Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Это уравнение можно записать и в неконсервативной форме, д тает а да положив — [ — ) = — —. Начальные и граничные условия дх [. 4 ) 2 дх ' выбиралнсь в виде и(х, у, 0) = 100х'(1 — х) у'(1 — у), и(0 у У)=0 при У>0, и(х 0 Г)=0 при т>0. Гурли и Моррис сравнивали полученные ими численные реше.
ния с точным сгачионарнытн решением задачи и = 100хеуз (1 — х) (1 — у). Максимальное значение и(х, у, 1) для всех ! в квадрате 0 ='х(1, 0 ( у ~ 1 приблизительно равно 2.2; это значение можно использовать для суждения об устойчивости. Цзю [1970] получил точное решение для волн, движущихся в изотермнческой стратифицированной атмосфере, которое можно использовать для проверки многих программ расчета атмосферных течений. У. Кроули [19б8з[ проверял схемы па фазовую ошибку прп помощи точного решения одномерно~о линейного модельного уравнения с переменными коэффициентами при отсутствии вязкости, рассматриваемо~о в приведенном ниже упражнении. ,упрахеяенае, дано урзвненпе дз/дз = — и д1!дх е начальным условном ' (х, О) = 1 1(п (а)1 где 1 — произвольная фупкппя, а н = ах + Ь, причем а н Ь вЂ .
пронзвольные Постоянные Г(оказать, что точное решение нмеет внд С(х, 0=! Лпа — ам. 7.2 Отладка и контроль Гринспэн [1967] рассматривал три одномерные задачи с линейными, но переменными коэффициентами при членах, аналогичных конвсктпвным. Для всех трех задач ставилнсь начальные условия и(х,О) = х, и опп имели решения вида и(х,!) = = хе-'.
Этп решения могут быть полезными, однако необходимо отметить, что онп дают д'и/дх' = 0 во все моменты времени. Поэтому, хотя вторая производная н входит в уравнение, вклады в этот диффузный член происходят .тишь от накопления ошибок округления и аппроксимации, что может сделать эти точные решения не подходящими, То же самое замечание можно сделать относительно двумерной нелинейной тестовой задачи, которую предложили Гурлн и Моррис [1968а] н точное решение которой и = (1 — х — у)е-' дает д'и/дх' = о'и/ду' = 0 во все моменты времени. Практические тестовые задачи, обладающие точными решениями для одномерных течений невязкого совершенного газа, удачно подобраны Хиксом [1968].
Он привел семь тестовых задач, включающих скачки, волны разрежения и взаимодействие волн. Хикс и Пелцл [1968] применяли эти задачи для сравнения точности различных схем в лаграпжевых переменных. Гордон и Скала [1969] в качестве тестовых задач использовали плоскую задачу о поршне, плоскую задачу о разлете массы и центрально-симметричную задачу о сферическом взрыве. Никастро [1968] нашел точные автомодельные решения радиационной газодинамики в сферически-симметричном случае как для взрыва, так и для схлопывания.
Эти решения оказались весьма ценными для проверки столь трудных для численного решения задач, поскольку в них накладывались не слишком жесткие ограничения на начальные условия и внд закона переноса излучения. Стерн- берг [1970] нашел автомодельные решения для распространения плоских, цилиндрических н сферических ударных волн с учетом химических реакций. Свой «почти лаграижев» алгоритм расчета квазнодпомерных течений Б. К. Кроули [1967] проверяла па двух идеализированных задачах с источником и стоком массы. Предполагалось, что источник массы подает массу с нулевой кинетической энергией, а сток энергии обеспечивает равенство пулю общего потока энергии.
В задаче со стоком массы происходит уменьшение как внутренней, так и кинетической энергии, которое компенсируется источником энергии. Хотя эти предположения и не имеют физического смысла, они позволяют получить точные решения, пригодные для проверки численного метода. Для схем и алгоритмов расчета уравнений пограничного слоя существует много точных автомодельных решений (см. Шлнхтинг [1968]). Для большинства пз ннх требуется распределение т 2, Птлодко и контроль скорости вне пограничного слоя по степенному закону и,= ах"'.
