3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 82
Текст из файла (страница 82)
но у)с)Н (у) = х-с =~ )',', е "'"м — „' (с+д) "7."дН„(у)= »=о о х-с =~ с —, ~ е х"е" (с+у)" с)Н„(д), ° »=о о В следующей теореме выводится функция распределения периода занятости, отличного от начального. Теорем а 8.2. Вероятность того, что период занятости, отличный от начального, имеет длительность (х, равна 6(х)= ~ ) е "у" с)Н„(у), х)0. (8.8) » ) о Д о к а з а т е л ь с т в о. Если предположить, что период занятости состоит из и, и = 1, 2, ..., актов обслуживания, то его длительность равна 11) + 11з +... + ул„где ул, тз, ..., 1)„— независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Р(т) (х) = Н(х), ) = 1, 2, ..., и.
В этом случае за период занятости поступит в точности и — 1 требований. Будем отсчитывать время от начала периода занятости и обозначим через т), тз, ..., т, ) моменты поступлений. Они должны удовлетворять условиям т) <Х)+ ° ° +Хи ) =-1, 2, ..., и — 1. (8.9) Если и) +...
+11„= у, то период занятости имеет длительность у, а моменты поступлений можно считать расположенными в порядке возрастания координатами и точек, равномерно и независимо друг от друга распределенных в интервале (О, д). Далее, ул, ..., ))„— неотрицательные перестановочные случайные величины. Если 493 Задачи )(!+... +Х =у, то событие (8.9) имеет ту же вероятность, что и событие )(! + ...
+ Хе (~та, й = 1, 2, ..., п — 1, (8,10) поскольку в (8.9) можно заменить )(! на )( чз! ! и т! на у — т 1 = 1, 2, ..., и — 1, не изменяя вероятности события. По лемме8.2 1 вероятность события (8.9) (и (8.10)) равна — . Поскольку Р(Х! + ... + Хв ( у) = Н„(у), а вероятность того, что за интервал времени (О, у) поступит в точности и — 1 требований, рдвна (и — 1) ! — (Лу)" 'е ", то, применяя формулу полной вероятности, по- лучим ю х 6(х) = ~ — ~ е " „Р !)! с(Н„(у), (8.11) и=! о что и требовалось доказать.
° 1 ~( 6 ~( 5. а <и(чо, Л где р= — <1. Пусть Я = гпах(и — з,о) (и = О, 1, 2, ...) — длина очереди без 3!х обслуживаемых требований. Показать, что х -! $ з-о з-о (2) М Я) = —. 2. Сравнить системы типа (М/М/1) с прямым и обратным порядками обслу. живания (обратный порядок возникает, скажем, когда статьи из стопки берутся сверху). Насколько отличаются (если зто отличие есть) распределения длин очередей, времен ожидания и периодов занятости? Ответ: Распределения длин очередей и периодов занятости не отличаются, Отличаются распределения времен олгидаиия. Почему зто так? 3.
Рассмотрим систему (М)М/1) с обратным порядком обслуживания, Пусть Х(!) — донна очереди в момент й Показать, что процесс (Х(!), ! ~ ~О) является процессом рождения н гибели, и найти его параметры. Отвез: Л Л, И =р. 3ДДДЧИ 1. Показать, что стационарное распределение длины очереди (р„, и = О, 1, 2, ...) для системы (М/М/з) равно Гл.
Рй Процсссь~ массового обслуживания 494 4. Рассмотрим систему с бесконечным числом обслуживающих приборов и зкспоненциально (параметр р) распределенным временем обслужпваиия. Предпо. лежим, что требования поступают группалги, а интервалы между моментами поступлений распределены экспоненциально с параметром л. Число требований в каждой группе случайно и имеет геометрическое распределение с параметром р (О < р < 1), т. е. Р (число требований в группе равно й) = рл '(1 — р) (й 1, 2, ...), Представить этот процесс в виде цепи Маркова с непрерывным временем и найти ее инфинитезимальную матрицу.
