3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(7.16) А=1 и-1 Так как й (!) лннейна по 1, можно записать е 8 (1) ~ч~~ ~сиЕи (1) Н-1 (з (д (гпчиынк в ппьилч~ ~лиг лры(тгм а ((г,)„, определяется так: ((г,)„, =- (г,((гг — 1) ... ((г( — и(+ 1). ~инг, =у, и ! и ~г ич гю в й (;)= та(м( к=о ( г (1) = ~ и(,ыг,„ ъ и соответствуют сооствспным значениям Х(уг 1гд . ° . Угр 2 ~( $ (~ г(г ~( ...
~(г(~ е Р. 17,19) Точное выражение для собственных векторов имеет вид агг „,, „ „ ч (г ь гг, 'р) = П ((- г (г)) + +полипом от (гн ..., гр) степени < г. (7.20) Первый член в правой части равенства (7.18) является однородным полиномом от (гь (г, ..., (р) степени (т'. Он получен при однократном дифференцировании правой части (7.3). Как только при дифференцировании появляется член 1" (з), степень коэффициента при нем относительно г обязана быть меньше Л, поскольку для того, чтобы получить (""(з), нужно продифференцнровать ('(з), а ("(з) не возведено в степень г', (» = 1, 2, ..., р).
Используя равенство (7.!8), можно найти собственные значения матрицы переходных вероятностей (7.!). Первое собственное значение равно 1 и соответствующий ему собственный вектор имеет равные между собой компоненты. Причиной этому служит то, что сумма элементов строк матрицы переходных вероятностей равна 1. Прп (7 = ! мы имеем случай 1, а при Р = 2 — случай 2, рассмотренные выше. В случае ! мы получили (' ) (' )+( ) линейно независимых собственных векторов.
Член )= р — 21 (р — !' 0 ) ) = 1 отвечает собственному значению 1. Член ( ) = р — 1 отвечает собственным значениям гчуо д = 2, 3, ..., р. В случае 2 было — „линейно независимых собстве~шых векторов, соответствуго- Р ! щих — р(р — 1) собственным значениям вида г.гу„у„, г(, г(' = 2,, р 2 Процедура, аналогичная использованной в случаях 1 и 2, мо( г Ч- р — 2 '1 жет быть применена для построения ! ) линейно незавпси- Г мых собственных векторов, которые являются полнномамп степени г от переменных й 7 Собственно!а энонення для жоделн .э!ура!<но 44о Число собственных значений вида >.
у у ... у, <) =-2, ... ат аг ..., р, можно найти, рассматривая соответствуюшую задачу о размешении, где й шаров нужно разместить в п ячеек. В нашем случае й равно степени г соответствуюшего собственного вектора, а и равно числу различных чисел уа (д = 2, ..., р), т. е. р — 1. При такой интерпретации число различных собственных значений равно числу сочетаний из г + р — 2 по г. Поэтому число различных собственных векторов вида (7. 21) (г+ р — 2) (г+ р — 2) Общее число линеино независимых собственных векторов равно (' ')+(' ')+(~)+ '(" ')+ ("' ')= (>уер — ! ) что в точности совпадает с числом состояний цепи Маркова (7.1).
Подытожим полученные результаты в следуюшей теореме. Теорема 7.1. Пусть Г=((а,„3)Р„„,— стохастическая матрица ( т. е. а,р)0, Ха,и=!, т=!, 2...,, Р), соответствующая не- приводимой цепи Маркова. Пусть у! = 1, ум ..., ур — ее собствен- ные значения, и предположим, что <'>, н<т>, ..., н<р> образуют пол- ное семейство соответствующих им собственных векторов, т. е. Г диагонализируема. Более того, предположим, что Х у у ... у "г а! ~ Х+,у у ° ... у ° для любых у и у ° (2(~т(а, г)'<р), г> 1, и г+! ан а, где «оэффициеит при и и раэложеиии ! («1(1 (э) ) (7 22) Г н н «оэффициеит при 5 и раэложеиии 1 (е> Рассл<отри,и цепь Маркова для Р типов индивидуумов с л<атрицей переходных вероятностей, задаваемой равенством (7.!), Прн Гг+р — 2< г)~ 1 существует ( ) линейно независимых собственных веке торов, которые получаются из полиномов степени г от переменныт и Б (1)= ~', и<ай, у=2...,, р.
и ! Вид собственных значений дается формулой (7.21), а правые собственные векторы имеют вид (7,20). На зти собственные векторы Гл. )8. Гснежгксские и экологические пронесем и постояннрлй вектор натянуто пространство размерности! (У+ р — 1) равной порядку лсатриг(ы )(Р, и !!.
