3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Наша цель теперь — доказать формулу (6.6) для всех т. Для этого продифферепцируем (6.4) еще раз по з: Сн (з) = ~~МРО '))' (( — 1)! 5( ' = )=О М-1 коэффициент прн и в разложении (1 (1 — 1) 1 (510) Ц (5и) ) 0)) (и) + Ц (си) 1 (503) и)'' (со)) лг и коэффициент прн и в разложении ) (01) Положим 5= 1, тогда У СнЯ = ~ Р1) ')(И вЂ” !)1 = 1-0 коэффициент при и в разложении 1((1 — )) 1 (и) (!'(и) ) +(1 (и) )а(и)) коэффициент при и в разложении с (оз) гч Ф Пусть коэффициевт при и в разложении 1 (и) (1 (с0) ) М-2 гг-2 2 Л2 коэффициент при и в разложениэ 1 (и) и гч Тогда ~ Р;; 1! (1' — 1)3 = Л2 [((1 — 1)) + ге„с' =- О, 1, ..., 111, О где М-2 Н-1 г коэффициент при и "в разложении Р (и) 1' (и) В2 коэффициент прн 10 в разложении ) (и) гч -Х Таким образом, ~х'.1 Р;;)' = Л21' + (полином степени ( 1 по 1). / О Следовательно, нами установлена формула ~:1 РО)' = Л,с' + Ит 1 (1), (-а 1=0,!,...,У, где и„1( ° ) — полином степени ( т — 1, по крайней мере для г = О, 1, 2.
В действительности же справедлив следующий более общий результат. й б. Собственные значения цеиеб Маркова 43! Теорем а 61. Пусть )о = 1, У-с Н-т к коэффипиеит при и и рззложеиии 1 (а) !Т (а)! (6.7) коэффипиеит при а з разложении 1 (а) н Я т=1,2, ..., йс. Тогда ~ Рп)' = Л,,1'+ и,, (1), у-о (6.8) где ит ~(1) — полиноти степени ( т — 1 по 1, т О, 1...,, У.
(Условиллся, нто полином степени — 1 есть тождественньлй нуль.) Доказательство. Если продифференцировать (6.3) й раз, левая часть примет впд П'м(з) = 1 Р1[1'(1' — 1) "0-й+1))а' '- у-о = Х Рм[1" + оь,(1)]з!-», С-о (6.9) где он з( ) — полином степени ( А — 1. Если продифференцировать 1т(га)1"-т(а) в правой части й раз по з, то получим — [[т(за)Г '(а)) = [" '(а) — у'(за)) = ~п лз лвя ,1 и = [с' (с' — ! ) ... (1 — й + 1)) [' ь (за) ([' (за) )" [н ' (а) а' + + остальные члены. (6.10) '(за)1н с(а)(1п(за)) '[1 (за)) ' .. при некотором 0 (1-( й и т. д.
Первый член появляется при последовательном дифференцировании 1т(за) А раз. Оставшиеся члены возникают при дифференцировании других сомножителей, таких, как 1'(за), 1"(аа) и т. д., которые появляются в процессе дифференцирования исходного выражения. Степени этих возникающих сомножителей не зависят от 1. Это означает, что результат указанных операций дифференцирования есть линейная комбинация различных степеней 1, коэффициенты которой содержат в качестве сомножителей максимум й — ! из чисел 1, 1 — 1, 1 — 2, ..., 1 — й + 1, т. е. коэффициенты являются полиномами степени не выше й — ! по отношению к переменной 1.
Каждое слагаемое второго члена выражения (6.!0) зависит от 1 через выражение вила Гл. И Гекетпкескпе и экологическое процессы 432 Группируя члены в равенстве (6.10), получим — (Р(за)~" с(в)) = !ой' "(зв) [Е'(за)!~ЕЯ '(а) в'+ во,(с'; )), (6.!!) ,Е о где ио 1(Е; Е) — полинам от переменной Е степени не выше й — 1 при в = 1. Фактически при з = 1 степени члена Е'-'(~оэ)(пс с(сп) складываются, и зависимость от Е сохраняется лишь в коэффициентах при Ев '(а). Предположим, что равенство (6.8) доказано для всех степеней (г — 1. Тогда в силу гипотезы индукции О!с! (1) = ~ РОЕ'+ ~ Рмо,, (Е) = ~ Рм)'+ сз,, (Е), (6.12) Е-о Е"о Е=-о где о„, ( ) и Рс, (.) — полиномы степеней не выше г — 1.
В силу (6.11) М вца кпзффициеиз прп в и ризлписепии [ — с! (эв) Е (в)) а!с!(1) кпзффициеиз ири в и рззлпжепии Е (в! =Е'Л, + и,, (с). (6.!3) Сравнивая (6.12) и (6.13), видим, что утверждение индукпнн выполняется и для г. Это завершает доказательство формулы (6.8). 42 Докажем теперь основную теорему данного параграфа, которая раскрывает природу собственных значений матрицы Р. Теорем а 6.2. (1) Собственными значениями лсатрисЕос Р яв- ляются числа Ло, Ль..., Лго определяелсые равенством (6.7). Бо гее того, (2) числа Л; удовлетворяют соотношению ! = Ло = Хч > Ло >... > Ли > О, если а,а,ап > О, где Е'(з) = ~ а„з", п=о Доказательство. (1) Введем базис из Лз + 1 зэекторов размерности сч' + 1: и„= (п,(0), и„(!), ..., п,(М)), г = О, 1, ..., Езз, где п„(х) = х".
