Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Рассмотреть член со второй производной д[а(дь/дх))/дх, описывающий диффузию. При ь = их' и а = Ьх' в результате дифференцирования имеем д[а(дь/дк)]/дх = бабх'. Показать, что применение разностей в консервативной форме даез б бь '/э(а„, +а,)(ьг „, — ь" ) — '/,(а +а, !)(ь — ьг !) бх ( бхк! тогда каь применение разностей в неконсервативиой форме б'ь ба бь а — + —— бхз бх бх дает точный результат. (Эту задачу предложил д-р Ф. Блоттнер.) 3.4, Рассмотреть член со второй производной д(а(дь/дк))/дк, описывающий диффузию.
Показать, что ошибка апроксимации наименьшего порядка при применении разностей в консервативной форме (см. задачу З.З) имеет вид 1 з Г д'а дб 3 д'а дтб да д'б Л вЂ” — Лх ( —.=+ — — — + — — ), 6 'х дхз дх 2 дх' дх' дх дх' /' а прн применении разностей в неконсервативной форме — вид 1 э Г дза дк да д'Ь 1 д'Ь Л вЂ” — Лх' !х — — +— + — а — х!. 6 .
~дх' дх дх дх' 2 дх« У' Если «ь и а — квадратичные полиномы: ь = л1+ О~к + с,кэ, а = ив + бак+ стхз, то анализ ошибки показывает, что иеконгераагизнпл форма будет более точной, причем член порядка 0(Лх') равен нулю, в то время как для консерватнвной формы получается 0(Лх') = — с,сз (Эту задачу предложил д.р Ф. Блоттнер.) *3.5. Составить программу лля схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной в случае одномерного модельного уравнения. Рассмотреть различные виды численных условий на выходной границе как при фиксированных, так и при периодических (синусоидальная волна) значениях величины Ц на входной границе.
Условия на выходной границе должны включать по кравней мере следующие: условие нулевого градиента, линейная экстраполяция и разности против потока. 3.6. Рассмотреть схему «чехарда» в применении к одномерному модельному ураввению, описывающему конвекцию в невязкой жидкости, для точек, удаленных от границ.
Исследование устойчивости провести методом дискретных возмущений, полагая Ь" = в и й" = О ао всех остальных точках. Показать, что для самой дальней вниз по потоку точки, испытывающей влияние точкк 1, эозмущенне имеет следующий виш 'й",„~э = С в, Задачи 331 где С вЂ” число Куранта. Дли точек, расгюложенных за таким «фронтом», ~!+в = ~!»а»! О. Показать, что вверх по потоку распространяется ошн. л+Ф+! л+Ь бочное решение, для которого к!+~~ — — ( — С)Ь.
Построить графики решений при С =1,С ='/2 и С ='/!э. *3.7. Исследовать поведение схемы «чехарда» на примере одномерной задачи. а) Изучить влияние числа Куранта С н величины шага по времени 3! на решение задачи с начальным условисм ь(х,О) = О, условием на входной границе ь(0,!) = 2)п ! н численным условном на выходной границе л+ ! л+ ! = ~гг-'! б) Изучить поведение решения, если ь! = ь! = 0 для нечетных ! и ь~ + 1, ! 2 ь! — — — 1 для четных ! и ь! = О, в зависимости от двух вариантов условий на 2 л выходной границе; 1) э!!~' = ь',чг+'! и 2) ь";г~' = ф !.Достаточно рассмотреть сетку с десятью ячейками (г! = 11).
Предварительно читатель может ознакомиться с главой 7. *3.8. Для модельного уравнения, описывающего конвекцню н диффузию в одномерном случае, составить расчетную тестовую программу для иссле. дования влияния на устойчивость переменности по пространству скорости конвекции и, (Эта задача, допускающая неограниченное множество решений, может охватить многие возможные комбинации конечно-разностных схем для расчета внутренних точек, начальных условий, граничных условий и т.
д. Опа может быть предназначена в качестве работы на досуге нли в качестве темы диссертации па степень доктора философии. Задача особенно эффективна как учебная, когда студенты исследуют различные схемы.) 3.9. Для решения Блазиуса уравнений пограничного слоя при обтекании плоской пластинки (см.
