3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Х„, а Ух — индекс й-го рекордного значения (см. задачи 21 — 28 гл. 9). Доказать со. отношение Р(1'ь> и) = Р(й(а<9+ 1). 12 (продолжение). Доказать формулу ! ! 1 Р (г" ч = г) и Х (и — йг !) (и — lгг г) ''' (и — й,) г<а <ь«.. ° ь <и 13. Пусть Хь Хг,... Х„, п Уь Уг, ..., У вЂ” выборки соотвсгсгвенно из т и и случайных величин с однон и той же непрерывной функцией распределения вероятностей Е(х) Пусть йг — число значений в выборке из второго набора, пе превышагоших Хю й-й порядковой статистики первого набора. Показать, что распределение с. в.
йг имеет вяд Р(йг=))= для 1=0, 1,..., и. ©(") ° ( т+и ) !г+! Указание: Воспользоваться результатом задачи 7 гл. 9. 14. Рассмотрим выборку абъелга и лэ популяции с фувкцней плотности вероятностей !(х). Из этой же популяции берется другая выборка того же объема, не зависящая от первой.
Пусть ГГ" — число значений во второй выборке, превышающих г-е наименьшее значение в первой выборке, а У" — число значений ва 621 Различные зас«ачи второй выборке, больших з-го наибольшего значения в первой выборке. Дока. зать, что (и — х+г — 1)(л — гч-х) (п — ! )(л) (2л) 2 ( 2л — 1 ) х=О, 1, ..., л, и, кроме того, что Р [и,"=х) Р (У"-х), где э=л — и. Указание: Воспользоваться результатом задачи 7 гл.
9. 1б. Пусть Хь Хз, ..., Хт и Уь Уа, ..., У вЂ” независимые наблюдения над случайными величинами с распределениями Р(х) и О(у) соответственно. Предположим, что Р и С вЂ” непрерывные функции и Р= О, 6>О. Пусть Х,;т<Хз, т< ... <Хт,т 1 ь и чч «з, и чт ° ° ° чи «и, и суть порядковые статистики соответствующих выборок, Нзйти Р [Хт-г, т ~ ~«и, и ( Хт-!ь и т! «и, и - 1). Ответ: (т) [О (1)]а!т )(! [О (/)]а)! 1б (продолжение).
Найти Нероятность того, что ровно 1 значений из первой выборки больше всех значений из второй выборки. Ответ: т'! л Г((л/6)+т — /) Г(1+1) ()- 1 / 6 Г ((л/6) +т + 1) 17 (продолжение). Найти вероятность того, что ровно 1 значений из первой выборки меньше всех значений иэ второй выборки. Ответ: (' ]„1Ъ ! ! 1 / ~ю1 ( г ) [6(1+г)+ !] [6(/+г)+2] ... ° [6(1+г)+л] ' ,е 1и. Пусть Хь Хг, ..., Х н Уь Уз, ..., ӄ— независимые случайные выборки для распределений Р(х) и О(у) соответственно. Предположим, что Р(х) и О(у) — непрерывные строго возрастающие функции, и положим р-р(У<Х), где Х и У вЂ” незанисимые с. в. с распределениями Р и О соответственно.
Положим и=число пар (Хь У/), для которых У/<Хь Показать, что м(и) = р. Указаиае: Представить и в виде ( 1, если У/ ( Кг, и= ~ и,/, где иг/-( ' / 1,! 1 ! О, если У/) Хь 522 Различные задачи 19 (продолжение). Показать, что и'(О) = тл((т — 1) а+(и — 1) [3 — (т+и — 1) р'+ (2т — 1) р — (т — !)). где и= ( ь'[(Г))эд! () 1 2( !Е(1) дс ь(Г) = Р(О-'(!)) и 6 ' — функпия, обратная к О.
20. Пусть аь йэ, ..., 9» — совокупность нз п независимых равномерно распределенных на [О, !] с. в, Найти среднее и дисперсию их минимума. Ответ; Среднее равно Оа+ 1; дисперсия равна и!э[[(а+ 1)т(а+ 2)) 21. Пусть Хь Хь... Մ— независимые с. в. с плотностями Д(х), [э(х), ... ..., [„(х) и распределениями Р~(х), Ре(х), ..., Р„(х) соответственно.