Эти векторы, очевидно, линейно независимы, поскольку в противном случае мы могли бы построить полипом Л'-й степени, имеющий Еп'+! корней, что невозможно. Найдем теперь вид матрицы Р в специально выбранном базисе (по, пь ..., лп). Понятно, что Е-й столбец матрипы Р состонг из коэффициентов вектора Рл„который представлен в виде линейной комбинации векторов (л ),' 433 6 6. Собетвенначе значении цепей Маркова 11з соотношения (6.8) следует, что матрица Р в иовом базисе имеет вид о О )и 0 Лч О О 0 0 0 0 0 0 где элементы, обозначенные:.:, соответствуют полииому и,.| в (6 8). Таким образом, матрица Р, представленная в новом базисе, является треугольной и ее собственные значения, очевидно, равны 1 = Ло, )о, ..., лк Поскольку собственные значения инвариантны относительно выбора базиса, доказательство пункта (1) закопчено.
(2) Заметим, что для любого степенного ряда я(ео) =- ° с то вч чв.=а коэффициент при ечззт. очевидно, равен р ' [коэффициент при оччз-' в разложении и'(в)). Полагая М = У вЂ” г и п(ео) = [и '(в) (['(ео) )', получим коэффициент при а' ' в разложении [1н т(а)(1'(в))') =- = — [коэффициент при вн ' ' в разложении М вЂ” т 1(М вЂ” г) 1 (а) ([' (а) ) + г( (в) (1' (в) ) [н (ео)И =- =коэффициент при вч ' ' в разложении ~ ['-'-'( ) ([ (.»"'+ —,", ~'-'( )([ ( ) )'-' [и(-) ~. Если разделить обе части иа коэффициент при в" в разложении [" (в), то, вспоминая определение Л„, получим соотношение коэффвпиевт при в в разчояевип )Лт 1 (в) 0 (оз)) 1 1оз)~ Лт — т Л,=Л, + М Ю иоэф4ипвепт при в в разловевии 1 (в) г < )в' — 1.
(6.14) При г = 0 второе слагаемое в правой части, очевидно, равно О, таким образом, 1 = Ло = Ль Поскольку,1(в) — вероятностная производящая функция, то ее коэффициенты пеотрнцательны. Следовательно, коэффициент при чом '-' в разложении 1" (в)(зе "(в) [)'(ео)]т — ' пеотрицателен, так что Гл. И Генетиеескне и экологиыеские процессы всегда )„)~ Х,+ь Из предположения о зом, что аеа,аэ > О, непосредственно вытекает, что второе слагаемое в (6.14) положительно при т > О.
(На самом деле достаточны гораздо более слабые предположения.) Поэтому Х„> Х„ы (т)~ 1), что и требовалось доказать. аа Из теоремы 6.2 известны все собственные значения матрицы (6.2), В предположениях пункта (2), т. е, аеа,ат > О, где 1(з) = ~э а„в", а 0 собственные значения и, < 1, г = 2, 3, ..., ге', все различны. Обратимся теперь к задаче описания собственных векторов, соответствующих этим собственным значениям. Мы уже показали, что собственному значению 1 = Ле = л, соответствует пара правых собственных векторов е = (1, 1, 1, ..., 1) и и = (О, 1, 2, ..., гэг). Интуитивно более привлекательна пара векторов, являющихся линейной комбинацией указанных, а именно (1, —, ..., —,, 0) = е — — н (О, — „, —,,, ..., 1= — ) = —,.
Для компонент векторов, представленных в такой форме, можно дать вероятносзную интерпретацию (см. з 2 гл. 4). Анализ выражения для РО показывает, что матрица Р имеет вид 100...0 , 0 0 0 ... 1 ~ откуда с очевидностью следует, что 0 и ге' — поглощающие состоя. ния, Более того, из предположения о том, что 0 < а, < 1, следуег, что 0 и Ф достижимы за один переход из каждого состояния (1, 2, ..., У вЂ” 1) с положительной вероятностью. Следовательно, 0 и У вЂ” единственные поглощающие состояния. Следующая теорема характеризует правые собственныс векторы, соответствующие собственным значениям Х„(т = 2, 3, ..., гУ).
Теорем а 6.3. Существуют полиномы Я,(х) степени с, для которсях Р!4„= т.,!4,. (Вектор ьт„равен Я„(0), Я„(1), ..., Я„(Ц).) й б. Сойегвеннме внанення целей Маркова 435 Доказательство. Теорема уже доказана при г = О, 1. Если г ) 1, мы знаем, что ~ Р01' = Л,г'+ Н„, (1), /=0 где Н„1( ) — полином степени <г — 1.
