Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Для усиления влияния величины а„была выбрана чрезвычавно грубая сетка: она содержала только трп узла (две ячейки) между поверхностью тела и ударной волной н только пять узлов вдоль тела. Целью эксперимента являлось доказательство того, что стационарное решение, полученное по схеме Моретти, зависит от выбранной величины Ай как это следует из стационарного анализа величины а,. (В этом состоит отличие схемы Моретти от схемы конечных разностей против потока, обсуждавшейся ранее, а также от ряда других конечно-разностных схем.) Наиболее чувствительной оказалась узловая точка (2, 3) в центре расчетной сетки. Величина А( изменялась в программе с помощью входного параметра БТЛВ; при БТАВ = 1 величина Ж выбиралась равной 0.94 от предельного размера шага по времени, допускаемого критерием устойчивости на квадратной сетке, Первая часть решения, показанного на рис.
Б.!, была получена за 3000 шагов по времени при БТЛВ = 1, что соответствовало безразмерному времени Т = 15.82. Здесь можно видеть довольно четкое установление решения, при котором безразмерная плотность меняется всего лишь на 2,5 10-' о7о за 77ризолгсние Б. Об нгкдгггнгнной гхеннт! низин ~ 47 45 10 20 50 40 50 7 Рис. 5.1. Плотность з узловой точке (2, 3), расс !нтанная по схеме Моретти, Расчет обтекания сфернчески затупленного конуса с полууглом раствора 6' при М = 10, 7 = 1.4 на сетке 3 Хб.
Прн Т ( 15.82 имеем Л! „= Л!и нз 0.94 Лг, где Л! — предельный размер шага по зременн, допускаемый критерием устойчизасти; прн Т) 15.82 имеем Л1„= !уз Л1, Для дальнейшей проверки везде (вплоть до Т ) 46.45) просчитывалось другое решение В с большей велпшшой Лу (ВТАБ = 1) . Расхождение между двумя стационарными решениями при Т = 46.45 показано на рис.
Б.1, а также представлено в табл. 1[. Таблица П Расчет стационарного обтекания сфернчески загуплепного конуса с полууглом раствора 6' по схеме Мореттн при М == 19, у = 1.4 на сетке 3 Х 5. Приасдены значении безразмерных плотности р, данления Р я узле сетки (2, 3) и расстояние отхода ударной еолны г, прн Лгл = ! з Лгп Р!,3 4.064 4.559 2Д Решение А Решенно и Расхо кденнс а % 1.142 1,!49 О.б 7гх54 74.25 ЗЯ 200 последних !па!'ои но прсмсш! н,н! м! ц! чем !ш 2.74.!О ' !)з за один ша!' По Времи!и. В!оран час!ь !'синд!!Гп 1 Йь!.!а но,В- чена после умсньшения паране!ра 51АВ до !74. 11рн этом нпкакис другие параметры не менялись, Расчег продолжался еще на протяжении 28000 шагог, по прсмспп,:!о гоо!встствовало конечному времени Т -=-46.
15 '-',!! 00.! ! !нинн Г!и!!ш,парное решение, в котором р изменялось л!нпь и; 4.52 10 ' 'н(, за последние !000 шагов по времени. ввв Приво»кение Б. Об искусственной оке»свой вне«ости В наиболее чувствительном узле сетки (2,3) для установившихся решений А и В безразмерные плотности отличаются на 2.3')о, безразмерные давления — на Зо/„безразмерные расстояния отхода ударной волны — на 0.6$>. Процентное различие между этими двумя решениями мало, поскольку в данном случае решение конечно-разностного уравнения лишь слабо зависит от а„ н ЛА а ударная волна рассматривается как разрыв.