Положим 2 = ппп(Хь Х,, ..., Х,) и йг — первый яндекс, при котором достигается пип(Хь Хэ, ..., Х ). Пусть Нь (а) = Р [Аг = й, Е(х). Доказать, что г э ы- ([П ю-»Ги»1»»)а -'-[.)ы а 22. Группа из 2" игроков, в равной степени искусных, принимает участие в следующей незамысловатой игре. Игрохи разбиваются на пары случайным образом и проводят партию; вероятность выигрыша для каждого из них равна 1г2. В следующей партии 2"-' победителей опять разблваются на пары случайным образом и т. д.
Игра продолжается до тех пор, пока не останется один победитель Пусть игрок А и игрок Б приникают у!астне в игре; какова вероятность этим игрокам когда-нибудь оказаться противнинаии? Ответ: 23. Игроки А и Б договариваются провести гу бросаний правильной монеты на условиях, соответствующих безобидной игре.
Какова вероятность р„того, что во время игры оии ни разу не окажутся при своих ивтересах? Ответ: ( /Аг — 1) ! ) ы, если Аг=2и+1, а 2 — ! р ( )/2, если й? 2п 24. Пусть Хг, Хь ... — последовательность с, в., такая, что Хь равномерно распределена в интервале (Хь ь 1) и Хр е- О. Доказать, что 523 Различные задачи Указание: По индукции доказать, что плотность вероятностей с. в. Х, имеет вид (-!п (1 — к) )! 1(х) = ., !))2. л 2б (продолжение). Показать, что — ~ч'~~ М (1п Х!) ограничены равномерно т-! по л. Указание: Показать, что л л-! и 03жт е — т М(1п Х!) = — ) !п(1 — е ) е ~ — Иы( — ) (п(1 — е )с)ы= азы г, Ъ.1 1 В 3 ,й~ й ° а ! ! 0 26 (продолжение). Показать, что м(дм!г,,=!)= м'. гэ ? Указание.
Положим <р(в) =М~п Х! )Ха ! — — в . (Почему ср не зависит ! а от А?) Воспользоваться результатом предыдущего упражнения для того, чтобы показать, что !р(э) +О при О (~ в ( 1. затем вывести функциональное уравнение ! ф(х)-, „)' И(а) %, ф(1)=1. и найти его решения. Это уравнение имеет два решения, одно из которых непрерывно в точке 1, а другое разрывно. Показать, что решение гр(я) = О (О ( $ < 1), с1(1) = 1 не является искомым. ! 27 (продолжение). Показать, что М ~Ц Х!) Ф П М(Х!), и указать, ка! ! ! ! кая вз этих величин больше, Ответ; м ()) х,) > Д м <х,!.
28. Урна содержит л различных занумерованных шаров. Нам ничего не иэ. вестно о тол!, каковы эти номера. Мы извлекаем шары один за одним н останавливаемся тогда, когда так или иначе приходим к заключению, что номер последнего извлеченного шара является наибольшим среди номеров всех л шаров. Наша цель — максимизировать вероятность того, что это заключение справедливо. (а) Рассмотрим следующие стратегии остановки; сначала извлечь тл шаров; продолткать извлечение до тех пор, пока номер последнего извлеченного шара не будет больше номеров первых тл шаров. Какова вероятность того, что номер последнего извлеченного шара наибольший среди всех? (б) Выберем р между О и 1 и пусть тл = (лр) (наибольшее целое число, меньшее, чем лр). Каково значение р, асимптотически (при л-! со) наилучшее в смысле максимизации указанной вероятности? 524 Раз.н11чьэ эиба н1 Региение.
(а) После извлечения шара, номер которого мы счнтаем наибольшим среди номеров всех и шаров. продолжим извлечение н выясним, какой же на самом деле нанба,чьшнй номер. Тогда Р(выбранный номер наибольший)= а-1 ] (й+ 1)-й является наибольшим но всей совокупности и Р (наибольший среди первых й содержится среди первых т) Х чг л-1 Р((й+1).й номер наибольший) Р[ Р ((й 1)." . р .' . ") Р [ ( наибольший среди первых й ) [ содержится среди первьж щ 11 ь=т гг лг Другое доказательство состоит в следующем Предположим, что номера на шарах представляют собой выборку обьема и при некотором известном нам не. прерывном распределении Е.
