3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Поскольку л> л> (А + 6 Е) х (6„,) = Ха (6„,) х (6„), в пределе при 1- оо получаем равенство Ах' = >,'ха. Но из дока- зательства пункта (б) теоремы 2.1 следует, что Аа)~),'! значит, Ао = ь Доказательство утверждения (б) совпадает с доказательством для случая А'»'О. Доказывая утверждения (в) и (г), мы можем предположить без потери общности, что Ха = 1, так как если Ла Ф 1, то можно разделить каждый элемент матрицы А на Аа. (в) Так как Аха = ха, то Атха = ха. Записав это соотношение в координатной форме, мы сразу же найдем, что а>ах х,.
а>!и ха Таким образом, элементы матриц А'" равномерно ограничены. Пусть Е = (х: Ах = х) и К = (у; у =(1 — А)х для некоторого х), т. е. !. есть линейное пространство неподвижных точек матрицы А, а К вЂ” линейное пространство, совпадающее с областью значений матрицы 1 — А. Положим еще 8 А+А'+ ...
+Ат Ясно, что Е является замкнутым линейным пространством, таким, что для каждого х из Е АжА'+ ... ч-Ат Зтх= „''' х=х, и следовательно, Игп Би,х=х. 6!ы пока>кем также, что Зи,х схо- дится для каждого х из К и что а-мерное векторное пространство можно представить в виде прямой суммы пространств Е и К, Этим мы докажем утверждение (в). Покажем сначала, что )пп 8 у=О для всякого уен К. Пот + скольку у = (1 — А)х при некотором х, 3 у— Ау+ + Ату Ах — Ат+>х т ап стремится к О при и- со в силу того, что элементы магриц Ат равномерно ограничены. о!5 ф 2.
Тоорил Фробениуоа Чтобы показать, что каждый вектор х можно представить в виде суммы вектора из !. и вектора из К, разложим х в сумму вида х =(х — 8 х)+ Б х=у +г . !пп г,= го. 1-о» Поскольку А — А г .— Аг„= х — оО при (-+со, ип то го= !пп г, = !пп Аг, = А !!пз г„, = Аг„ ю.+ о о.о 1-о т. е. гоя1.. Кроме того, у = х — $ х = — [(х — Ах) + (х — Аох) + ... + (х — А х)] = А ~ х + (1+ А) х + (1+ А+ А') х + (! + А + А + ...
+ А'о ') х 1 + оо 3 ° откуда следует, что у ~ К. Так как К вЂ” замкнутое линейное пространство и элементы векторов у,„ равномерно ограничены, то у — х — гоя К при (- оо. Итак, х =(х — го)+ го, где х — гоенК, г,~ 1,, и доказательство утверждения (в) закончено.
(г) Мы знаем, что существует вектор !' > О, такой, что !оА=!о. Предположим сначала, что !о!»,О. Пусть теперь Л 4= 1, )Л( = 1 и Ах = Лх при некотором х Ф 0; тогда ~апх)=Лхь 1=1, 2, . ° °, и, /-1 и, таким образом, ,го ап! х)! Ъ)х, ), или А! х )=-)х !. / ! Но если А!х!) )х(, то (!', !х!) <(!о А)х!) =(! А, )х!) =(1о, )х!). Итак, А)х! = )х); следовательно, о о ~~'~ ап ! х. ! =. ! х; ! = ~ ~2'"~ а;)х) ! ! ю'= 1, 2, ..., п. Так как элементы матриц А~ равномерно ограничены, то ограничены и компоненты векторов у и г .
