Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Последний из больших александрийских математических трактатовнаписан Паппом (конец третьего столетия). Его «Собрание» («Synagoge»)—нечто вроде учебника для изучающих греческую геометрию, систорическими справками, с улучшением и видоизменением известныхтеорем и доказательств. Скорее всего, трактат надо было читать вместе соригинальными трудами, а не самостоятельно.') Папирус 620 Мичиганского университета, купленный в 1921 г., содержитмного задач греческой алгебры, относящихся к периоду до Диофанта, может быть, кначалу второго столетия.
Некоторые символы, имеющиеся у Диофанта, встречаютсяв этой рукописи См Bobbins F. Б. / Classical Philology.— 1929.— V. 24.—P. 321329;Vogel К. / Classical Philology.—1930.— V. 25.— S. 373—375.- 78 -Многие результаты древних авторов известны только в той форме, вкакой они сохранились у Паппа, например задачи о квадратуре круга,удвоении куба и трисекции угла. Интересна глава об изопериметрическихфигурах с положением, что круг имеет большую площадь, чем любойправильный многоугольник того же периметра.
Здесь есть и замечание, чтопчелиные соты обладают некоторыми максимально-минимальнымисвойствами1). Полуправильные тела Архимеда тоже известны благодаряПаппу. Как и «Арифметика» Диофанта, «Собрание» Паппа — книга, котораябудит мысль, и ее задачи вдохновляли многих исследователей болеепоздних времен.Александрийская школа медленно умирала вместе с упадком античногообщества.
В целом она оставалась оплотом язычества противраспространявшегося христианства, и некоторые из ее математиковотмечены и в истории античной философии. Прокл (410—485), чей«Комментарий к Первой книге Евклида»— один из наших главныхисточников по истории греческой математики, возглавлял школунеоплатоников в Афинах. В Александрии ту же школу представлялаГипатия, которая писала комментарии к классикам математики. Она былаубита в 415 г. приверженцами св. Кирилла. Ее судьба сделала ее героинейромана Чарльза Кингсли (Charles Kingsley)2).
Эти философские школывместе со своими комментаторами в течение столетий то процветали, тохирели. Академия в Афинах была закрыта императором Юстинианом какязыческая (529 г.), но к тому времени возникли школы в таких местах, какКонстантинополь и Джунди-Шапур (Jundishapur). В Константинополесберегались многие старые своды рукописей и комментаторы продолжалина греческом языке закреплять память о греческой науке и философии. В630 г. Александрию взяли арабы и верхний слой греческой цивилизации вЕгипте был заменен арабским слоем. Нет оснований утверждать, чтознаменитую александрийскую библиотеку уничтожили арабы, потому чтосомнительно, существовала ли еще она в то время. Фактически арабскоезавоевание не изменило существенным образом характера математическихисследований в Египте. Мог иметь место') Полное изложение этого вопроса см.
Thompson, D'Arcy W. Growth and Form.—2nd ed.— Cambridge, 1942.2) См. также Voltaire. Dictiormaire Philosophique, статья Hypatie.— Oeuvres,1819.—T. 36.—P. 458; Маутнер Ф. Гинатия.— М„ 1924.- 79 -регресс, но когда мы вновь услышим о египетской математике, окажется,что она следует древней грековосточной традиции (например, Алхазен).15.
Мы закончим эту главу некоторыми замечаниями о греческойарифметике и логистике. Греческая математика отличала арифметику илинауку о числах от логистики, то есть от практических вычислений. Термин«аритмос» обозначал только натуральное число, «количество, составленноеиз единиц» (Евклид, VII, определение 2; это значило также, что «один» несчиталось числом1)). Нашего понятия действительного числа не знали.Поэтому отрезок прямой не всегда имел длину.
Вместо наших операций сдействительными числами пользовались геометрическими рассуждениями.Когда Евклиду нужно сформулировать, что площадь треугольника равнаполовине произведения основания на высоту, он говорит, что она равнаполовине площади параллелограмма с тем же основанием и лежащегомежду теми же параллелями (Евклид I, 41). Теорема Пифагора былазависимостью между площадями трех квадратов, а не между длинами трехсторон.
В «Началах» Евклида имеется теория квадратных уравнений, но онаизлагается с помощью «площадей», а так как корни представляют собойотрезки, определяемые известными построениями, то можно установить, чтодопускались только положительные корни. Все же в «Началах» необязательно, чтобы каждому отрезку соответствовало числовое значение.Такие представления об отрезках и числах надо считать продуманнойсистемой, результатом победы платоновского идеализма среди той частиправящего класса Греции, которая интересовалась математикой. Ведьсогласно восточным представлениям той же эпохи относительнозависимости между алгеброй и геометрией никакие oграничения на понятиечисла не налагались. Есть все основания полагать, что для вавилонянтеорема Пифагора была числовой зависимостью между длинами сторон, иименно с такой математикой ознакомились ионийские ученые.Обычная вычислительная математика, известная как «логистика»,оставалась жизнеспособной во все периоды греческой истории.