Ответ: 4) !! дм !1, где Уь с-~ = сро ! ~ ~! уН=йр! с !(1 — р), !>й ОП=О, !<! — 1, си= — ~г чстл )~с 5 (продолжение). Найти производящую функцию н(з] равновесного распре. деления процесса. Ответ; х н (з) = [ 1 + (! — з)~ 6. (Система с ограничениями) '). Требования поступают в систему по пуассоновскому потоку с параметром Х. Длительности их обслуживания — независимые одинаково распределенные д.с.в, с распределением Н(х).
Требование, которое застает прибор занятым, присоединяется к очереди с вероятностью р (О < р < 1). Найтв переходные вероятности вложенной цепи Маркова, построенвой по моментам ухода требований из системы. Найти предельное распределение длины очереди. Ответ: Рю Рг Рт Ро Р1 Рл О Ро Р1 О О р, ... ()лрх)т ру ~ е ХР" Р Г(Н (Х), !1 о К (з) = т р)зт. и (з) = Ъ ! (1 — р) К (з) (з — !) з — К (з) 1-о где р= Хор<1, а= ~ хс(Н(х)<оо. о У.
Рассмотрим систему, описанную в задаче б. Пусть Н(х) =1 — е "".Описать зту модель как случайный процесс рождения и гибели. ') В оригинале «диене!пи лч!!й Ьа1Ипй», т. е, дословно «процесс образования очереди с прспятствиями»,— Прим. перев, 496 Задача Ответ: Л, л-О, гО, «=О, )сл = Ил )ср, л>0, (Р, л>0. 8. Следующие два процесса рождения и гибели (см.
$4 гл. 7) можно ин. терпретировать как модели обслуживания с ограничениями, (з) Хл=Хдл, 0<4<1, Х>О, л=О, 1,2, ..., Р,=О; Л (б) )л= рл=р, л=!, 2, л+1 ' рз= О. Для каждого случая найти стационарное распределение. Ответ: ~л!т-и (а)р р,~ — ) д г)с!т гл ) )О, Х О, р,=з в. Е (з) - [(р + з) е " /(з + ре !"+*! )1; е" г — (1 + РТ) среднее время ожидания И 10. (Система (М/6/сс)). Предположим, что имеется бесконечное число обслуживающих приборов и, следовательно, требования не ждут в очереди.
Мы интересуемся числом занятых приборов. Моменты поступления требований абра. зуют пуассоновский поток с параметром л, Длительности обслуживания требований независимы и одинаково распределены по закону Н(х). Найти (1) Ра (1) = Р(в момент ! обслуживается ровно й требований), (2) 1пп Ра (!) = Ра при условии, что в начальный момент в системе нет трез + бований и а = ~ х г(Н (х) <ол. о 9.
Рассмотрим задачу о пешеходах, желающих перейти улицу с односторонним движением в заданной точке. Предположим, что автомобили (нулевой длины), которые движутся без остановок, проезжают мимо данной точки в моменты, образующие пуассоновский поток с параметром р. Все ожидающие пешеходы перейдут дорогу, как только временнбе «окно» между автомобилями составит по крайней мере Т секунд. Чему равны (1) распределение времени ожидания пеше. хода, который подошел к дороге в произвольный (не зависящий от движения автомобилей) момент времени, (2) распределение времени между моментом окончания перехода улипы некоторым пешеходом и следующим моментом начала возможного переходач Ответ дать в терминах преобразований Лапласа.
Найти среднее время ожидания пешехода. Ответ: Распределения (!) и (2) имеют одно н то же преобразование Лап- ласа 496 Тл. 14, Процессы лассового обслухсивания Указание: Использовать формулу полной вероятности и тот факт, что прн условии поступления и требований за время ! моменты поступления распределены как порядковые статистики размера и для равномерного распределения в (О, !). Ответ: »» г, в»-, (- » ] в — и !»»») (» ] »~ -и »и») —, 1 Ы ' о о (2) Рн=в «» — (Ла)а, а= ) хе(Н (х). А! о 11.