Шлихтинг !1968)) можно вынести следуюшее саагношение: о,/и« = 4,302/Реа где и. и и, — составляющие вектора скорости на границе пограничного слоя, а Кеь — число Рсйнольдса, вычисленное по толщине пограничного слоя б, )(еа = и,б/м Показать, что при использовании схемы с разностями против потока при выборе десяти расчетных точек поперек пограничного слоя можно эа счет влияния схемной искусственной вязкости ожидать уменьшения эффективного числа Рейнальдса приблизительна на 20»/э. 3.!О. Рассмотрегь ма!од исследования усгайчнностн, основанный на дискретизации по пространственной псременной при отсутствии дискретизации по времени Этот метод, вероятно, был бы приемлем для гибридных (аналого-цифровых) вычислительных пашни, в которых текущее время задачи находится в определенном соответствии со временем вычислительной машины.
Этот мстод можно было бы использовать для нзучсния классов разностных схем, которые строятся в виде комбинации схем для одномерных обык. новснных дифференциальных уравнений; например, схема с разностямн вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной принадлежит к этому классу, а схема Лейта не принадлежит. Для модельного уравнения при отсутствии вязкости рассмотреть конечно. разностную схему, имеющую общий внд — — 1(~ + ()) 1,, — 2Й, + ()) — 1) ~, ~,].
д! )! Задачи 532 При О = 0 этэ схема является схемой с центральными разностями по пространственной переменной, а при й = 1 — схемой с разностями против по. тока. Показать, что приведенная выше конечно.рззностная схема дает точное решение следующего дифференциального уравнения в частных производных: д~ д' С!) 'Гг Лхл дл~ С Ч г Лхл дл — = — С вЂ” + — ~ — — — — ~ — —, э=1,2, д! дк Лх х.л л! дхл Лх х' «л! дхл ' л зй л=зйэ1 (Ломекс с саавторамя [1970).) На примере схемы с разностямз против потока показать, что при исследовании устойчивости важен учет разностей па времени в противоположность методу, в котором время не дискретнзируется (см.
выше). 3.11. Построить схему для уравнения диффузии, основанную на аппроксимации Адамса — Бэшфорта для производной по времени. Доказать по меньшей мере условную устойчивость этой схемы. Для уравнения, содержащего конвективный и диффузионный члены, доказать, что прн малых и/ц имеет место по меньшей мере условная устойчивость. 3.12. Для исследования устойчивости схемы Крокко прн отсутствии вязкости применить метод Херта и показать, что и.
= и«Л!(!' — г(з). 3.13. а) Используя для производной по пространственной переменной д»ьд)хз выражевие, приведенное в задаче 3.1, и разлогкение в ряды Тейлора по времени до членов третьего порядка включительно, построить схему, аналогичную схеме Лейта. б) Исследовать полученную схему на устойчивость.
Применить для нс. следования устойчивости метод фон Неймана н в случае необходимости принять, что С ~ 1. 3.14. Для модельного уравнения яри отсутствии вязкости рассмотреть неявную схему с разностями против потока »ьл+! ь»л С гь»л+1 ь»л+1) Исследовать схему на устойчивость. Выяснить, обладает ли данная схема свойством транспортивности. 3.15. Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы с разностями вперед по времени и центральными разностямн по простраяственной переменной для одаомерного уравнения диффузии имеет вид д ( г( „„ = Дз, где д — мЛДЛхз. Для двухшаговой схемы Мацуно — Браиловскай достаточное условие будет д ( л ° = ~!4 Если итерации продолжаются неограниченно, будет ли величина шага по времени и далее продолжать оставаться ограниченной, когда д,„-» О, нли итерации приведут к тому, чта схема приблизится к полностью неявной схеме, для которой дл,„ = лл) 3.16.
Для схемы Курихары проделать следующее, а) Схематическн изобразить на плоскости (х, !) два шага. Показать, как достигается центрирование по пространственной переменной и по времени, б) Записать схему в виде одношаговой процедуры. в) Показать, что ланная схема не будет проявлять неустойчивость, связанную с расчленением решения на временнбм шаге, свойственную схеме «чехарла», и чго фурье-компонента с длиной волны А = 2Лх является стацно. нарвой. г) Показать, что при С = ! схема не дает точного решения.
д) Провести исследование устойчивости по методу фон Неймана и показать, что )Х! = 1. е) Исследовзть влияние схемнай искусственной вязкости в нестацноиарном и в стационарном случаях. ж) Доказзть, что ошибка аппроксимации будет Е = 0(Лх',ЛР). Задачи 333 3.!?. Блоттнер (лнчное сообщение) предложил следующую одношаговую схему второго порядка точности: ~ат !гз ~л .( Е (~л+ !гз) 2 ~лэ! ли+ЛЕД (сланя) Заметим, что перпый шаг является неявным, а второй явным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
