Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Прп помощи метода фон Неймана исследовать схему па устойчивость в тех случаях, когда а) Е(ь)=— 2Лх ь,.+ — 2ь + ь б) (. (ь) = и Лх' Обозначим через ЛПбх и йт((йхз конечно.разностные выражения для производных со вторым порядком точности по значениям функции ( в узлах ( ~ 1, например б( ~ (!л! — (! ! Обозначим через бЯх и бт(Яхз конечно-разностпые выражения для производных, также имеющие второй порядок точности, но вычнсленные по зна- У~ (жа — (! Ьх~ Дх чениям функции в узловых точках ! щ '/т, например й( кроме того, = бх !-!гт Лх 3.!8.
Прямепяя метод фон Неймана, исследовать на устойчивость схему Саульева с одним направлением обхода точек для уравнения диффузии. 3.!9. Показать, что для того, чтобы избежать увеличения ошибок ндоль пространственной координаты в явной схеме метода чередующихся направлений с производными по диагонали для уравнения, описывающего копеек. цию при отсутствии вязкости, требуется выполнение условия )С( ( ! 3.20. Показать, что коэффициент схемной искусственной вязкости в схеме Фромма а одномерном стационарном случае вдвое меньше, чем этот же коэффициент в схеме Лейта. 3.21. Показать, что метод последовательной верхней релаксапин, иногда называемой экстраполированным методом Либмана, действительно является линейной эксграполяпией методз Либмана при ы = !.
'3.22. Экспериментально определить оптимальную величину параметра релаксации ы, дяя случая прямоугольной области с обратным уступом (см. рве. 3 22). Заметим, что величина ам будет зависеть от размеров области и величин шагов пространственной сетки Лх н Лу. 3.23. !зассмотреть следую~ций способ вычисления апхрн на стенке в точке ш. Внутри твердой стенки на расстоянии Лу от ее поверхности помещают фиктивную точку ю — ! и а ней полагают ф ~ = ф +ь Для аппроксимации уравнения Пуассона Чхф = ь.
используются центральные разности Показать, что этот способ арифметически эквивалентен применению для вычисления ь способа первого порядка точности. 3.24. Пусть заданы значения функции ( в точках сетки (ь (,еь Д т и т. д. Определим новые значения в узлах ! ~ '/з и т. д. при помощи осреднения; пт=(г!+ г )12. Задачи Показать, ч~а 6/ 6/ ~ а) бх ч бх !г 6/ 6/ 6"/ — 2— = О. бх' ч бх'; бх' б) ф=О (или иакая-лиоо другая постоянная) и дф/ди= О (илп 1 на «крышке»).
(а) (б) рассмотрим случай, когда Ке = 0 (течение Стокса). задачи ураинення сводятся к линейному бигармони- Чтобы упростить задачу Тогда для стационарной ческому уравнению )7'ф = О. (в) его на два уравнения Пуас- Решить бигармоническое уравнение, расщепляя сана: (72 ! Р»ь = О. (г) (д) Показать, что прн решении уравнения (г) можно ставить условие (а), а при решении уравнения (д) — услоние (б), но для уравнения (д) нельзя брать усчовие (а), так же как и условие (б) для решения уравнения (г). (См. равд. 3.3.2.) 3.28.
а) Решить на ЭВМ плоскучо задачу о течении в замкнутой прямо. угольной области с одной подвнжной границей. В качестве характерной скорости выбрать скорость «крышки». При числе Рейнольдса (се = 10 воспользоваться грубой сеткой с размерами шагов Лх = Ла = '/«, Применить ддя уравнения переноса вихря схему с разностями вперед по времени и централь.
3.25. Если сеточные значения функция / линейно ннтерполируются на сетку с вдвое меньшим размером шага, та величины первых производных 6//бх а узлах новой сетки, совпадающих с узлами старой сетки, остаются преж. ними, а величины вторых пронзив!!них 6»//бх«меняются (см. предыдущую за. дачу). Построить такую схему определения значений функции / на более мелкой сетке, чтобы 6»//бх»1ч =- 6»//бхз)ь Заметим, что, вообще говоря, требуется, чтобы !, Ф /, а 6//6х), Ф 6//бх)ь 3.28. Рассмотреть одномервую задачу для уравнения 6»//бх» = ч/ с граничными условиями Дирихле /(0) = О, /(1) = 1.
Применить конечно-рззностные формулы второго порядка точности, считая, что нижняя граница находится в точке 1 = з/». Тогда первое пз граничных условий /«1«= 0 аппроксимируется раиенством /1 = — /», где /1 берется в точке, расположевной «ниже» нижней границы. Взяв всего лвшь 3 или 4 узла, так чтобы можно быдо про. вести вычисления, нс прибегая к помощи ЭВМ, показать, что: а) применение ганой сетки приводит к ошибкам, связанным с нарушением ограниченности решения; при этом ф» ( О, чта невозможно для дифференциальных уравнений; б) результат будет иметь только первый порядок точности. Используя настольную иычислительиую машину пли небольшую программу для ЭВМ, можно проверить, что ошабка, связанная с нарушением ограниченности решения, продолжает существовать при Лх-»0.
3.27. Рассмотреть гидродинамическую задачу, в которой для уравнений, записанных через функцию тока ф и вихрь Ь, на стенке ставятся граничные условия прилипания. Рассмотреть теченне в замкнутой прямоугольной области с одной подвижной стенкой в том случае, когдз на всех стенках ставится условие прилипания, Исходя из граничных условий и = 0 (или и = 1 на движущейся «крышке») и а = О, получаем граничаые условия для функдии тока: Задачи 535 ными разностями по пространственным переменным, а для решения уравнения Пуассона — метод последовательной верхней релаксации. Значение вихря иа стенке вычислять с первым порядком точности.
