3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Процессы массового обслрэгивояих С помощью теоремы Руше можно доказать, что функция Л» — Р(Л) прн ! Л! < 1 имеет А корней (считая и кратные). В частности, теорема Руше утверждает, что если Цг] и «(г) — аналитические функции в области 0 и ! )(г)! > ! п(г)! при значениях г, принадлежащих гранвце с), то функции с'(г) и 1(г) ч- д(г) имеют в и одинаковое количество нулей. (Доказательство этой теоремы можно найти в любом учебнике по теории функций комплексного переменного.) Применим теперь теорему Руше для случая 0 = (г!(г! < 1 — 6,6 > О), с(г) = г», г(г) = — Р(г) В самом деле, при )г! = 1 — б имеем )г»! = (1 — 6)" = 1 — йб+ о(6). Далее, при (г! = 1 — 6 )Р(г))~ (Г(! — 6) (поскольку Р(г) — степенной ряд с неотрицательными коэффвциентами), Но при б-»О Р (1 — 6) = Р (1) — бР'(1) + о (6).
((рохле того, непосредственный подсчет показывает, что Р'(1) =Р ) ос(Н (о)= — >й, й р о поскольку по предположению р < 1. Отсюда следует, что при достаточно лсалых б ! г" ! > ! Р(г)), ! г ! = 1 — 6. В силу теоремы Руше заключаем, что функции г» и г" — Р(г) илсеют в области (г ! ! г! < 1 — 6) одинаковое количество нулей.
Если обозначить й корней через Лс, Лл, ..., Л», то последовательность (хв = Лг)„ о будет >довлетворять уравнению (б 2) при люболс г (с= 1,2...,й). Можно попытаться найти линейную комбинацшо ~ а,-1, и„= а»Л", + азЛ" + ... + а»Лв», г=с такую, что система уравнений х = хР удовлетворяется при х„ = я , и = О, 1,.... Действительно, уравнения ху - ~~Р~ х»РП () = О, 1, ...) прн !' ) й удовлетворя!-о »отса при любом выборе коэффициентов а„посколысу любая последовательность (," Л"~, г = 1, ..., й, является решением и их линейная комбинация вновь является решением.
Остается найти постоянные ас, аг, ..., а», такие, чтобы первые й уравнений системы х хр также удовлетворялись. В случае если все Л, различны, совершая некоторые алгебраические преобразования, получим точное решение с е котором произведена нормировка ~Ч~~~ и„ = 1 и-О » 1 \т Пч» „1 а,Л",, т ас 1 — Л; с=! где "=П( —.,".,) )Фс 1 с Изменения, которые необходимо внести в случае кратных корней, а также соответствующие подробности утомительны и будут опущены. б У. Экспоиеициальяое обслрхивииие е приборов В. Время ожидания Выше было указано, что состояние системы определялось как число экспоиенпиально (с параметром р) распределенных отрезков времени, которые составляют время ожидания вновь поступившего требования.
Следовательно, если состояние системы равно и > О, то время ожидания только что поступившего требования имеет гамма-распределение порядка и с параметром 1ь Если и О, время ожидания равно О. Следовательно, ! )т' Я) = Р (й!г ( Ц = ~ У, — )ь/ш/ 'е и~а/0ш+ а . 4 (/ - 1)1 о /-! В случае различных корней можно подставить выражение для и/, приведенное выше, и получить а! е 1-! 1 — Л! с-! 1 — ~~+ /л м, ч!-» <~ — чаб ~- ! ! !+ т 1 ( %ч аЛ, (1 — ехр ( — РВ (1 — ЛД] ) Х .'1 (1-Л,) а; 1-Л! — ехр ( — РК (1 — Л,)) Х агЛ! 1-Л, ! ! ф 7. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ л ПРИБОРОВ (О1/М/е) Обобщим рассмотренные выше для случая одного обслуживающего прибора приемы на случай системы, состоящей из з приборов, в которую требования поступают через интервалы, имеющие распределение /т'(и), а распределение времени обслуживания экспоненциально с параметром )ь.
Предположим, что распределения длительностей обслуживания для всех приборов совпадают. Как и прежде, процесс обслуживания не является марковским, но можно построить вложенную цепь Маркова. Пусть переходы !/а!6» Гв, И. Процессы иассовоео оосеуасиваниа цепи определяются моментами поступления новых требований, и пусть д, состояние системы, есть число требований, ожидающих или обслуживаемых, которые находились в системе в момент по- ступления последнего требования.
Вероятность Ро можно найти следующим образом: (1) Если /) с + 1, то Рн = О при всех 1 = О, 1, 2, (2) Если / <1+ 1 (з, то все требования находились на обслу- живании и до следующего момента поступления закончилось 1 — 1+ 1 актов обслуживания Вероятность того, что за время ! фиксированное требование обслужится, равна 1 — е-ш.