Численные решения, полученные прн помощи этой и друтнх схем с явной и неявной искусственной вязкостью, несомненно, будут разумными приближенными решениямн. Весьма существенно, что двумерное стационарное решение действительно зависит от ЛА подтверждая тем самым одномерный анализ величины аее Дальнейшее исследование влияния величины Л1 проводилось на более мелкой сетке (5 Х 7). Решение со ЬТАВ = 1 устанавливалось по всем четырем значащим пнфрам, выводимым на печать в этом расчете, в то время как в «стационарном» решении, полученном при БТАВ = 'ег~о, наблюдались устойчивые осцилляции плотности -~-1 во второй значашей цифре. Такое поведение снова согласуется с результатами стационарного анализа, которые показывают, что величина а„пропорциональна Лб Обсуждение других схем Обсуждение друтих конечно-разностных схем применительно к модельному уравнению (Б.!) приводит к следующему.
Стационарный анализ схем «чехарда со средней точкой», Крокко, Адамса — Бэшфорта, Хойна, Кранка — Николсона, полностью неявной схемы и различных неявных схем глетода чередующихся направлений дает нулевую схемную вязкость, за исключением случаев применения конечных разностей против потока для конвективных членов в некоторых вариантах метода чередую- шихся направлений. Многошаговые схемы Стренга, Абарбанеля и Цваса, Фромма (Фромм [1968]) н Кроули дают существенно ненулевое значение а„прн стационарном анализе.
К схемам, в которых как нестацнонарный, так н стационарный анализ дают нулевую искусственную вязкость, относятся схема «чехарда со средней точкой», схема Аракавы, схема Робертса — Вейса с производными по диагональным направлениям (Робертс и Вейс [1966) ), а также те нз схем метода чередуюшихся направлений, ошибка аппроксимации которых 0(Лхе, Л1»). Конечно, каждая из перечисленных схем имеет свои недостатки. Интересно отметить, что выражение для а„в схеме Лейта, а„= ','»и'ЛА не содержит явно Лх.
Поэтому при Лх- О величина а„— О только за счет условия устойчивости Куранта, в ко- 527 Прилосчечос Б. Об искусственной стенной олочости тором требуется, чтобы Л1-«О при Лх-«О. Если бы была разработана схема, основанная на разложении в ряд Тейлора до второго порядка включительно, как и схема Лейта (или Лакса — Вендроффа и др.), но безусловно устойчивая, из-за фиксированного Л( коэффициент а„не обращался бы в пуль даже при Лх-«0. Заключительные замечания Сделаем в заключение четыре замечания по поводу интер.
претации схемной вязкости. 1. Анализ ошибки аппроксимации указывает порядок этой ошибки, который, строго говоря, применим лишь при Лх, Л1 — «О. На практике нас обычно интересует не порядок ошибки аппроксимации, а ее величина при некоторых конечных значениях Лх и Лй Так, добавление некоторого малого вязкого члена (скажем, при Ке = 10' и Лх = '/,о) форлсально увеличивает ошибку аппроксимации схемы Лакса — Вендроффа с центральными разностями до порядка 0(Лх), однако при С = 1 величина этой ошибки остается пренебрежимо малой.
Заметим, что величина ошибки аппроксимации уменьшается постепенно при уменьшении С, в то время как ее порядок меняется скачком: при С =1 мы имеем точное решение, а при С (! — ошибку порядка 0(Лх). 2. Для многомерных задач наиболее важным проявлением вязкости в смысле качественной разницы между решениями при отсутствии вязкости и при ее наличии обычно оказывается не наличие в уравнениях вязких членов при расчете внутренних точек, а необходимость постановки граничных условий прилипания.
Так, Кенцер [1970) отметил, что при использовании граничных условий для невязкой жидкости (условий скольжения потока) можно получить очень точные приближения для решс. ний при отсутствии вязкости даже при столь малых числах Рейнольдса, как 300, и даже на не слишком мелкой сетке, Это означает, что полученные численные решения без учета вязкости могут быть точными даже при наличии схемной вязкости, однако погрешность может быть несколько более существенна для задач с учетом вязкости, (Считая, что ошибка, связанная с наличием в консчно-разностпых уравнениях коэффициента а„, влияет, например, на полученное значение коэффициента сопротивления Со, не надо пытаться выявить такую малую ошибку в Со, а лучше искать сдвиг по Ке, которому отвечает найденное значение Со.