В системе (Мгб/аа) моменты поступления требований образуют пуассоновский поток с параметром Л, а функция распределения времени обслуживания равна Н(х). В начальный момент в системе нет ни одного требовапйя. Показать, что вероятность того, ыо за время ! будет обслужепо а требований, равна ч ! ! — (»[ !»»)»( — »[в»»»). и! о о 12. Рассмотрим процесс, описанный в задаче 1!. Показать, что вероятность ц,(1, Т) того, что в интервале (г, ! + Т) ни одно требование не покинет систел»у, удовлетворяет рекуррентнол»у соотношению »р(6 Т) = ( Ле «г! т)[Н(т)+1 — Н(т+Т)]»р(т, Т) с(т+ о гет + ( )в «'[1 — Н(Т-1-1 — т)]»р(О Т+! — т)с(т+е «!'+г! Указание: Рассмотреть возможности, возникающие в момент поступления первого требования.
13. Используя результат задачи 12, доказать, что гьг »!»»=- (-»] ~»!»»»»). Указание: Вывести дифференциальное уравнение первого порядка (по пере. менной !) относительно функции »р(1, Т) и решить его. 14 (продолжение). Пусть »р (1, Т) — вероятность того, что в интервале ((,! + Т) а требований покинули систему. Получить интегральное соотношение типа (*) между 9» и ср, ». Затем показать, что гьг )в гет ».»»ч= — „', (»] и(»)»») - [-»] к!»»»»). [ ! 16. В задаче 1О рассматривалась система с бесконечным числом обслужи вающих приборов и пуассоновским в«одяшпм потоком.
Рассмотрим «двойствен. »»ую» систему (О!/М)ео), у которой интервалы между моментами поступления не- 497 Задачи зависимы и одинаково распределены с плотностью й(х), а длительности обслуживания независимы н распределены по экспоненте с параметром р. Число обслуживающих приборов бесконечно. Найти матрицу переходных вероятностей вложенной цепи Маркова, состояние которой ц„в момент л есть число занятых приборов в момент и-го поступления, Отвею Р(т!и+~ =/(цз=1)= РН ! . ~ ) е !"х(! — е "к) й(х) дх.
11+! ! г — к — х 1+г 1 1 о *16. Рассмотрим систему (М/О/!). Пусть Вь Вь ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распрелеления В(х), которая равна функции распределения периода занятости системы.
Предположим, что длительность обслуживания первого (за период занятости) требования равна Х (с функцией распределения Н(х) Р (Х ~( х) и средним а < оз) и что за время его обслуживания поступают л других требований. По. казать, что В (к) = Р (Х + В~ + Вз + ... + Ва ~ (х). Отсюда получить, что преобразование Лапласа ОЭ В (6) ~ е Вх дВ (х) о удовлетворяет функциональному уравнению В(6) =,р(В+й(!-В(В))), где ф(6) /1 е "г/Н(х). о Использовать этот результат для нахождения средней продолжительности периода занятости. Указание: Период занятости не зависит от порядка обслуживания.
Предположим (поскольку случай и 0 тривиален), что за время первого акта обслужи. ванна поступают и > 0 требований. Обслуживанием первого из этих требований начнем новый период занятости. По завершении его вернемся ко второму из указанных требований и начнем другой период занятости и т. д. л раз. Ответ; а Средняя продолжительность периода занятости 1-/га ' а- ) хг/Н (х). х о '!7. В условиях задачи 3 при )г ( р рассмотрим систему в момент поступления требования. Найти вероятность того, что за время ожидания этого треба. ванна обслужатся в точности н требований при условии, что поступившее требование не застает систему свободной. Указание; Применить метод решения задачи !6 для доказательства того, что вероятностная производящая функция л(з) числа требований, обслуженных за период занятости, удовлетворяет функциональному уравнениго Ы (з) = Рз ()г + л — лй (з) ) Гл.
!4. Процессы массового обслуживоноя Ответ: 2 (в) = ~~ ~ ) ( 1) ( ) ( ) 5 г ! 18. Рассмотрим систему обслуживания, в которой требования поступают реп гулярно в моменты —, о= О, 1, 2..... Предположим, что врелщ обслуживания Л' л! 1-го требования распределено экспоненциально с параметром Р. Пусть Л > р. Найти вероятность того, что прибор никогда не освободится, если в момент О в системе имеется одно требование. Укозоное: Показать, что искомая вероятность равна Р(У!»-Уз+ ... +У!)1, 1 1,2,...), где у, — независимые д. с. в» имеющие экспоненциальное распределение с пара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