Поэтому существует последовательность положительных целых чисел т1< то <... и вектор г', такие, что 1В Пуолч венка Это означает, что существуют такие константы рп ..., р„ ~р;) = 1, что аых1 = аП! х1!рс при всех 1 и /. (") Обозначим через х у вектор 1х~уь ..., х„у„). Умножая соотношение 1") на р' и суммируя по 1, получаем А(х р')=р А~~х~ р'). В то же время суммирование по 1 приводит к равенству Ах=р А~х!, откуда следует, что Лх=р.~хй Далее, А(х р')=р ° А(Лх р' ')=Лр А(х р' '), с=1, 2, ..., откуда следует, что А(х р') = Л"+'(р" х). Итак, Л" является собственным значением матрицы А при г = 1, 2, .... Поскольку число собственных значений матрицы А конечно, Л должно быть корнем из единицы. Пусть теперь 1в > О, но не > О.
Проведя в слччае надобности перенумерацию строк и столбцов матрицы А, мы можем считать, что Х' = ()' . )ч О, ..., О), где )' > О, 1 = 1, ..., г. Так как А > О, то из -соотношения 1РА = Р вытекает, что где порядки квадратных матриц А~ и Аз равны соответственно г и п — г. Вектор (ф ..., ~,') является левым собственным вектором матрицы Аь Пусть Л вЂ” собственное значение матрицы А; тогда, если Л является собственным значением матрицы Ап то задача сводится к рассмотренному выше случаю. Если >ке Л не является собственным значением матрицы А,, то оно должно быть собственным значением матрицы Ав Но собственные значения матрицы Аз являются собственными значениями матрицы А и поэтому не превышают по модулю единицы.
В то же время, так как Ав > О, то она имеет наибольшее положительное собственное значение, являющееся верхней границей для абсолютных величин всех остальных ее собственных значений. Так как 1Л ~ = 1, то наибольшее собственное значение матрицы А, равно единице. Теперь предыдущие рассуждения применимы к матрице Ам именно: либо Аз имеет левый собственный вектор со всеми положительными координатами, соответствующий собственному значению 1, либо Аз 5 2 Теория Фробечиусе 517 имеет вид (после соответствующей перенумерации строк и столбцов) А,= Продолжая таким образом, мы придем за конечное число шагов к ситуации, когда существует левый собственный вектор » О, соответствующий собственному значению 1.
° Приводимые ниже следствия содержат полезную информацию относительно спектрального радиуса Хь(А) положительной матрицы А. Первое из них представляет собой другую формулировку утверждений (а) и (б) теоремы 2.4. Следствие 2.1. Если А>0, то наибольшее по абсолютной величине собственное значение ).ь — — Хь(А) является действительным неотрицательным и может быть охарактеризовано как )о = шах)., где л Л (Х( Ах > Хх, х > 0). Следствие 2.2.
Если А > 0 и существует вектор хь » О, такой, что Ахь (рхь, то р является верхней границей для 4(А). Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножая слева на А обе части неравенства Ахь ( 1ххь получаем А'хь ( 1хАхь ( 1ххх' Легко видеть, что н в общем случае Апхо ( 1хчхо и 1 2 откуда сразу же следует неравенство пах к~ ии1 х~ с Это неравенство приводит к оценке л Хь (А) = 1пп у' шах ~ а',"' ~ ( р, и л+ с/ Следствие 2 3, Если А)~ В )~0, то )ь(В) (Х,(А), Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как из А )~ В > 0 следует, что А")~В")~0, п=!,2, ..., то )ь(А)= 1пп У'тахаев> 1ип У" 1пахйье=).,(В). ° л-+ ь ! ь.+м РАЗЛИЧНЪ|Г ЗЛххАЧИ 1. Рассмотрим популяцию пз и пар, в которой у 1-й пары с всроятпосы ю р, рождается маль як, а среднее число детей в семье равно с.
Предположим, что вероятаости р, остаются постоянными во времени для всех пар, при каждых родах рождается не более одного ребенка, а пол розкдепиого ребенка ие зависит от пола детей, рожденпых ранее и тех, что появягся на свет после пего. Введем характеристику распределепия детей по полу среднее число мальчиков, рожденных в популяции пз и пар среднее число детеи, рожденных в популяции из и пар Найти 5 для этой популяции 2 (продолжеиие). Показать, что если все пары реши!от рождать детей до тех пор, пока ие будет рожден мальчик, после чего детей больше ие имеют, то и 5=5,= чч 5о.