(Для несжимаемой жидкости для тестовых целей можно использовать также класс решений с иь = ае", хотя такие решения и лишены физического смысла.) В случае пограничного слоя в сжимаемой жидкости обычно вводятся дополнительные ограничения Рг = 1, )ь — Т и Т = сопз(. Для уравнений течения не- вязкого газа Вейс [1968) указал класс решений, которые после применения к ним преобразования Стюартсона дают требуемое степенное распределение скорости, Удобны для проверки разностных схем автомодельные решения вблизи точек торможения потока') (см. Шлихтинг [1968[), хотя они пока еще не применялись для этой цели.
Другими тестовыми задачами могут служить полученные Щенниковым [1969[ осесимметрпчные автомодельные решения уравнений вязкого газа, частным случаем которых является струя вязкого газа. Аналитические решения уравнений для потенциального течения, конечно, обеспечивают проверку многих аспектов вычислительных программ для полных уравнений Навье — Стокса; см., например, Крамер [1969[. 23, По возможности проверяйте точность расчетов сравнением с надежными приближенными решениями. Наиболее известным случаем приближенного решения уравнений Навье — Стокса являются решения уравнений пограничного слоя (Шлихтинг [1968[). Это могут быть аналитические решения, автомодельные решения, полученные численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, и, наконец, неавтомодельные решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Отметим, что разница в рассмотрении уравнений пограничного слоя и полных уравнений Навье— Стокса состоит не только в пренебрежении диффузионными членами в направлении основного потока, но и в постановке граничных условий па внешней границе. Приближение пограничного слоя обеспечивает хорошую аппроксимацию при меньших числах Рейнольдса, чем обычно предполагается. Брили [1970) утверждает, что его решение уравнений Навье — Стокса с 15 расчетными точками внутри пограничного слоя начинает отклоняться от автомодельного решения уравнений пограничного слоя при Ке (рассчптанных по толщине потери импульса) от 15 до 30. Сравнения с экспериментальными данными при малых Ке можно найти в работе Мюллера и О'Лири [1970). ') Предложение д-ра Ф, Блоттнера.
499 7.3. Обработка информации 24. По возмоэкности проверяйте точность расчетов сравнением с эктерпиентальныт даннылш. Хотя, очевидно, это хорошая рекомендация, однако необходимо отметить, что часто точность экспериментальных значений столь же сомнительна, сколь и точность расчетных данных. В частности, отметим, что экспериментальные значения, полученные в плоскости симметрии трехмерного течения, нельзя принимать за значения в действительно двумерном течении.
Хотя составляющая скорости по г может равняться нулю, члены вида д'/дга могут быть отличны от нуля и, следовательно, вносить вклад в трехмерный поток количества движения. Заметим также, что замеры давления внутри пограничного слоя в сжимаемой жидкости очень трудны. 25. По возможности проверяйте точность полученного решения гаобально. Г1ри аналитическом исследовании точности конечно-разностных уравнений Сайрус и Фалтон [1967~ обнаружили опасность, возникающую при попытках характеризовать погрешность всего численного решения проверкой точности в одном узле сетки или в небольшом числе узлов. При сравнении различных постановок граничпых условий Скоглунд и Гей 11968, 19691 установили также, что при использовании неконсервативных форм местные невязкп ие зависят от способа постановки граничных условий и поэтому це могут служить хорошими указателями точности.
26. При сравнении схе,и или программ не забывайте о программистских и лташинньгх аспектах. При сравнении двух различных достаточно сложных программ можно не придавать серьезного значения небольшой раз. пицы в их быстродействии, скажем 10 пли 20о~а. 27 При экспери,иентировании с новыми схечами сначала пользуйтесь упрои4еннылш модельными уравнениями, 7.3. Обработка информации Начав получать хорошие решения задачи вычислительной гндродпнамики, мы сталкиваемся с трудной проблемой: что нам делать со всеми этими чнслами. Числешюе решение типичной задачи, и в особенности трехмерной нестационарной задачи, порождает огромное количество информации, и большое значение приобретает проблема систематизации и интерпретации этой информации. Как сказал Уильямс 11969]: «Видимое моделирование физически наблюдаемых характеристик еще не дает само по себе понимания течения», 490 7.3.
Обработка информации Сейчас имеются ЭВМ, пригодные для расчета большинства двумерных задач, а со вступлением в строй новых ЭВМ типа 1ШАС 1кг нли СРС 8!аг станет возможным проводить даже расчеты трехмерных задач с высокой точностью. Однако, по мнению многих исследователей в области вычислительной гидродинампки, мы даже сейчас пе можем в достаточной мере использовать получаемую нами информацию. Опыт расчетов подсказывает следующие рекомендации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