Это, очевидно, допустимо, потому что течение, как правило, слабо завнсиг от величины Ке,) 528 П!)!ь!Омс~иь Б. Г?д !!гкдгггвсиасд гхслиса аазкогг!! 3. В двумерных задачах коэффициенты сг„зависят от и и о, которые определены относительно эйлеровой сетки. Это означает, что в направлениях х и у имеются различные величины а,,„мспяюпц!еся по пространству и стремяшиеся к пулю около неподвижных стенок с условиями прнлипапия па пнх, Поэтому введение «эффск!нвногс Йеэ пе имеет количественного смысла даже для вязких решений и вязкие решения конечно-разностпых уравнений с псиулсвыл!и а,,; часто более точны, чем можно было бь! ожидать при оценке сс„, по услшшям в иевозмущепиом по!о!!с.
()ди;!ко таьис р! шшии ис инвариантны относительно преобразования ! алилш! (см. Джен!ри с соавторами !!966!). !хром!с !ого, в решениях задач об об!екипп! врашаюшихся тел может набок!даться аномальное поведение, связанное с различи!!ыи значениями о,, иа противоположных сторонах тел. 4. Имеегся несколько способов пошановки на выходных границах мпогоя!ерпых течений численных условий, соответствующих свободному потоку.
Цель этих способов — уменьшить ошибку вверх по потоку, обусловленную тем, что для иевязкой жидкости принимается С . !. ЗАДАЧИ Задачи, о~меченные звездочкой, предназначены для решения на ЭВМ, Для решения любой из этих задач требуется не более 5 —: 10 минут на таких ЭВМ, как СПС 3600, (/б)!ЧАС 1107, 1ВМ 360/50.
Г. аг 2.1. Вывести уравнение переноса вихря для случая переменного коэффициента вязкостя р. Привести уравнение к безразмерным переменным, учитывая, что ((е = рдгаЕ/Вм а р = р/рь 2.2. Показать, что коэффициент сопротивления Са тонкой плоской пластинки длины Е, расположенной параллельво направлению потока, можно вычислить при помощи интегрирования коэффициента поверхностного трения. В этом случае Сила сопротивления '/зр(г' (Площадь пластинии) ' С = 2СГ С/ — — (1/Ве) ~ ь" дх, о где ~ — безразмерная всличина вихря на поверхности пластинки.
Глава 3 3.1. Вывести для производных следующие конечно-разностные выражения с точностью до 0(дхт): бхз )г гйхз бгь ) ег — 4ьг, Р бь,. — 4ьг, + ь 3,2, Рассмотреть уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости с массовой плотностью р — = — Р.(рч)= — рт/ Ч вЂ” Ч Рр, др д/ а частности в одномерном случае др д (ри) да др — — р — — и дг дх дх дх ' а) Показать, что применение центральных разностей по пространственным переменным для уравнения в первой форме приводит к консервативному разностному уравнению. б) Показатгь что уравнение во второй (продифференцированной) форме также будет консервативным и соответствует х1Р-аппроксимацгги (см., например, Херт 11968)) для членов, описывающих поток через сторону ячейни, в виде (р")гег/а = /' (ргггг+г + р(+га().
Задачи 336 в) Чтобы уменьшить некоторые обусловленные нелинейностью осцилля. ции, возникающие при использовании уравнения во второй (продифферен. цированной) форме, предлагается следующая модифнкаиия. В члене и~(р»1 — рг ~)/(2Лх) скорость конвекции ш заменяется средним от ее значений в двух соседних точках, так что этот члев принимает вид '/э(и«+1 + ю-~](рьы — р~ ~)/(2Лх]. Показать, что такая схема также будет иметь второй порядок точности, но не будет консервативной. 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