Таким об- разом, Рп — — )' Р(1+1 — 1 актов обслуживания закончится за время 1! о в момент О в системе было 1+ 1 требований)с(Н(!) = ('+ )(1 е-нс)~+ь-1е-и!1с(Н(!) (7 1) ! о Подинтегральная функция является вероятностью из биномиального распределения, соответствующей ! + 1 — / успехам (завершениям актов обслуживания до следующего момента поступления). (3) Если 1+ 1 '-1)~ з и 1> з, то все приборы до следующего момента поступления заняты обслуживанием. Следовательно, РП вЂ” — Р (окончилось 1+ 1 — 1 актов обслуживания) = = ) Р(за время !окончилось 1+ 1 — 1 актов обслуживания) с(Н(1)= о 1 е ""(1сз()сю 1с1Н ®.
(1 -1- 1 — /1! о (Вывод последнего равенства совпадает с выводом, приведенным после формулы (5.2). В нашем случае функция распределения времени до завершения очередного акта обслуживания является экспоненциальной с параметром зр, поскольку в рассматриваемом случае заняты все з приборов.) (4) Если 1+ 1)~а ) 1, то в начале рассматриваемого интервала т = ! — з + 1 требований будут ожидать, а з требований обслуживаться. В конце интервала будет л = з — ! свободных приборов. Пусть о — время до того момента, когда не останется ожидающих требований, т. е. время до окончания обслуживания и требований всеми з работающими приборами. Поскольку интервалы между моментами окончаний актов обслуживания распре- 485 Е 7 Экспоненциалвнов обслуживание в приборов велены зкспоненциально с параметром е)(, то величина о имеет гамма-распределение порядка т с параметром з)(.
Предположим, что оставшиеся н требований обслуживаются время и — о, где и — длительность интервала между соседними моментами поступления. Тогда Р»= )' Р(за время и обслужилось и)+н требований) (/Н(и) о ° ~ ~ ~ Р(за время и — о обслужилось п требований) Х 9 О Х вЂ” е '!" (в)()"'о ' (/о~ с/Н (и) 1 (сп — 1)1 И ( о -'е вмо ' е Р(и "'('-")(1 — е и'"-")" с(ос/Н(н), - (пт 1)1,',' )а/ О 9 где последнее равенство получено с помощью биномиального рас- пределения, аналогично равенству (7.1). А.
Стационарные вероятности Естественно ожидать, что если нагрузка системы <1, т. е. М (длина интервала между окончаниями актов обслуживания, когда все иряборы наняты) М (длина интервала между моментами иостуилений) <1, в)аМ (длина интервала между моментами ностуилений) то спустя достаточно долгое время вероятности пребывания в каждом состоянии должны стабилизироваться.
Найдем положительный вектор х = (хс, х), хм ...), удовлетворяющий соотношениям з;х! < оо и х = хР. Сравнивая с рассмотренным ранее частным случаем одноканальной системы, приходим к рассмотрению п()обного решения вида х=(Рс, Р)т ..., Ра 9, 1, а, а', ...). В системе х = хр /-е (/) е) уравнение имеет вид х/ = а/-'+' =,'Е~ х,Р,/ = ~2~ х!Р» = ~ а'-'+' Рм ——- !-9 ! /-! ! /-! =а/ ' ) е Рви(!-с)(/Н( ) 9 18 Зак. 939 "л !4 Лроцессь! массового обслуживания 48б Это уравнение вида а = Р(а), где Р(а)= ~ е и'"н в!с(Н(и) О то это условие как раз совпадает с условием р (1.
Найдя а, МажНО НайтИ И ОСтаЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ Р, М Рь О, ..., РО ИЗ РЕКУР- рентных соотношений ()гРс! + ~ а' '+'Р;1, /=О, 1, ..., з — 2, 1-1-! ! г ! или г-2 Р! ! — — (Р; ь !) ' Ц! — 2~ РгР!! — ~и сг'-'+!Р, ) =1, 2 ...,з — 1 г=! ! г-! где р, ! = 1. Нормализуя, получим финальные вероятности х) Я/ в-2 (1- )-'+1Р; г-О Б. Время ожидания в стационарном режиме Вероятность того, что поступившее требование не будет ожидать начала обслуживания, совпадает с вероятностью того, что в момент поступления по крайней мере один прибор свободен, и равна 5-2 1 Ч- ~~ Р! О г-! К(0)=Р(д<з-1)=,"5,'и,= (1- а)-'+ ~~, Д! г-О где — 1 А= (1 — а) '+ с~грг, р, ь=1.
г-Π— выпуклая возрастающая на (О, 1) функция, Р(0) > 0 и Р(1) = 1. Выпуклость функции Р можно проверить двойным дифференцированием. Следовательно, решение а в (О, 1) существует тогда и только тогда, когда Р'(1) > 1. Поскольку Е'(1) = )хз ) и с(Н (и), О 8 8.
Виртуальное время ожидания и лериод занятости 487 Если состояние системы равно п)~з, то вновь поступившее требование должно ожидать начала обслуживания до тех пор, пока не обслужатся и — з+ 1 требований, стоящих перед ним. Но поскольку работают все з приборов, интервалы между окончаниями актов обслуживания распределены экспоненциально с параметром )тя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
