3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Пусть Хз = зпрлХ; легко показать, что Х., конечно, а в случае когда А » О, еще и положительно. В самом деле, если М = гпах асп то из условий ~ х, =! и х ) 0 следует, что 1<ь !<л л П ~ апхг ~(М,~~ хг — — М, ! = 1, ..., и, а также что х; )~ 1/и хотя 1 ! г 3 бы для одного 1'. Отсюда получаем неравенство Ха (иМ.
Если А » 0 и О<0== ппп ам, то ~ам) би; это означает, что чисияс у<л г ло Ьпе=Л. (Ему соответствует вектор х =(1/и,..., !/п).) Предположим теперь, что Хч = 0 для матрицы А ) О. Для х » 0 соотношение Ах » 0 невозможно, так как Ха = О. С другой стороны, из равенства Ах =-0 для некоторого х » 0 следует, что А = О. Таким образом, существует вектор х » О, такой, что Ах>0. Пусть С, — множество индексов положительных элементов вектора Ах; очевидно, С~ не зависит от выбора вектора х >> О.
Пусть вектор у = (уь..., у„) ) 0 таков, что йч ) О, если 1ен Сь и у; = О, если 1ф Сь Определим С, как множество индексов положительных координат вектора Ау; это множество не зависит от выбора вектора у и, кроме того, С, ~ Сь Поскольку 1.~ = О, то Сз Ф Сь Рассуждая точно так же, легко убедиться, что причем здесь все включения являются строгими. Теперь уже не составляет труда показать, что А~ = О. Действительно, А"'х = 0 для х » О, но так как любой вектор может быть представлен как разность двух строго положительных векторов, то А~г = 0 для любого х, что эквивалентно равенству нулю матрицы А'".
Э 2. Теория Фробениусо 509 Первая теорема Фробениуса Теорема 2,1, Если А » О, то (а) существует вектор хо » О, такой, что Ах'= Лох'; (б) 1Л1<Л, для всех собственных значений Л матрицы А, отличных от Ло, (в) правые собственные векторы матрацы А, соответствующие Ло, образуют одномерное подпространство, т.
е, б(гп з)4, = 1. Дока з а т е л ь с т в о, (а) По определению Ло существует последовательность Уь У,, ...-+Ло и вектоРы хо~, х('~, ..., такие, что хоп>0, Ах<'>)у,хш, х<п+ ... +х~"=-1. (П.2.1) Так как значения компонент всех векторов хп> принадлежат отрезку (О, 1), то с помо1цью процесса диагонализации мы можем построить последовательность положительных целых чисел п1<пе<п,<..., такую, что 1ппх("!)-+хо, т=1, ..., и, (П.2.2) где хо еп [О, 11, т =- 1, 2, ..., п. Из (2.! ) следует, что х', +... + х'„= 1 и х'=(х'„..., х'„)>О. Кроме того, если мы заменим в неравенстве Ах<й>~у;хсо индекс 1 на и, и устремим / к оо, то придем к неравенству Ахо )~ Л,х'. Мы покажем, что на самом деле Ах' = Л,хо. Действительно, если это не так, то Ах' > Лох'.
Умножая обе части этого неравенства слева на А, получаем неравенство Ау' » Лоу', где у' = Ах'» О. Это неравенство сохранится и тогда, когда мы прибавим к Ло достаточно малое положительное число в: Ау' » (Ло+ е)у'. Нормируя вектор уо так, чтобы сумма его координат равнялась единице, мы убеждаемся в том, что Ло+ е принадлежит множеству Л. Но последнее противоречит определению Ло Таким образом, Ах' = Лох'.
Поскольку х' > О, а А.» О, то Лох' » О, т. е. х » О. Этим завершается доказательство утверждения (а). (б) Пусть Л Ф Ло и Ах = Лх, где х чьО. Координатная запись равенства Ах = Лг имеет вид я 2.'~ амх~ — — Лгн 1=1, ..., и. / ! Отсюда для абсолютных величин имеем я ~ ан1г11)1Л11ге 1, 1= 1, ..., и, / ! т. е. А1х 1)1Л11х1, где 1х1=(1г, 1, ..., 1г„1). Нормируя вектор 1г) так, чтобы сумма его координат равнялась единице (напомним, что г Ф 0), мы видим, что 1Л( принадлежит Л.
Тогда по определению Ло имеем 1Л1а.."Ло Чтобы показать, 510 Приложение что )Л! < Ло, введем матрицу Ао = А — 6$, где $ — единичная матрица, а 6 — положительное число, малое настолько, что А, » О. Поскольку Л,— наибольшее по абсолютной величине положительное собственное значение матрицы А, то Л вЂ” 6 является таковым для матрицы Ао, Повторяя те же рассуждения, что и при доказательстве неравенства 1Л! <Л,, для матрицы А, и ее собственного значения Л вЂ” 6, получаем неравенство 1Л вЂ” 6) < Л,— 6.
