3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Интервалы мемеду моментами поступлений являются, конечно, независимыми случайными величинами. В силу указанных фактов заключаем, что соотношение (5.!) определяет цепь Маркова. Вычислим ее матрицу перехода 11Р„~~. Поскольку йс Р'- О, то Рп = 0 при / > ! + 1. Если ! + 1 )~ ! > 1, то 1+ 1 — 1 требований было обслужено до поступления очередного требования. Обозначим вероятность этого события через ас„.~ р Очевидно, если 1+ 1)~!'>. 1, то Рп = ааы р Целесообразно найти выражение для ая через распределение интервалов между моментами поступления и распределение времени обслуживания.
Для этого заметим, что если длина интервала между моментами поступления равна ~, то вероятность того, что завершится обслуживание в точности й требований, равна Рсм(а) Рыыо(а) (5.2) где Р(Д = 1 — е-аь — распределение времени обслуживания, а Рбо($) — й-кратная свертка РД). Действительно, пусть Еь Е,, ... ..., Б„, ... — длительности первой, второй и т. д. операций обслуживания. Величины Е; независимы и одинаково распределены по закону Р 5). Вероятность того, что за время $ закончатся по меньшей мере А операций обслуживания, совпадает с вероятностью того, что временной интервал до окончания А-го акта обслуживания не превышает $, т, е. Следовательно, вероятность завершения за время $ в точности А операций обслуживания равна Р (время, необходимое для завершения по крайней мере я операций обслуживания (Д вЂ” Р (время, необходимое для завершения по крайней мере й + 1 операций об- Е д.
Экеаоненциально распределенное время обелаживания 477 служивания (9. Отсюда следует формула (5.2). Точное выражение для Роя~Я) следующее: $ го-! о фм(~)= ( е-ие и е(1, Г (й) о Интегрируя соответствующую формулу для Р<н+П($) по частям, получим Рао(о) Рм п(о)=е- е 5"и" Г(й+1) ' В силу формулы полной вероятности имеем ао= ) е "~ Г(Ь~, е(Н(в), о где Н($) — функция распределения интервалов между моментами поступления. Формула для аи может быть выведена непосредственным образом.
Однако метод, приведенный выше, имеет самостоятельную ценность и может использоваться при решении других задач. Наконец, величина Р,,— вероятность того, что все имевшиеся ( требований были обслужены, равна вероятности того, что при наличии более чем 1 требований по крайней мере 1 из них были бы М обслужены. Лучше всего записать Рм —— 1 — г~; Р», тогда / ! го а, О О О...
г, а, а, О О ... г, а, а, ао О ... (5.3) где г,=1 — а,— а, — ... — ае Цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей (5.3) была рассмотрена в 3 6 гл. 3 и там был проведен довольно подробный анализ, касающийся таких свойств, как положительная возвратность и невозвратность. В частности, было доказано, что если ~ йаь) 1, я-о то цепь Маркова является возвратной положительной и предельное распределение имеет вид я,.
= (1 — Цо) $', 1 =- О, 1, 2, 478 Гл. И, Процессы лассового обе сужиппиия где зо — единственное решение уравнения 1(ью) = ",е(0 < $о ( 1), а ) (~) = ~ аД". а=о В силу определения ал имеем Ъп 7 средняя длина интервала между моментами поступления ! '(1) =. т lга„— среднее вреты обслуживания Р а=о Следовательно, процесс является возвратным положительным то- гда и только тогда, когда р ( 1. Врелся ожидания Если 7"'(1)) 1 н функция распределения длины очереди является стационарной, найдем функцию распределения времени ожидания К начала обслуживания.
Вероятность того, что требование не будет ожидать в очереди, равна ..=-1- 1е. Если требование поступает и застает впереди себя п )~ 1 требований, то оно должно ожидать время, равное сумме и независимых одинаково (экспоненциально) распределенных длительностей обслуживания, прежде чем поступит на обслуживающий прибор. Эта сумма обладает гамма-распределением порядка п с параметром 1л. Таким образом, с т 'е-нт Р(Кл 1 ~длина очереди равна п)=- )г и т„е аст, и = 1. Г (п) о Следовательно, в силу того, что Р(длина очереди равна и)=-ст =(1 — ре)р,, имеем Ю'(1) = Р()р'и '7) = ~ Р(уу'<(~ длина очереди равна а) Х л ! Х Р(длина очереди равна и)+па= = (1 1~) ~,~~ Г 1„) с Щ с(т+(1 $~) = о и = (1 — зп) + $о(1 — ехр( — р((1 — во)) ) 479 д б.
Галена-распределение интервалов Это распределение является комбинацией экспоненциального с параметром )г(1 — йв) и вырожденного (сосредоточенного в точке О). Последнее имеет вес ! — 5в, который равен вероятности того, что поступившее требование не будет ожидать начала обслуживания, Условная функция распределения времени ожидания при условии занятости обслуживающего устройства равна при этом йв(!) = 1 — ехр [ — )х((1 — йв)). й 6. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ ПОСТУПЛЕНИЯМИ И ОБОБЩЕНИЯ (Ел)МД) Это частный случай предыдущей модели, который может быть исследован с помощью изящного приема, широко применяемого также и в других задачах').