а г-! 3 (продолжеиие). Предположим, что все пары в зависиьшсти от того, мальчик или девочка их первый ребенок, продолжают рождать детей, пока не будет рождена девочка или, во втором случае, мальчик, после чего детей больше не имеют. Найти 5 для этого случая. Ответ: чг=( рг. ч (продел>кение). Пусть все пары, если их первый ребенок — маль|ик, продолжают рождать детей, пока ие родится девочка. Если же первый ребенок— девочка, то пары ограничиваются одним ребенком. Найти 5. Ответ: б (продолжевие).
Показать, что в зависимосгц от значений р!,, Р„мо. жег быть как 5з > 5а так и 5з ч, 5з Различные задачи 8 (продолжение). а) Предположим, что вероятность осложнений при родах для с-й пары равна рь С = 1, ..., п, а наступление осложнений приводит к тому, что пара решает больше детей не иметь. Пусть з — число детей в отдельно взятой семье при условии отсутствия родов с осложнениями, и вероятность родов с осложнениями рч не изменяется во времени. Показать, что и ~ч'„1 — о' среднее число родов с осложнениями среднее число рожденных детей и Х (1-4/» С С б) Предположим, что пара решает больше не иметь детей после двух (а не одних, как ранее) родов с осложнениями.
Показать, что в этом случае Х Ж-ус)-ар!ус ') С 1 Х И2(!-0%) 1- ус '1 7. Пусть Х и У вЂ” пара независимых неотрицательных целочисленных с. в., обладающих тем свойством, что Р(Х х!Х+У=л+у)= (:)(",) (лс+и) для всех неотрицательных пелых чисел к и у (лс и и — заданные положительные целые числа). Предположим, что вероятности Р(Х О) и Р(У= О) строго положительны. Показать, что как Х, так и У распределены по биномиальному закону с одним н тем же параметром р, причем другими параметрами служат лс н л соответственно. 8.
(а) Пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины, такие, что Р(Х - с) = ((С), Р(У-1)-д(с'), гДе ((С)>0 и У(с)>0, ~Ч~,' ((1) = ~Ч~~ У(с) =1, с О, 1, с е с-о 2, .... Пусть, кроме того, (0, й>1. д ( (С) - е †. , У (1) е — , а 0, 1, 2, -эа (йа) . в йс с1 й ' где а рс'(1 — р) и 6>0 произвольно. (б) Показать, что р определяется из уравнения сс (3) ~ч~р я (с) 5~.
520 разлпчныг задачи Указание; Сначала установим соотношение Р (и) г" (о) = Р (ор+ (1 — р) и) 6 (пр 9 (1 — !г) и), где г (з) =- У, Г (г) з'. 9. Пусть Х вЂ” неотрицательная целочисленная с. в, г производящей фбикшгея 1(з) ~яр~ а„з". предположим. что после наблюдения с в х проводится х бннои о ьшальных испытаний с вероятностью успеха, равной р. П)сть У обозна гает результирующее число успехов. (а) Найти производящую функцию с. в.
У. (б! Найти производящую функцию условного распредетения Х прп ус,!овин, чго Х бииомиальных испытаний закон шлпсь успехом. Ответ: (а) !'(1 — р -Ь дз); (б) )(рз) Ц(р). !9 (продолжение). Предположим, что при каждои р (О < р ( 1) производящие функции вероятностей (а) и (б) совпадают. Доказать, что в этом случае Х !г — 0 с и Х распределена по закону Пуассона, т. е. )(з) е с некоторым параметром х > О. 11. Рассмотрим последовательность Хь Хг...
независимых одинаково распределенных с. в., функция распределения которых г'(х) непрерывна, В!гален!ге Хг называется «рекордным», если Хэ > гпах (Хп Хэ, ..., Ха,). (По определению значение Хг является рекордным.) Пусть йг„ есть число рекордных значений в последовательности Хг, Хг.. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
