т пребывания в системе складывается из длительностей обслуживания его самого и требований, стоящих перед ним. Все эти величины распределены экспоненциально с параметром р, и, поскольку длительности обслуживания не зависят от размера очереди, Т имеет гамма-распределение порядка и + 1 с масштабным параметром рх л+'еле Лт Р(Т 1~ длина очереди равна п) = ~ и г(т. (2.1) Г (л е В о В силу формулы полной вероятности имеем Р (Т < 1) = ~~ Р(7 < 1~ длина очереди равна и) ~ — ") (1 — — ), л а 6 3 Модели обелужииинсси одним прибором 463 поскольку ( — ) (1 — — ) — вероятность того, что в стационарном ре- Р Р жиме поступающее требование застанет очередь длины п.
Учиты. вая (2.1), находим с Р(Т~1)=~ ~ г(„'+с) Р"""" -"(-„')"(!--„') ~- -о о с = 1"-"Ф --') х ..' о п-о = )г (1 — — ) рехр~ — тр (1 — — ) ~с(т= о = 1 — ехр ~ — г1с 1 1 — — )] . Вновь получили экспоненциальное распределение. Если мы хотим исследовать неустановившийся режим, следует прежде найти Рсс(1) для всех Е Это существенно более сложная задача, но она решена. Подробности этого решения выходят за рамки данной книги, и мы отсылаем интересующегося читателя к любой из специальных книг по теории массового обслуживания, перечисленных в конце главы. Если имеются два обслуживающих прибора, то для тех же законов поступления требований и обслуживания, когда в очереди имеется не меньше двух требований, среднее время р„' до завершения очередного акта обслуживания вдвое меньше, чем при одном приборе.
Таким образом, 1с„= 21с, п)~ 2. Если же и = 1, то один прибор пустует, и 1сс — — сс. Иифинитезимальная матрица этого процесса рождения и гибели имеет вид — Л О р — (Л+ м) Л О 2р - (Л+ 2р) О О 21с — (Л+2р) .. й 3. НЕКОТОРЫЕ ОБН1ИЕ МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ Обсудим некоторые аспекты трех методов анализа частных видов системы обслуживания (слс/сл/1).
Первый метод, известный под названием метода интегрального уравнения, сводит задачу нахождения предельного распределения времени ожидания начала Г.>. 14, Процессы лассового ойслржпзпнпл 464 обслуживания п-м трсбованисхс (и-ьсо) к задаче решения интегрального уравнения типа Винера — Хопфа.
Если входящий поток является пуассоновским, то при втором методе исследования рассматривается длина очереди в моменты окончания актов обслуживания. Можно показать, что этот вложенньсй прас(еес является цепью Маркова (см. ниже й 4). Если распределение времени обслуживания являешься экспоненциальным, а входящий поток определяется общим распределением, то вложенная цель Маркова получается при рассмотрении длины очереди в моменты новых поступлений.
Результирующий процесс является цепью Маркова специального вида. С помощью третьего метода исследуются свойства случайной величины )ст((), равной времени до начала обслуживания, которое пришлось бы ожидать требованию, если бы оно поступило в момент ( независимо от того, поступило оно на самом деле в этот момент или нет. Эта величина называется виртуальиьслс временем ожидания в момент й Рассмотрим сначала метод интегрального уравнения, а затем перейдем к моделям более частного вида, к которым применим метод вложенных цепей Маркова' ). Некоторые вопросы, относящиеся к третьему методу, обсуждаются в ф 8.
А. Метод интегрального уравнения ') Введем величины )Р'г — время ожидания г-м поступившим требованием начала обслуживания, 5,— длительность обслуживания г-го трсбоваппя, Т,— длительность щпервала между поступлением г-го п (г+ 1)-го требований, где ато = 5о = То = О. Условие )т>о = 0 означает, что первое поступающее треба- вание застает обслуживающий прибор свободным. Предположилс, что опо посту- пает в л>омент С = О. Очевидно, )Р, ж 5, — время пребывания г->о требования в системс. Следова- тельно, если Т, > )р, + 5„то (г ->- 1)-с трсГ>ованис застанет обслуживающий прибор свободным, т.
е. в этом случае )Уг, > = О. Если Т,(~ Ж', ж 5„то дли- телыюсть времени ожидания (г ж 1)-го требования равна, очевидно, 1РУ + 5„— Т,. Следователь>со, В'с+ 5г — То если )Г>>+5г — Тг) О, )р'г+ = О, если агг Ч-5> — Тг (О. Обозначим и, =-5„— Т,. ') Заметно>, что прн выводе интегрального уравнения типа Винера — Хопфа также сначала строится вложенная цепь Маркова (дог)г с (см.
ниже), у которой пространством состояний является полупрямая [О, оо). Поэтому отличие пер. ного метода от второго относится по существу к пщап иложеннык цепей Мар. кона и, следовэтел»ио, к методам пх анализа. — Пдссч >серее. о) При первом чтении оставшуюся часть материала данного параграфа можно опустить. р 3. Модели обслуживания одним лриборолс 465 Рг (х- у) у (у) бу (.)Ед (5.!) у<х Далее, поскольну первое требование поступает в момент ! = 0 и застает обслуживающий прибор свободным, то 1 при х)0, Рс (х) = 0 при я<0, и так кан при х < 0 все Р;(х) = О, то Рс (х) — Рс (х) ) О, — со <х< со, Но Рг (х) Рг+с (х) = ~ (Рг с (х — у) — Рг (х — у)) у (у) с)у, а<х и отсюда по индукции следует, что при любом г Рг (х) — Р,+, (х) )О, — со <х < сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
