Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Об искусственной схемкой вязкости (Б.23~ или ь (О) = а, ь (1) = Ь, (Б. 24) то стационарное решение будет иметь вид ~ (х) = О -1- Сеехити (Б.25) причем С, Ф О, Это решение дает отличные от нуля значения всех производных по пространственным переменным. В отличие от ситуации, имевшей место при рассмотрении уравнения для невязкой жидкости, в этом случае разница между величиной а„ определяемой выражением (Б.7), и величиной а... определяемой выражением (Б.8), весьма существенна. Для многомерных задач с нелинейными коэффициентами в уравнениях стационарный и нестационарный анализ проводятся уже не так просто.
В обоих случаях получаются различные значения ие илн а„для различных направлений (они даются выражениями, аналогичными (Б.7) илн (Б.8)). Однако нестационарная форма се„даваемая выражением (Б.7), получена с помощью соотношений (Б.б), неприменимых в многомерных н/или нелинейных задачах. Кроме того, из многомерного нестационарного анализа следует, что стационарное решение, полученное по схеме конечных разностей против потока, зависит от М, а это противоречит практике расчетов, Таким образом, для многомерных нелинейных стационарных задач, по-видимому, применйм лишь стационарный анализ.
Нестационарный и стационарный анализ других схем В табл. 1 приведены результаты стационарного и нестационарного анализа искусственной вязкости различных схем при. менительно к модельному уравнению (Б.1) для невязкой жидкости. Стационарные результаты для этого уравнения идентичны аналогичным результатам для уравнения (Б.9) с учетом вязкости при использовании для представления вязкого члена любой из известных схем второго порядка точности с центральными разностями, а именно: схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным коэффициентом.
Однако ввиду того что подобный член в исходном дифференциальном уравнении отсутствует, такая процедура сама по себе не приведет к плодотворной физической интерпретации поведения решений конечно-разностных уравнений. Следует также отметить, что если рассматриваемые задачи имеют граничные условия вида ~(0)=а, Ь„(1) Ь Таблица ! Коэффициенты схемной искусственной вязкости, полученные при нестационарном и стационарном анализе Различных конечно-Разностиых схем, пРнмененных дла УРавнениЯ Ьг = — ийл пйи С = и Ьй/Дх ошибки екирокси"ез меции Несгзциоизриый еизлиз, ае Название схемм Конечно-резностное уравнение и Ьх/2 !.
Конечные разности против потока -Ь! ! л 2ч'+' (Ахти Ь/)) (1 — Се) Дхз/(2 Д!) . О (ДС дх', Дхз/Д/) В. Схема Лакса 2(1+' итД!/2, илн 0 О(Д/з, Ьх') 4. Схема Лейта е) + — (ь 1 — 2ь +ь1 1) 5. Схема А4ацуно б) йлог йл (йл ул ) их д/ о(до ь ') гиле! Ьгл (~от! гилн-1) з1 Анилогичиые результаты имеют место лл» схем Лексе — Вендроффз, Моретти, Мек-Кормике и друхшзгоеой схемы Лексе — Веидроф з. $' ) Аналогичные результеты имеют место или схем Вренлоеской и Чена — Аллена. 2. Разности вперед по времени и центральные разности по пространственным пере- менным (и Ьх/2) (! — С) — (и' Ь//2) О (ду, дх) О (ЬС Дх') Плозоееенне Б Об нснясстеенноб схетнноб онзности переменным, полностью неявной схемы, неявной схемы чередую- шихся направлений, схем Чена — Аллена, Крокко, Саульева, Адамса — Бэшфорта и др. При и = сопя( схема с разностями против потока эквивалентна схеме с донорнымн ячейками (см.
Джентри с соавторами [1966]) или второй схеме с разностями против потока, в которой на сторонах ячеек используются осредненные по ячейкам скорости переноса. И при нестацнонарном анализе, и при стационарном аналпзе при С ~ 1 в этой схеме имеется ненулевая искусственная вязкость. Схема с разностями вперед по времени и цептральнымн разностями по пространственным переменным в отсутствие физических вязких членов неустойчива и соответственно при нестационарном анализе в ней се, ( О (см. Херт [1968]). В схеме Лакса (Лаке [1954]), которая широко применяется и теперь, в случае С ( 1 в обоих вариантах анализа также имеешься ненулевая искусственная вязкость. Очень важную роль играет схема Лейта (Лейт [1965]; см.
также Нох н Проттер [1963]). Она основана на разложении уравнения (Б.!) в ряд Тейлора по времени до второго порядка включительно. Для модельного уравнения (Б.!) схема Лейта алгебраически эквнваленгна другим схемам, в которых применяется разложение в ряд Тейлора по времени до второго порядка, например схемам Лакса — Вендроффа (Лаке и Вендрофф [1960]), Моретти (см, Моретти и Аббетт [1966]), МакКормака (Мак-Кормак [1969, 1971]), Рихтмайера (Рихтмайер [1963]) и другим двухшаговым схемам Лакса — Вендроффа. Схема Лейта входит также в схему с нулевой средней фазовой ошибкой, предложенную Фроммом (Фромм [1968]), а при некоторых частных комбинациях параметров эквивалентна даже схеме Русанова (Русанов [196!]).