Но, с другой стороны, ! Л !=1Л вЂ” 6+6 ! <<! Л вЂ” 6 !+6 <Л„ так что из 1Л) = Л, следует 1Л! = )Л вЂ” 6( + 6. Последнее означает, что Л действительно и положительно. Таким образом, имеет место равенство Л = 1Л! = Л„ что противоречит исходному предположению (Л Ф Ло). (в) Предположим, что Ау = Лоу станты с, что у = сх'. Поскольку А — действительная матрица, векторы и и ч, координатами которых служат соответственно действительные и мнимые части координат вектора у, являются собственными векторами матрицы А, соответствующими Л,.
Поскольку уФсх' для всех констант с, то по крайней мере один из векторов и или ч не представим в виде сх'. Поэтому мы можем считать вектор у действительным. Так как х')> О, можно выбрать такое число р, что х' — $оу) О, но не »О; при этом ! $о1- ппп (х,'/~ у, ~ ). Отсюда А(хо — $оу) = Л,(х' — ру), и, как и о,~о в доказательстве утверждения (а), с необходимостью получаем: (хо — ру) » О. Это противоречит выбору $о.
п Отметим попутно несколько простых фактов. Если А » О, то можно утвериодать, что существует вектор $о )> О, такой, что $оА = Ло(о, а подпространство левых собственных векторов, соответствующих Ло, одномерно. Следуя доказательству теоремы 2.1, положим Л' = заиро Л, где Л' = (Л) $А)~Л$ для некоторого $ ) О). Легко убедиться в существовании вектора $о » О, такого, что $оА = Л'$о, в одномерности подпространства левых собственных векторов, отвечающих Л', а также в том, что если Л вЂ” любое собственное значение матрицы А, не равное Л', то 1Л( < Л'.
1!о отсюда следует, что !Ло) < Л', если Ло М Л', тогда как по теореме 2.1 1Л'( < Ло, если собственное значение Л' отлично от Ло Следовательно, т.' = Ло. Теорема 2.2. Если матрица А ) О такова, что А™ » О для некоторого целого числа т) О, то для нее остаются справедливыми утверждения предыдущей теоремы.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.1, мы можем найти вектор хо ) О, такой, что Ах')~ Л,х'. Если Э 2. Теория Фробеяиуеа Ахи = Л,хо, то Ахи) Лох'. Умножая обе части этого неравенства слева на А, приходим к соотношению Ау )> Лоу, где у = А~хо >> О. Это противоречит определению Ло (см. доказательство теоремы 2.1); следовательно, Ах' = Лох'. Отсюда получаем соотношение А х = Лох . Так как А » О и х )О, то Лох' » О, т.
е. х >) О. Для доказательства неравенства )Л! -Л, в пункте (б) теоремы 2.1 нам было бы достаточно положительности (не строгой) матрицы А. Поэтому это неравенство выполняется и в условиях настоящей теоремы. Предположим, что ~Л~ = Л, и Ах = Лх для некоторого вектора хчьО. Тогда А к=Л х, А"х =Лох и ~ Л ~=- Лм Если мы покажем, что Ло" является наибольшим по модулю положительным собственным значением матрицы А, то теорема 2.1 сразу же приведет нас к противоречию.
Так как А » О, то А™ имеет наибольшее по модулю положительное собственное значение по теореме 2.1, которому соответствует собственный вектор с положительными компонентами. В таком случае, если Ло не является наибольшим по модулю положительным собственным значением матрицы А, то матрица А~ имеет по крайней мере два положительных собственных значения Л~ ) Лм которым соответствуют собственные векторы хь хз » О. Но это невозможно; действительно, пусть и ) О таково, что ха — рх~ ) О, но не » О.
Тогда Ао'(хз — рх,) » О. С другой стороны, А (ха — нх,) = Л,х, — нЛ,х~ = Ля(хз — их~) — (Л, — Ле) пхь Поскольку вектор (х,— рх~) имеет по крайней мере одну нулевую компоненту, в то время как все компоненты вектора х~ положительны, мы приходим к противоречию. Тот факт, что все собственные векторы матрицы А являются собственными векторами матрицы А, сводит доказательство утверждения (в) к повторению доказательства утверждения (в) теоремы 2.1. ° Продолжая изучение матриц А ) О, для которых А~ )> О при некотором целом т ) О, введем матрицу ранга 1 по формуле где х' — правый собственный вектор, введенный в доказательстве теоремы 2.1, а 1' » Π— левый собственный вектор, принадлежая щий Ло и нормированный условием ~.'~ хЯ =!. Такая матрица 1-1 обладает следующими свойствами: (1) Рх=(х, Р)х', 1Р=(1, хо)(о для любых векторов х и 1 и, в частности, Рх = х~ 1'Р = Р' (и) (П1) АР =- РА = ЛоР.
