Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 115
Текст из файла (страница 115)
и что является точным решением. Условие С =1 является также границей устойчивости, (Б.З) ') Это приложение основано на работе Роуча (197!в) с некоторыми разъяснениями Уормннга н Хьетта [1974). Последняя работа является наиболее авторитетным источником по рассматриваемому вопросу. При и ) 0 схема с конечными разностями против потока, примененная к уравнению (Б.1), дает следующее конечно-разностное уравнение; (Ц+' — 1";)(йу = — и !(1", — Ц,)/Лх) 51б Прч.>отгппг Б Об пг касс>сенной схгико>1 вязкости П!ззз С = 1 с>ими ппо,пш пскусствецпое схемпое затухание; прп этом ппалпз уггоп п>восгп и > фоп 1!сймаиу дасг, что собствсциыс зишюипя магршцз перехода [) [ е: 1. Любая с:сма, для которой !) 1.: ' 1, вводи г по,гоби зе пг>кусспзенпое схемиое затухагзпе. Ризл»жеп>ге в ряд Тейлора, пспольззсмое в аиализе устойчивою и по Хсргу [1968], »г>каз>л>чегет, что схема (Б.З) соответствует следу>ощипу уравпеппю и >асг>зь>х производных: ,", =- — и „+ (ге Лхз'2),"„, — >,'а Аг,"и+ 0 (Лхз Л)з) (Б и Величина чО>, входящая в уравпеипе (Бг[), обычно находится при помощи уравнения (Б.
1) и для и = сопя! имеет вид ') Ьгг = иьгзг = и (Ьг) = и~ь (Б.5) Подставляя выражение (!з.5) в уравпеиие (Б.4), получаем ЬГ = — Гз"Ьх+ ае'„+ 0 (ЛХ', Л)З), (Б.6) где и, =- и Лх)2 — из Л)/2 = >/т и Лх (! — С). (Б.7) Поскольку здесь вводится це имеющий физического смысла коэффициеит зх, при дзьь/дхз, мы вправе говорить пе только об пскусствепиом затухании, по — более конкретно — об искусствеппой схемпои, пли чпслениой, диффузии либо об схемиой, или численной, вязкости схемы. (Херт [19681 успешно использует условие сск ) О в качестве необходимого условия устойчивости). При С =- 1 из соотиошеипя (Б.7) следует, что гх, = О; этот результат согласуется с тем, что при С = 1 схема (Б.З) дает точное решение.
Нестационарный и стационарный анализ схемы с конечными разностями против потока Приведенный выше анализ применялся миогпми авторами для описания искусственной вязкости различпых схем, и получеииые при этом результаты, как широко призвано, могут быть использованы в многомерных задачах и при иаличии членов с физической вязкостью, и при их отсутствии. Однако в многомсриых задачах о стициоиарпых течениях вязкой жидкости интерпретация величипы аа пе так проста, как это может показаться.
8)то впдио узко из соотношения (Б.7), которое показывает, что схс зависит от Л1 через число )хуранта С. Рассмотрим ') Здесь можно применять уравиеиис (Б. 1), ие опасаясь висстп ошибку в козфф>п испт пгкуссп>еппой схемкой вязкости. Одиако более строгим было бы повторпос дпз!крерсииззроваипс уравиеипя (Б. 3) в предположении, что меж зу узловы>п> точками фупкиия Г, дпфферспиирусма оужпос .шсло раз. Как показали Уорьоии и Хьстт [19741, имсвпо такая проиедура дает правильпуш пвформапиго о поведеввп производиых высшего порядка.
Приложение Б. Об искусственной скемной вязкости 61т задачу, в которой достигается стационарное состояние, т. с. ~",.е'=~" ,'). И сама конечно-разностная схема (Б.2), и весь опыт расчетов многомерных задач по схеме конечных разностей против потока показывают, что изменение Л( не дотжно влиять на стационарное решение. Однако соотношение (Б.7) указывает, что прн уменьшении Лу величина а, увеличивается (через посредство С). Если концепция схемной вязкости имеет право иа существование, то решение конечно-разностного уравнения, казалось бы, должно зависеть от а„однако мы знаем, что можно изменять а„меняя Лй а стационарное решение при этом не будет меняться. Вместо приведенного выше анализа нестацнонарного уравнения можно изучать влияние а„ предполагая, что стационарное состояние существует.
Полагая в уравнении (Б.2) = Ц и разлагая в ряд Тейлора, получаем выражение для ае при стационарном анализе (которое мы обозначаем через а„): а„= Чзи Лх. (Б.8) При таком определении аее Фу(Л1) и независимость стационарного решения от Лу не вызывает сомнений. Разрешение парадокса о двух различных способах определения величины а, по формулам (Б.7) и (Б.8) легко следует нз того, что для модельного уравнения прн отсутствии вязкости единственным возможным стационарным решением с и = сопз1 является тривиальное решение ь",=~",=сопз1. В этом случас дз~/дхз =О, что допускает произвольные значения величины а,.
Однако возникает вопрос о том, какой из двух вариантов анализа (или нн один из ннх) применим к задачам с диффузионными членами, к многомерным задачам н к задачам с непостоянной скоростью и конвекции. На этот вопрос можно легко дать недвусмысленный ответ, добавив в уравнение (Б.1) диффузионный член с физическим коэффициентом диффузии а: 1, = — иск+ а~„„.