Знаменательно, что в схеме Лейта равенство осе =О появляется только в нестационарном анализе. В стационарном анализе ае* — — '/,и'ЛА откуда следует, что а„= О только при Л1- О. Эта схема алгебраически эквивалентна схеме с разностямн вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, записанной для уравнения (Б.9) с физическим коэффициентом вязкости а = = '/еи'Лй Однако если для этого коэффициента подсчитать «искусственное» сеточное число Рейнольдса Ке„ = иЛх/ион то получим Весе = 2/С.
Поскольку для устойчивости необходимо С ( 1, при этом всегда необходимо выполняется неравенство Ке„ ) 2. Как показано в равд. 3.3.8, подобные решения немонотонны и поэтому не моделирую~ течений вязкой жидкости. Анализ показывает, что схемная вязкость вводится правильно, если к разностпому уравнению без учета вязкости, записанному по схеме Лакса — Вендроффа, просто добави~ь физические вязкие члены и представить их конечными разностями вперед по Приложение Б. Об искусствеипой схемкой вязкости вез времени и центральными разностями по пространственным переменным.
Кроме того, в противоположность схеме конечных разностей против потока, в этом случае н сами конечпо-разностные уравнения и практика расчетов показывают, что стационарное решение будет зависеть от М. Двухшаговая схема Мацуно (см Лилли (1965)), используемая для конечно-разносгного представления конвектпвных членов, применялась также Браиловской (Браиловская (1965) ) для расчета течения сжимаемой жидкости с тем же самым представлением вязких членов, а также Ченом и Ал.теном (Чен и Аллен (1970)) с другим нредставлением вязких членов, что удачно позволило избежать добавочного ограничения на Ай имевшегося в схеме Браиловской.
На схеме Мацуно следует остановиться особо из-за дополнительной неопределенности в величине аее при стационарном анализе. Эту двухшаговую схему для уравнения (Б.1) можно записать в виде ~а'-1=:-и (С/2)(тп ~л ) ~пе! — ~п (С/2) (~п.н сл,'-! ) (Б.26а) (Б. 266) Величины с индексом и+ 1 являются предварительными или промежуточными значениями. Эту схему можно интерпретировать как итерационное приближение к полностью неявной схеме с одной итерацией. Для анализа устойчивости и искусственной вязкости (Б.26) можно переписать в виде одного уравнения ~п~-1 ~п (С(2) (~п ~п ) + (Се/4) (~п 2~п + ~п ) (Б 27) Схема (Б.27) эквивалентна двухшаговой схеме (Б.26) только для модельного уравнения (Б.1) во внутренних точках; наличие границ и нелинейных членов нарушает эту эквивалентность.
Последний член уравнения (Б.27) можно трактовать как обычное трехточечное конечно-разностное представление ад'с/дхз, записанное для сетки с шагом 2Лх вместо Лх, С учетом этой интерпретации стационарный анализ дал бы для а„, следующее выражение: аев =2иеМ. Однако на поведение решения этого уравнения неожиданным и благоприятным образом влияют члены более высокого порядка. Каждый из двух шагов (Б.26а) и (Б.26б) имеет одну и ту же операторную форму: ~л~-1 — птп ) 7 (птп) (Б.28а) тпы — тп+ т (,а.н) (Б.286) (Этим схема Мацуно отличается, например, от двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа.) Аллен п Чен [1970) отметили тот достойный внимания факт, что при достижении стационарного состояния не только ~""' = ~п, но и ","" =- ~", С учетом этого 524 При.винсенне Б.
Ой искусственной схемкой внэкости факта стационарный анализ для сх„может быть проведен на каждом шаге (Б.26) раздельно без привлечения уравнения (Б.27). В результате будем иметь а,. = 0 (так же, как и для схемы с конечными разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным). Этот вывод был проверен в настоящем исследовании на одномерных тестовых задачах, в которых получились стационарные решения, не зависяшие от Ы, в отличие от анализа уравнения (Б.27) и в отличие от схемы Лейта, Расчет двумерной задачи Для проверки возможности переноса результатов, полученных для одномерного модельного уравнения (Б.1), на двумерные уравнения гндродинамнки был проведен численный эксперимент с использованием программы Моретти (см.
Моретти и Блейх 1!968)) расчета обтекания затупленного тела невязкнм газом. Рассматривалось обтекание сферичсскн затупленного конуса с полууглом раствора 6' совершенным газом с показателем адиабаты у = 1.4 при числе Маха невозмущенного потока, равном 10. Программа осуществляет выделение ударной волны на криволинейной расчетной сетке, перестраиваюшейся по мере изменения решения во времени. Поскольку ударная волна в процессе расчета все время сохраняется как разрыв, представленные результаты не искажаются послескачковымн всплесками, характерными для методов сквозного счета, или размазывания скачка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