В качестве примера применим теорему 7.! к случаю, когда Г— единичная матрица. Другими словами, нет мутационного давления. В этом случае цепь Маркова (7.1) является непосредственным обобщением модели с двумя типами индивидуумов на случай р типов Ль Л,,..., Л„. Каждый нз них размножается независимо в соответствии с закопамн развития ветвящегося процесса, характеризуемого вероятностной производящей функцией 1(5).
Порожденная цепь Маркова имеет следующие вероятности перехода: тз г'э )и тат коэффициэит при вт 55 ° ° ° 5 в рвзложоииц 11 1 (ст) и Рз;— к н (7 23) каэффицивит при Г в рээложоицц 1 (э) В этом случае у~ = уц =... = Тр = 1. Пусть константа Л„определена равенством (7.22). Теорема 7.! утверждает, что Л„является з'г+ р — 2) собственным значением кратности ( ) (тки О, 1, 2, ..., У), гг+ р — 2) т. е, существуют ( ) линейно независимых собственных веке торов, соответствующих собственному значению Л,. Кратность возникает из-за того, что Л у„у„...
уц = Л„и нс зависит от выбора уе = у, = ... =. у„= 1. Правые собственные векторы, соответ- 3 еэ ег ствующие Л„, являются полиномамн степени г от переменных Ее (!) = ~г и<о)ю', = с, (т) = 2, 3, ..., р), поскольку можно выбрать и(е) = 6, . й 8. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ Мы можем теперь, используя теорему 7.1, дать вероятностную трактовку собственным значениям я-г м-г «о фф пэпе т пр ~ 5 и рээтожоэпо 1 (5) !1 (5)1 "р = Ю н коэффицивит при 5 в розлажацик ) (5) и соответствующим собственным векторам матрицы переходных вероятностей (7.1), которая описывает процесс размножения р типов индивидуумов в отсутствие мутации. Напомним, что в этом !г+р — 2) случае собственное значение Л, имеет кратность ~ ).
г Начнем обсуждение со случая р = 2. В этом случае все собственные значения, отличные от Лр = Л~ = 1, имеют кратность 1, э' В. Вероятностныб смысл собственных внанениб Из теоремы 6.3 мы знаем, что матрипа (7.1) диагонализируема. Используя множество попарно ортогональных собственных векторов, можно записать Р,',= Х Л,'ф,(г)ф,(!) где ф,— «-й правый собственный вектор, а ер„— г-й левый собственный вектор, упоминаемые в теореме 6.3.
(Здесь 1 — неотрицательное целое число, а ф, и ьйн попарно ортогональны.) Целесообразно выделить два члена в (8.2), соответствующих Лв = Л1 = 1. Получим Р'„фвЯяРв(!)+ф,(!)ф,(!)+ ~Лтф,(!)еР,()). (8.3) (8.4) Сумма в правой части (8.3) стремится к нулю при 1- оо, как Лет (Л,<1), Более того, из выРажений длЯ фв(/) и ф~(У) следУет, что при 0 < 1' < Ф первые два члена в правой части (8.3) равны нулю. Отсюда !чьО, У, ! 1 гп Ртп = фо (!) фо (!) + ф, (!) тР, (!) = и имеет место экспоненциальная сходимость (с параметром Яа)'), т. е.
Лв — «скорость приближения к гомозиготному состоянию», Аналогично вероятность того, что система не находится в гомозиготном состоянии (О или тт), имеет порядок Ле при 1- оо. Далее, так как Лз < Лм то (8.6) Легко показать, что фе(() Ф 0 при 0 <1< У. В самом деле, в противном случае было бы фв(с) = — 0 при 0 <1 < Ат. Но всегда ф,(0) = 0 = фе(Ат), поскольку фе ортогонален фо и фь Таким образом, фе(1) и 0 при 0 <т' <М, что невозможно, поскольку ф,— собственный вектор, соответствующий значению Ле. ') То есть (РП вЂ” фо(Офо(/)+ф1(Г) ф~(/)~ Ле.-ПРим.