(Б.9) Представляя конвективный член конечными разностями против потока, временнбй член — конечными разностями вперед по времени, а диффузионный члсн — центральными разностями, получаем тьле1 ьтн С (ген тек ) + и (тьл 2еьн 1 ьтн ) (Б 1О) где с(= аЛ1/Лхз. Стационарный анализ уравнения (Б.9) дает О = — иеьл + (а + а ее) ~к к + О (Лхз), (Б.11) '1 Не будем здесь усложнять изложение обсуждением критериев итера.
ивонной сходимости. 818 Приложение Б. Об вскусственноб схемкой вевкости где а„ снова определяется по формуле (Б.8), результат же иестационарного анализа изменится, поскольку теперь соотношение (Б.5) должно быть заменено следующим: 1и =( — иьх+ аьхх), = и'ь„— 2иаьхх„+ а ьх„хх, (Б.12) и тогда вместо соотношения (Б.б) будем иметь ~~ = — иь„+ (а+ а,) ь„„+ 0(Лх', Л1е)+ ПВП, (Б.13) где через ПВП обозначены члены с производными высшего порядка ПВП = Л! [иа4,„„— (ае/2) !» ], (Б.14) а а, опять определяется по формуле (Б.7). Херт [!968] отбрасывает члены ПВП и после этого успешно исследует устойчивость решения нестационарной задачи, однако поскольку нас интересует а„соответствующее стационарному решению, мы вынуждены сохранить члены ПВП.
Для любого стационарного решения из уравнения (Б.9) следует ~хххк = (и/а) ~ххх (и/а)е 1,хк = (и/а)е ~к. (Б.15) Применим соотношения (Б.15), справедливые для стационарного состояния, к результатам нестационарного анализа. Считая решение уравнения (Б.13) стационарным, учитывая (Б.14) и (Б.15) и подставляя в (Б.!3) выражение (Б.7) для а„полу- чаем О = — и~„+ а~„, + (и Лх/2) ~„„— (ие Л1/2) ~,„+ + Л1иа (и/а) Ьхх — Л! (а'/2) (и/а)е Ьхх + 0 (Лх', ЛР), (Б.16) О= — иьх+ (а+ а„) ~хе+ 0(Лх', ЛР), (Б,!7) О = — (и — и„) 1„+ аГх„+ 0(Лхе), и„а„и/а = Чти' Лх/а, (Б.18) где (Б.!9) где а,е оиределяется по формуле (Б.8). Отсюда становится ясно, что хотя величина а„даваемая выражением (Б.7), и пригодна для анализа устойчивости по Херту, однако определенный выражением (Б.8) коэффициент а„соответствует достижению стационарного состояния даже при нестационарном анализе.
Можно показать, что последнее из соотношений (Б.!5) можно использовать для исключения аееЬкк из соотношения (Б.11), что приводит к выводу о наличии в схеме не искусственной схемной вязкости, а искусственной схемной скорости конвекции и„, именно Прссяоисение Б. Об искусственной стенной вязкости Однако член с искусственной схемной скоростью в равенстве (Б.!8) все жс следует интерпретировать как член, вносящий эффект искусственной вязкости, даже если член а„ь, отсутствует.
Стационарное решение определяется не значениями и н и по отдельности, а нх отношением и/а с учетом граничных условий. Прн соответствующем выборе характерного линейного размера задачи для приведения уравнения к безразмерному виду отношение и/а есть не что иное, как число Рейнольдса, Поэтому влияние искусственной схемной вязкости сводится просто к уменьшени1о эффективного значения числа Рейпольдса и/а.
В соотношении (Б.11) влияние схемной вязкости выражается в искусственном увеличении а, что влечет за собой уменьшение величины и/а до и/(а + сс„). В соотно1иснии (Б.!8) влияние схемной вязкости выражается в искусственном уменьшении величины и, причем и/а уменьшается до (и — и„)/а. Таким образом, и величина а„в (Б.11), и величина и„в (Б.18) уменьшают эффективное значение числа Рейнольдса и, следовательно, создают эффект искусственной вязкости. В действительности обоим этим вариантам анализа присуща некая количественная неопределенность, обусловленная применением соотношений (Б.15) к конечно-разностным уравнениям, в то время как опн, строго говоря, применимы лишь к дифференциальным уравнениям.
В соотношение (Б.11) входит коэф- фициент и и / 1 а+ аее а к. 1 + '/еи Лх/а ) ' (Б,20) а в соотношение (Б.18) — коэффициент (и — и„)/а = (и/а) (1 — '/за Лх/а). (Б.21) Однако поскольку 1/(1+ а) 1 — е+ 0(ае), коэффициенты (Б.20) н (Б.21) для оценки влияния схсмной вязкости равноценны с точностью до ошибки аппроксимации Лх' при условии, что '/,и Лх/а « 1, (Б.22) Очевидно, что это условие выполняется прн Лх-еб, н в этом случае соотношения (Б.15) можно применять к конечно-разностным уравнениям. (Условие (Б.22) является известным условием обеспечения формальной точности схемы конечных разностей против потока, требующим, чтобы сеточное число Рейпольдса иЛх/а было существенно меньше 2.) Аналогично, соотношение (Б.15) вполне законно может быть использовано в равенстве (Б.11) для представления ошибки аппроксимации первого порядка членом ~„,„с соответствующим о20 Прилоисение Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