Евклид ееотвергал, но Архимед и') Еще Стевин в свой «Арифметике» (1585 г.) вынужден бороться за признаниеединицы числом.- 80 -Герон ею пользовались свободно, без угрызений совести. Ее основойбыла система счисления, которая со временем изменилась. Ранняя греческаясистема счисления была десятичной и аддитивной, как египетская иримская. В александрийскую эпоху, а может быть и раньше, появляетсяспособ записи чисел, которым пятнадцать веков пользовались не толькоученые, но и купцы и чиновники. Знаки греческого алфавитапоследовательно применялись для обозначения сначала наших символов1,2,..., 9, затем десятков, от 10 кончая 90, и, наконец, сотен, от 100 кончая900 (α = 1, β= 2 и т.
д.). Три архаичные буквы были добавлены к 24 буквамгреческого алфавита, чтобы получить необходимые 27 знаков. С помощьютакой системы любое число меньше 1000 можно было записать не более чемтремя знаками, например 14 как ιδ, так как ι= 10, δ= 4; числа, большие 1000,можно было выразить с помощью простого расширения такой системы. Еюпользуются в сохранившихся рукописях работ Архимеда, Герона и всехдругих классических авторов. Имеются археологические данные о том, чтоэтой системе обучали в школах. Это была десятичная непозиционнаясистема: как ιδ, так и δι могло значить только 14. Такое отсутствиепозиционности и использование не менее чем 27 знаков иной разрассматривались как доказательство несовершенства системы.
Но то, каклегко ею пользовались математики древности, и то, что греческие купцыприменяли ее даже при очень сложных расчетах — в Восточной Римскойимперии вплоть до ее гибели в 1453 г.,— указывает, по-видимому, наналичие некоторых преимуществ. При известном опыте вычислений притакой системе мы действительно убеждаемся, что четыре основныхдействия можно выполнять достаточно легко, если твердо знать символы.Действия с дробями при подходягцих обозначениях тоже просты, но грекине были при этом последовательны, так как у них не было единой системы:они пользовались египетскими «основными» дробями, вавилонскимишестидесятичными дробями и записью дробей, напоминающей нашу.Десятичные дроби пе были введены, это великое усовершенствование вЕвропе появляется в эпоху позднего Ренессанса, когда вычислительныйаппарат был развит значительно больше, чем когда бы то ни было вдревности. Но даже в этих условиях десятичные дроби не были приняты вомногих школах до восемнадцатого и девятнадцатого столетия.- 81 -Доказывали, что алфавитная система счисления губительно повлияла наразвитие греческой алгебры, так как применение букв для определенныхчисел мешало применять буквы для обозначения чисел вообще, как этоделается в нашей алгебре.
Надо отвергнуть такое формальное объяснениеотсутствия алгебры у греков до Диофанта, даже если высоко оцениватьзначение подходящих обозначений. Если бы классические авторыинтересовались алгеброй, они создали бы подходящую символику, чтодействительно начал делать Диофант.Вопрос об алгебре у греков можно будет разъяснить только последальнейшего изучения связей греческой математики и вавилонской алгебрыв общей системе связей между Грецией и Востоком.ЛИТЕРАТУРАКлассические греческие авторы имеются в превосходных изданиях, их главныетруды переведены на европейские языки. В качестве наилучшего введения мырекомендуем следующие книги:Heafh Т.
L. A History of Greek Mathematics.—V. 1—2.— Cambridge, 1912.Heath T. L. A Manual of Greek Mathematics.—Oxford, 1931.Heath T. L. The Thirteen Books of Euklid's Elements.— V. 1— 3.—Cambridge, 1908,переиздание,—N. Y., 1955.На русском языке см.Начала Евклида/Перевод и комментарии Д. Д. МордухайБолтовского. Книги I—VI.— М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Книги VII—X,— М.; Л.: Гостехиздат, 1949. КнигиXI—XV.—М.; Л.: Гостехиздат, 1950.Архимед.
Сочинения/Перевод и примечания И. Н. Веселовского.— М.: Физматгиз, 1962.Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит)/Перевод, статья и примечания Г. Н.Попова.— М.; Л:. ГТТИ, 1932.Гейберг И. А. Естествознание и математика в классической древности/Спредисловием А. II Юшкевича.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.Лурье С. Я Архимед.— М.; Л., 1945.Башмакова И. Г. Дифференциальные методы в работах Архимеда / Историкоматематические исследования, вып. VI.— М.: Гостехиздат, 1953.—С. 609—658.Башмакова И Г.
Лекция по истории математики в Древней Греции I/ Историкоматематические исследования, вып. XI.— М.: Физматгиз, 1958.—С. 225—438.К о л ь м а и Э. Я. История математики в древности.— М : Физматгиз, 1961.В книгах: Историкоматематические исследования, вып. I.— М.: Гостехиздат,1948; вып. II.— М.: Гостехиздат, 1949; вып. VIII.— М.: Гостехиздат, 1955, см.статьи о «Началах» Евклида: в книге М. Я. Выгодского (см. литературу к главе II)см. раздел III: Арифметика древних грековVer Eecke P.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