пеРев. Из соотношений (6.18) и (6.19) имеем Фо ()) = бо! Ф (Я) = бн) Лт — ! г фв(Е) =, ф, (Е) = у. О, Лт — г М ! М ' т =фи(!)Фе()') г', 1МО, Ж. Р'„ т-»" Ле 1 = О* (8.6) 1= Ат, 448 То !3. ! соспысскос о экологочссаос огояссгм (!ормалнзуя гое так, чтобы гго(1о) > 0 при некотором (о, мы заключаем, используя (8.6), что )и(!) )~ О, 0 < у < Л~. Мы утверждаем, что зре(!) Ф О, 0 < ! < Ф. Доказагельство аналогично уже использованному при выводе утверждения, что грз(г) Ф О. Мы докам — ! зази, что ~ фйа(!)>О. Можно показать, что ~;з(/) > О, 0 - 1 < У. 1=.
~ В самом деле, поскольку 0 < аоа,а (где )(з) .=- ~„позо), то переходные состояния Т = (1, 2... М вЂ” 1) все сообщающиеся, т. е, начиная нз любого состояния из Т возможно (с полол нтель. ной нероятностюо) достичь любого другого состояния нз Т. Огсюда следует, что показатель, с которым Рп стремится к пулю (при г - оо, й 1'е= Т), не зависит от выбора ( н 1' в ?'. (Читателю предла~ ается строго доказать это.) Мы уже доказали, что при некоторых ! = (о и / = )о ггз((о)гггг(!о) > О 1!о Р',, — А.(<р,(1) ~р, Ц), г', /я Т. Следовательно, сгз(1) фе(!) > 0 при всех й ) г== Т, откуда полу. чается, что грз(г) не меняет знака при ~ ~ Т. Это же справедливо для ~ре(!), ! е= 7'. Мы условились, что после нормализации гм(!) > О при всех ! ~ Т.
Заметим, что ~ро(0) < 0 и ~рз(й1) < О, поскольку вектор ~рз ортогонален гро и ~рь Из соотношения (8.6) можно теперь получить, что предельное условное распределение состояния 1 при условии. что / чь О, У, равно г) (О (8.7) У вЂ” 1 Ф 0) г=! Обратимся теперь к вероятностной интерпретации собственных значений и векторов в случае цепи Маркова для трех типов индивидуумов, матрица переходных вероятностей которой задается соотношением (7.23) прн Р = 3. Обозначим симплекс в пространстве состояний через Лз, а его ребра — через Еь Е, и Е,, т. е, Ло — (1 — (го гм го) 1 0 ~ )О, го Ъ О, гз ~ )О, го + ге + гз == гт7, г,— целые числа' а Е„состоит из всевозможных векторов 1 еп Лз, для которых (а = 0 (й =- 1, 2, 3). Кратность собственного значения )., равна ( ' )=~ )=- г+ р — 2 ~ г с+1 1 ) =- г+!.
Запишем соответствующие правые н лег г вые собственные векторы в виде а,„=а,„((ь г'„7з), (1,о=-Р„с(гь гс, (з), Уг=О, 1, ..., г-, (8,8) з' д Неровтностный смысл собственных внонений где (сь !зь св) — компоненты векторов; здесь всюду сь сь !в)~0, с', + ю', + св = тт', Векторы (8.8) в силу построения попарно ортого. иальны. Заметим, что собственное значение 1 = Хо = Лс имеет крат- ность 3 (то — однократный корень и Хс — двукратный), как и сле- довало ожидать, поскольку существует три поглощающих состоя- ния (тт', О, 0), (О, тт', 0) и (О, О, тУ). Левые собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, совпадают соответ- ственно со стационарными распределениями каждого нз возврат- ных классов и, следовательно, имеют вид ~ 1, если с',=У, 1 (1)= 1 0 в противном случае, ~ 1, если се-Лт, высо(!) = 1 0 в противном случае, ~ 1, если се=71', рп (!) = 1 0 в противном случае.
Соответствующие правые собственные векторы (они являются линейными функциями от 1), которые попарно ортогональны с (рос, р1о, Д~ 1), равны соответственно поо(1) = —,', а~о(!) = у > ап (1) = у. О левых собственных векторах можно сказать больше. Заме- тим, что если начальное состояние цепи Маркова принадлежит ребру Еь то все последующие состояния также принадлежат Еь Интуитивно это очевидно, поскольку принадлежность начального состояния ребру Е, означает, что индивидуумы типа 1 отсутствуют и не могут быть произведены с помощью индивидуумов типа 2 и 3. Непосредственной проверкой нетрудно найти, что в матрице пере. ходных вероятностей (7.23) Рс !— - О, если 1еи Еь ! ЯЕн (8.9) Более того, если и ! и ) принадлежат Еь то матрица 1Рс >'й сводится к матрице цепи Маркова для индивидуумов двух типов 2 и 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