Покажем, что резулыат не зависит от Р. Действительно, Р(выбранный номер наибольший) я — 1 Ъ1 Р (шах (хы+„хж+,, ха) <х) зс Ь лг Х Р(Ха+1= птах (Хат ь Ха+а, ..., Хн) ) х) — Р(шах (Х,, „Ха,) ) х). В силу независимости правая часть этого выражения равна и-1 еа-ю ( ) [! рп-а( )[ аж- Х и — й Ф ми-1 1 Лг (х) г(р (х) = я-1 здесь а = р (х). (б) Воспользовавшись найденным решением, получзем и-1 и-! и т Ъч ! (нр] Ъч 1 Г 1 — — — — р ~1 — с1х= — р1п р. ь=ж и- (лн! пр г()с1р[ — р!п р] = 1 — 1п р является убываю1цей функпией р при О < р ~ 1.
Макси- мум достигается при )п р = — 1, т, е, прн р = е ', 29, Задача Банаха о спичечных коробках формулируется следующим абра. зом. Некто носит с собой две коробки спичек Л и Б, в которых перноначально было М н йг спичек соответственно.
Когда ему нужна спичка, он берет ее из коробки А с вероятностью р (О < р < 1) иэи из коробки Б с вероятностью 1 — р Найти вероятность и, того, что в мамонт, когда одна нз коробок окажется пу- стой, в лругой будет г спичек, 525 Различима задачи Ответ; М+3! — и ! мт! и, 1 М+Ж вЂ” и! м, мт! и.- М )Р (г '+1, )и и -( ) '~ ) 30 (продолжение). Предположим, что всякий раз, когда выбор падает на коробку 2«, из нее извлекают две спички, а когда выбор падает на коробку Б, из нее по-прежнему извлекают одну спичку. Найти и,.
Ответ: [М)2)+Хà — Г 1 раз!+! М и ) !У+(М вЂ” Г))2) !М грз и+!б [М/2! ) [ Л' ) ( 1, если М вЂ” г четно, где [х) есть целая часть х а б =! ! О, если М-г нечетно. 31. Пусть (Х2(!); Г ) О), ! = 1, 2, — независимые пуассоновские процессы с параметрами 31 и Аз соответственно. Предположим, что Х1(0) щ, Хз(0) = )у — 1 и гл < й!. (а) Найти вероятность того, что процесс Хэ достигнет состояния У раньше, чем процесс хь (б) Решить эту же задачу для случая, когда хз(0) = л, и < й!.
Ответ: Ф-т-! (У вЂ” и+г-1) г и-и Л2 -о 32. Проводятся последовательные независимые наблюдения случайной величины, плотность вероятностей которой имеет вид ) (х) = хе ", х)0, Наблюдения проводятся до тек пор, пока сумма наблюденных значений пе превысит числа й Пусть У + 1 — число требующихся для этого наблюдений. Показать, что !2и+! — Г 2и -Г е г е Г (2и+2) Г (2и+ !) ' ЗЗ. Рассмотрим процесс восстановления с функцией распределения г(х) (см. задачи 8 — 9 гл. 8). Предположим, что каждое событие с вероятностью 1 — д не регистрируется («стираетсяэ). Изменим масштаб времени на множитель 1)д. Показать, что результирующая последовательность событий представляет собой процесс восстановления с функцией распределения интервала времени между двумя последующими событиями вида ~~) (1 — д)и- ' рр!"! Я)= Рч ( ), и=-! где Р"Х как обычно, обозначает л-кратную свертку распределения и".
34 (продолжение). Пусть ф(з) — преобразование Лапласа функции г(х)2 Найтв ПрЕОбраЗОВаНИЕ ЛаПЛаСа фуНКцИИ г«(Х). Ответ: иф (24) 1 - (1 - 4) ф (зр) ' Раэллчиые задачи 35 (продолжение). Если распределение г имеет два первых конечных мо. мента, то показать, что 1 йгч (э) -ь при д-ьО+ для всех ю )(еэ) О, 1+ аэ где й ' = ~ хдр (х). о 36 (продолжение). С помощью теоремы о сходимости из 4 1 гл. 1 показаэь, !эо Р„(х) -ь 1 — е х" прп д — ь О+. 37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