Выберем Я„.н, Ц) в виде Я,„.,Ц)=1'+'+а!'+ае1" '+ ... +а„е, Ц=О, 1, ..., У), где постоянные аь аь ..., а„яа нужно подобрать. Необходимо вы- брать (а„) так, чтобы соотношение ~ РЯ,я., Ц) = (Л,„,ю'+ + Н„(1))+ а, (Л„г + Н„, (1))+ !-о + аз (Л„,ю' '+ Не в(1))+ ... = Л,ей',1, „(1) = выполнялось при всех й Приравнивая коэффициенты при Р в обеих частях равенства, получим условие а,Л,+, — — а,Л, + известная часть Н,(1). (6.16) Поскольку Л,е, < Л, при г)~ 1, можно найти такое число аь чтобы равенство (6.16) удовлетворялось, Затем, приравнивая коэффициенты при Р-' в обеих частях (6.15) и используя то обстоятельство, что а1 известно, получим соотношение вида (6.17) ааЛ„, + известный член = а,Л,е, Найдем а, нз (6.17). Это возможно, поскольку Л„к., < Л„ь Продолжая процедуру таким же образом, можно вычислить последовательно все коэффициенты ам ао ..., а„„1 так, чтобы (6.15) выполнялось тождественно по О ° ! 2 ейо=(! 1 — —,! — —, ..., 0) длЯ Ля — — 1, (, ! 2 чц=-(0,~,~, ..., 1) для Л, =1, гЬ =(9,(0), Я„(!), ..., Я,(Н)) для Л„г=2,, У, (6.18) где Я„(х) — полипом, определенный в теореме 6,3.
Вышеприведенное построение доказывает существование полного базиса из собственных векторов специально~о вида (т. е. полученных с помощью полиномов). Из теории матриц (см. стр. 505) следует, что существует полная система левых собственных векторов.
Предположим, что мы эаписалн правые собственные векторы в следующем порядке: Гл. И. Гпигнягглиг и зкологоиегкпе праигггж Обозначим биортогональну!о систему левых собствеппь1л векторов через Ч!о = (1, О, О, ..., О, 0) для Лп = 1, Ф = (О, О, О, ..., О, 1) для )ч = 1, Г6.19) Ч'г = ГЧ'г(0) Ч' (1), т[ь ГА')) для л„г =-2, По-видимом), доволш!о тРУдпо выйазнть ггг и Чз в зал!кн)том в!!дс. Тем нс менее Чь может быть в принципе вычислен рекуррснтно (фактически с помощью того же метода, который использовался прп доказательстве теоремы 6.3). Для пычисления з[ь та!оке можно предложить рекуррентпый метод. Можно доказать, что компоненты вектора Ч„име!от вид э[з,(1) = [, )( — 1)'ДР г(г), 1=0, 1, 2, ..., Аг, ГДЕ )Хи,( ) — ПОЛИПОМ СТЕПЕНИ РГ, КОтОРЫй МОЖНО найти РЕКУРРЕптным образом.
Мы завершим параграф несколькими конкретными прпмерамп. и р и м е р ы. (А) Г(тр) = алел ". тогда при г) 1 и- гр-г г коэффициепт прп оз в рэзложенки [ йо) ([ Гез) ) Л' ;и коэффициент п1зн оз в рззложеипи,' Гоз) Я-г з. (М-Н аз-Н г гх1ж-П коэф4 ициеит при М' в рэзложеиип и ' Ле ЛГ ЛУ(ж-П коэффициепт при ез в резложеиии и л' [Гллг) и-'/Глг — г) !] лч [(ЛМ)м[И] [М-г)~ ~ (Б) [(з) =-(1 — Р+ рз)', у — целое число > 1, и-г Г КЛ - г! [ )т ']' коэффициент прп оз в рззложежгп (1 — Р+ Рте) ' [ур (1 Р+ Рго) ] коэффициент прп оз в рээложепии (1 — Р+ Рей Лг зи .(Л)у — г)(Л'у) ' (В) [(з)=[(1 — р)Г(1 — Рз)]', а>О, У-г коэффициеит при оз в рззложеоии Л [(1 — р)[[1 — роз)[о'и г [Гар (1 — р)п)[Г! — Рго)ое ']г % ам козффициеит прк э в рэзложеиии [(1 — Р)!Г! Роз)! аи г г и-г омоет (1 — Р) Гцр) "[каэффициеит при оз в оззложеоки [1Д) — Рм]! (1 — )э) 1коэффш!иеит прэ оз в рзззожении [1[(1 РФ)1 ар! г и им 1 г ( — агт' — г ) ( — а У ~ ', 1а У Ф Лг — 1) ['айг + Гт' — 1 ) у 7 Содетвенные значения дяя .згоде,ги антачии Значение ).г для этих частных случаев представляет интерес, поскольку оно характеризует скорость приближения системы к поглощающему состоянию нли, в генетической терминологии, скорость приближения к гомозиготному состоянию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