Рассмотрим одноканальную систему с экспоненциально (с параметром )х) распределенным временем обслуживания и с интервалами между моментами поступления, имеющими гамма-распределение Н(и) порядка )е с плотностью ! е е-~ -ха Ь(и) =- Г(й) Х и е, и)0, О, и(0.
Функцию распределения Н(и) можно считать распределением суммы й независимых случайных величии, каждая из которых распределена экспоненциально с параметром Х. Следовательно, можно свести задачу к анализу марковского процесса, считая, что каждое поступление состоит из А фаэ О, 1, ..., й — 1, в каждой из которых требование проводит экспоненциально (с параметром ) ) распределенное время, а затем переходит к следующей фазе. Действительное поступление требования в систему соответствует его достижению й-й фазы.
В любой момент времени лишь одно требование находится в одной из фаз О, 1, ..., )е — 1, причем новое требование поступает на фазу 0 в момент, когда предшествующее требование покидает фазу й — 1. Состояние системы определяется как сумма соответствующих всем требованиям фаз. Таким образом, если система находится в состоянии пй + 1, ! < )е, это означает, что п требований находится либо в очереди, либо на обслуживании (что соответствует А-й фазе), а еще одно требование находится на «1-й фазе поступлениям Когда какое-либо требование заканчивает обслуживаться, состояние системы убывает на )е. ') Излегееммй ниже прием получил название метода фиктивных фаз Эрланга.
— /урала перев. 480 / л 14 Процессы мгассового обслулсггвания Тем самым определена цепь Маркова с непрерывным временем, инфинитезнмальная матрица которой равна А= а 1Л л Оо...... ~о-л ло...... 0 0 — Л Л 0 0 0...,..0 -Л Л О 0 О.. )х 0 О...... 0 0 — (р+Л) Л 0 О.. 0 )х О...... О 0 0 — ()х+Л) Л 0.. 0 0 р...... 0 0 0 0 — ((т+Л) Л.. Можно найти равновесные свойства данной цепи Маркова с непрерывным временем. Мы не будем этим заниматься, поскольку, как упомянуто выше, рассматриваемый пример является частным случаем системы (6/М)'1), которая рассматривалась в й 5. Преимушество описанного приема состоит в том, что, используя марковский характер процесса, можно найти его переходные характеристики. Обсуждение этого вопроса выходит за рамки данной книги. А.
Гамма-распределение времени обслуживания и произвольный (рекуррентный) входящий поток ') Можно использовать приемы, изложенные в последних нескольких парагра. фах, для нахождения стапионарных характеристик процесса обслуживания с одним обслуживающим прибором с произвольным распределением Н(о) интерва. лов между моментами поступления и гамма-распределением порядка й с пара.
метром р времени обслуживания. Будем считать, что обслуживание состоит из й фаз 1, 2, ..., й, в каждой из которых требование проводит экспоненциально (с параметром р) распределенное случайное время. После того как обслуживание на й-й фазе завершилось, требование покидает систему.
Построим вложенную цепь Маркова, переходы которой обусловлены поступлением требований. Пусть состояние цепи межлу моментами поступления равно йц — р + 1, где д — число требований в системе, а р — номер фазы обслуживания, на которой находилось в молгент последнего поступления обслуживаемое требование.
Поскольку й — р ж 1 — число фаз, которое осталось пройти обслуживаемому требованию, то состояние системы йд — р + ! = й(а — !) Ч- ') При первом чтении текст, напечатанный петитом, можно опустить без потери целостности изложения. ф б, Гамма-рвспреОеление интервалов +(й — Р+ 1) можно интерпретировать как число экспоненциально распределенных интервалов времени, которые должны завершиться прежде, чем вновь поступившее требование начнет обслуживаться. Если е О, то состояние системы полагается равным О. Вероятности перехода за один шаг для данной цепи имеют следующий вид. При всех 1 (1) если />1+ й, то РН = О, (2) если / ( ( р й, /чьО, то в одном интервале между моментами поступления содержится 1+ А — / зкспонеициально распределенных отрезков и СО Рг/=Ч ( 1 (и ) е в г/Н(о), г( о где г =1+ й — /. Вывод етого равенстеа идентичен выводу выражении для аь на стр.
477, (3) наконец, Р~е есть вероятность того, что сумма Нььа г + й экспоненциальио распределенных отрезков времени не превышает длину интервала между моментами поступления: $+ 1+е Ры - /Г Р (аггее ~ (о) г/Н (о) = ~ /Г, г/$ йН (о). о о о Б. Стационарные вероятности Если нагрузка системы М (время обслуживания) М (время между моментами поступления) й РМ (время между моментами поступления) меньше 1, то мы ожидаем, что вероятностное распределение состояний системы стремится к предельному.
Такое стационарное распределение пропорционально неотрицательной сходящейся последовательности х (хз, хь ...), удовлетворяющей равенству х хр. (6.1) По аналогии с предыдущими моделями выберем пробное решение в виде хг = Л', где Л вЂ” некоторое действительное число. При / > Ф из (66) получаем Лг= ~ Л РН= ~~~~~ Л~т(1еа /= ~ Л/ ~~~а)с=ЛГ ~ Лгт), (62) ~-о г-1-а г-о г 0 или Лв=Р(Л), где Р(Л)-~ Л'т) = )/ е "е(~ МЙН (о). г-а о г/ 16 в , вв с л. 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