//риложгпие 512 Первые два свойства проверяются непосредственно; что же касается третьего, то заметим, что для любого вектора х .;еем АРх А(х 1о)хо (х 1в)Ахо (х, !о)Л„хг=!, Рх так что АР = ЛеР; аналогично !РА = (Л,Р, т. е. РА = ЛгР. Приведем без доказательства следующий факт. Пусть В— квадратная матрица; поломснм г = !нп )//пах !Ь','/ ~, л+ /,/ где Ь//' — элементы матрицы В". Матрица В имеет собственное значение Л', такое, что !Л'( = г; для всех других собственных значений Л матрицы В имеет место неравенство !Л! < г.
г часто называют спектральным радиусом матрицы. Мы воспользуемся этим понятием при доказательстве следующей теоремы. Т е о р е и а 2.3. Если А > О и А™ >> О для некоторого целого т>О, то — А — +Р при п- оо, ! д тп "о где Ле и Р имеют прежний смысл. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что если Л является собственным значением матрицы В = А — /.,Р, то ! /.( < /еь Действительно, предположим, что Вх = Лх при некотором г ив О; тогда ЛРх = РВх = Р (А — ЛоР) х = (ЛоР— ЛюР ) х = Л,(Р— Р) г = О, откуда следует, что всякое собственное значение матрицы В является собственным значением матрицы А; то же можно сказать о собственных векторах.
Из теоремы 2.2 следует, что либо Л = Л„ либо !Х( < Лм Предположим, что Л = Л,, тогда в силу одномерности собственного подпространства, соответствующего Л,, матрицы А, а следовательно, и матрицы В имеет место соотношение Вх' = Лгхг. С другой стороны, Вх' =(А — Лгр)хь = Ах' — ЛгРх' = = Лгх' — Лрхг = О.
Получаем противоречие. Значит, спектральный радиус г матрицы В удовлетворяет неравенству т < Ло. Пусть р— положительное число, такое, что г < р < Л,; поскольку г = ! пп )/гп ах ~ Ь /"; ~ < р, и-э /,/ то /пах ~ Ь(",) , '< о" для достаточно больших и, ! 1спольз! /~ свой/, / ства (11) и (111) матрицы Р, получаем В'"= А — Ло Р, э" 2. Теория Фробениуса А!!! В!!! — = — + Р. л'" л'" о о Так как шах ~ Ь';" ~ < р" для достаточно больших и, то !,! — < — -!. О, а следовательно, В /Ль"-+О. ° Вторая теорема Фробениуса Гео рема 2.4. Пусть А) О, а Ль имеет тот рке смысл, что и в теореме 2.1; тогда; (а) Ль является собственнь!м значением матрицы А и ему соответствует собственный вектор хь ) О; (б) если Л вЂ” любое другое собственное значение матрицы А, то (Л) < Ль, (в) среднее сходится, если хь » О; (г) если Л вЂ” собственное значение матрицы А и ( Л( = Ль, то т1 = Л/Ль является корнем из единицы, а т1™Ль, т = О, 1, 2, ..., сУть собственные значениЯ матРиЦы А, Д о к а з а т е л ь с т в о.
(а) Пусть Š— матрица, все элементы которой равны единице; тогда А + ЬЕ » О при любом 6 > О. Пусть О < 6! < Ьь Выберем х = (хь..., х„) ) О таким, что ~~'.~ х; = 1, тогда из (А+ Ь,Е)х)~ Лх следует, что (А + Ь,Е) х = (А + Ь,Е) х + (Ь, — 6,) Ех и 1Л + (Ь, — 6,)] х. Таким образом, если Ль(6) — значение Ль, соответствующее матрице А+ ЬЕ, то Ль(6) является возрастающей функцией аргумента 6. Заметим, что Л,(0) есть значение Ль, соответствующее самой матрице А.
По теореме 2.1 существует вектор х(6) »'О, нормированный условием ~ х,(6) = 1, такой, что (А+ЬЕ) х(6) = Л,(6) х(6). Пусть 6! > Ь! >... — последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Как и при доказательстве теоремы 2,1, мы Прилохаааиа можем выделить последовательность целых чисел п„п,, ..., таи кую, что !1ш х (6„) — х', где вектор ха) О н ~~.", х'; =. 1. Ясно, что А+ и> >=! +бл Е-+А и Аа(бл )- )й)Ха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