Подтвердить заключение о сходимости репьения. б) Понторнть решение задачи а) с граничным условием заданного постоянного «ветрового напряжения» на дпижущейся «крышке», т. е. при ь,р — — с. 3.29. Рассмотреть стационарное модельное ураинение в одномерном случае. Показать, что при и ) 0 и а ) 0 граничных условий и (0) = а, и (0) = Ь, где и' означает производную дь-го порядка, достаточно для определения решения. Проверить достаточность граничных условий а особых случаях, когда и=Оилиа=О. 3.30.
Па примере стационарного модельного уревнения в одномерном случае исследовать появление пилообразных осцилляций в реньении, когда на выходной границе становится градиентное условие дЦдх = 3 ~ О. 3 31. Вывести уравнение Пуассона для давления (3 58!з). 3.32. Вывести связь между производной от давления по касательной к стенке и производной от вихря по нормали к этой стенке (см. Пирсон [!965а)) дР ! д5 дз Ке да' Заметим, что однозначность Р накладывает слелующее условие на контурный интеграл по поверхности тела: ф (дЬГда] «(з = О. Недостаток чпслсньиго решения, связанный с невозможностью удовлетворить этому условию н конечно-разно«твой форме, можно трактовать как ошибку, связанную с нарушением свойства консервативности прн вычислении вихря нз стенке, и использовать в качестве показателя сходимости аппроксимации.
3.33. Для жесткого уравнения дТ(д! = аТ написать явную схему, «полностью неявную» схему и схему Кранка — Николсона. Найти условии статической и динамической устойчивостн. 3.34. Вывестн уравнение переноса вихря (3.609), разя. 3.7,6, для случая среды с переменными свойствалш, Глава 4 4.1. Проверить приведение к безразмерному виду уравнений (4.42) и (4.43). 4.2. Вывести уравнение (4.52). Глава б 5.1.
Показать, что для адиабатического течения и+ а ) аз н что для по. добных течений критическое условие устой'ьььвости по числу Куранта имеет место при максимальной скорости. '5.2. Запрограммировать схему Лакса для задачи об одномерном распро.
стрзнении ударной полны. Применить фиксированные условия на входной гра. нице и принять условие нулевого градиента на выходной границе. При у = = 1.4 для скачка с отношением давлений 4,978 принять параметры перед скачком р = 1, Е = 2.5, и = 0; тогда парзметры за скачком будут р =. 2.8!2 Е = 16 0489, и = 1.601. В начальный момент времени параметры за ударной волной можно задать в точке 1 = 1, а перед ударной волной — в точках от 1 = 2 до !5 = 50. Провести расчеты прп различных значениях чвсла Куранта, а частности обнаружить лнффузию прн б! =- О. 536 Задачи *5.3. Выполнить предыдущую задачу для схемы с конечными разностями против потока, Исследовать поведение осцилляций за ударной волной при изменении Л( и отношения давлений на сначке.
*5.4. Выполнить задачу 5.2 для любой описанной в равд. 5.4 схемы с явной нскусственной вязкостью. (Можно указать каждому студенту, какой именно схемой он должен заняться.) *5.5. Выполнить задачу 5.2 длн любой описанной в равд. 5.5 схемы с не. явной искусственной вязкостью. *5.6. При помощи любой из прогрзмм, разработанных для задачи 5.2, опробовать различные начальные условия, при которых в начальный момент времени ударная волна размазывается по нескольким ячейкам. о».7. Применить схему Лакса — Веидроффа к модельному уравнению диффузии д'/дт = адз((дхз. Показать, что получающаяся прн этом конечно-раз. постная схема с пятиточечным по пространству шаблоном условно устойчива и условие устойчивости имеет внд г( — алг(лх' ( пь (эту задачу предложил д-р Ф. Уорминг.) 5.8.
Разработать схему для расчета одномерного распространения ударной волны, основанную на схеме Крокко для вязкого газа и введении явной искусственной вязкости. *5.9. Опробовать схему, построенную в предыдущей задаче, на расчетах и сравнить полученные результаты с результатамн по другим схемам. *5.16. Применить одну из явных схем расчета уравнения переноса вихря в несжимаемой жидкости (например, схему Дюфорта — Франкела, схему Хайна нли явную схему метода чередующихся направлений) к задаче об одномерном распространении ударной волны, вводя прн этом искусственную вяз. кость. 5.11.
Определить точность способа отражения для задания граничных условий на конце закрытой ударной трубы в одномерном течении. Рассмотреть уравнения как для вязкого, так и для невязкого газа в расчетных сетках первого и второго типов (см. Тайлер и Эллис [!970), а также Уоткннс [1970)) . 5.12. Выяснить, как применение способа отражения для задания граничных условий в расчетной сетке второго типа влияет иа аппроксимацию вязких членов со смешанными производными.
5.13. Показать, что вблизи стенки с прилипанием аппроксимация 5Р)бх имеет формальный второй порядок точности при расчете плотности на гиб. ридной сетке, как это было рекомендовано в равд 5.7 2.в. *5.14. Решить численно задачу о дозвуковом течении газа в замкнутой прямоугольной области с алкой подвиэкной границей. Положить на «крышке» М = 1 и постоянную температуру стенки Та Применить уравнения с постоянными коэффициентами переноса н схему Браиловской или схему Чена— Аллена. Необходимо следить, чтобы сеточное число Рейнольдса было меньше 2, (Эта задача довольно трудна для программирования.) Глава б 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
