Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Весьмавероятно, что сам Зенон не имел представления о том, к какимматематическим выводам приводят его рассуждения. Проблемы, приведшиек парадоксам Зенона, неизменно возникают в ходе философских итеологических дискуссий. Мы в них видим проблемы, связанные сотношением потенцпальной и актуальной бесконечности. Впрочем, ПольТаннери1) считал, что рассуждения Зенона прежде всего были направленыпротив пифагорейского представления пространства как суммы точек(«точка есть единица положения»). Как бы дело ни обстояло, несомненно,что рассуждения Зенона оказывали влияние на математическую мысльмногих поколений. Его парадоксы можно сопоставить с теми, которымипользовался в 1734 г.
епископ Беркли, показывая, к каким логическимнелепостямможетпривестиплохаяформулировкаположенийматематического анализа, но не предлагая со своей стороны лучшегообоснования.После открытия иррационального соображения Зенона стали даже ещебольше беспокоить математиков. Возможна ли математика как точнаянаука? Таннери2) полагал, что мы можем говорить о «настоящем логическомскандале»— о кризисе греческой математики. Если дело обостояло именнотак, то этот кризис начинается под конец Пелопонесской войны,закончившейся падением Афин (404г.
до н. э.). Тогда мы можем обнаружитьсвязь между кризисом в математике и кризисом общественной системы, таккак падение Афин означало смерт') Tannery P. La geomelrie grecque.— Paris, 1887.— P. 217— 261. Другого мненияvan der Waerden B. L. II Math. Ann — 1940.—Bd 117.—S. 141—161.2) Tannery P. La geometrie grecque.—Paris, 1887.—P. 98, Таннери тамрассматривает только крах древней теории отношений в результате открытиянесоизмеримых отрезков.- 60 -ный приговор владычеству рабовладельческой демократии и началонового периода главенства аристократии — кризис, который был разрешенуже в духе новой эпохи.5. Для этого нового периода греческой истории характерно то, что растетбогатство определенной части правящих классов и равным образом растутнищета и необеспеченность бедняков. Правящие классы все больше средствдля существования получали за счет рабского труда.
Это давало им досугдля занятий искусством и наукой, но заодно все более усиливало ихнерасположение к физическому труду. Эти досужие господа с презрениемотносились к труду рабов и ремесленников, и успокоения от забот ониискали в занятиях философией и этикой индивидуума. На таких позицияхстояли Платон и Аристотель. В «Республике» Платона (написанной,вероятно, около 360 г. до н.
э.) мы находим самое четкое выражение идеаловрабовладельческой аристократии. «Стражи» в республике Платона должныизучать «квадривиум», состоящий из арифметики, геометрии, астрономии имузыки, для того чтобы понимать законы вселенной.Такая интеллектуальная атмосфера (по крайней мере, в своем раннемпериоде) была благоприятна для обсуждения основ математики и дляумозрительной космогонии.По меньшей мере три больших математика этого периода были связаны сАкадемией Платона, а именно Архит, Теэтет (ум. в 369 г.) и Евдокс (ок.408—355).
Теэтету приписывают ту теорию иррациональных, котораяизложена в десятой книге «Начал» Евклида. Имя Евдокса связано с теориейотношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с такназываемым методом исчерпывания, который позволил строго проводитьвычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокспреодолел «кризис» в греческой математике и что его строгиеформулировки помогли определить направление развития греческойаксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики.Евдоксова теория отношений покончила с арифметической теориейпифагорейцев, применимой только к соизмеримым величинам. Это былачисто геометрическая теория, изложенная в строгой аксиоматическойформе, и она сделала излишними какие-либо оговорки относительнонесоизмеримости или соизмеримости рассматриваемых величин.- 61 -- 62 -Типичным является «Определение V» книги V «Начал» Евклида:Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второйи третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременнобольше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократныхвторой и четвертой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, есливзять их в соответственном порядке.Современная теория иррационального числа, построенная Дедекиндом иВейерштрассом, почти буквально следует ходу мыслей Евдокса, но онаоткрывает значительно более широкие перспективы благодаряиспользованию современных математических методов.«Метод исчерпывания» (термин «исчерпывание» впервые появляется уГригория Сен Венсана, 1647 г.) был ответом школы Платона Зенону.
Методобходил все ловушки бесконечно малого, попросту устраняя их, так каксводил проблемы, в которых могли появиться бесконечно малые, кпроблемам, решаемым средствами формальной логики. Например, еслитребовалось доказать, что объем V тетраэдра равен одной трети объема Cпризмы с тем же основанием и той же высотой, то доказательство состояло втом, чтобы показать абсурдность как допущения, что V>1/3P, так идопущения, что V<1/3C. Для этого была введена аксиома, известная теперькак аксиома Архимеда1). Она лежит в основе теории отношений Евдокса, аименно: «о тех величинах говорят, что они находятся в некоторомотношении одна к другой, которые могут, будучи умножены, превзойтиодна другую» (Евклид V, Определение 4).
Этот метод, который у греков и вэпоху Возрождения стал стандартным методом точного доказательства привычислении площадей и объемов, был вполне строг, и его легко превратитьв доказательство, отвечающее требованиям современной математики.Большим недостатком этого метода было то, что надо было заранее знатьрезультат, чтобы его доказать, так что математик должен был сперва прийтик результату менее строгим путем, с помощью проб и попыток.Есть ясные указания на то, что такого рода иной ме) Формулировка Архимеда (который явно приписывает ее Евдоксу) такова:«Если даа пространства не равны, то можно сколько раз сложить с собоюразность, на которую большее превосходит меньшее, чтобы она превзошла любоеконечное пространcтво» (в сочинении «О сфере и о цилиндре»).1- 63 -тод действительно использовался.
Мы располагаем письмом АрхимедаЭратосфену (около 250 г. до н.э.), которое было обнаружено лишь в 1906 г. ив котором Архимед описывает нестрогий, но плодотворный способполучения результатов. Это письмо известно под названием «Метод». С.Лурье выдвинул предположение, что в нем выражены взглядыматематической школы, которая соперничала со школой Евдокса, возникла,как и та, в период кризиса и связана была с Демокритом, основателематомистики.
Согласно теории Лурье, школа Демокрита висла понятие«геометрического атома». Предполагалось, что отрезок прямой, площадь,объем состоят из большого, но конечного числа неделимых «атомов».Вычисление объема тела было суммированием объемов всех «атомов», изкоторых состояло тело. Эта теория может показаться нелепой, если невспомнить, что некоторые математики эпохи до Ньютона, особенно Виет иКеплер, в сущности, пользовались такими же понятиями и считалиокружность составленной из очень большого чистка крошечных отрезков.Нет никаких данных за то, что в древности на такой основе был развитстрогий метод, но наши современные понятия предела дали возможностьпревратить эту «атомную» теорию в теорию столь же строгую, как и методисчерпывания.
Даже в наши дни мы обычно пользуемся таким понятием«атома» при постановке математических задач в теории упругости, в физикеили в химии, оставляя строгую теорию с переходами к пределупрофессиональным математикам').Преимущество «атомного» метода перед методом исчерпывания в том,что первый облегчает нахождение новых результатов. Итак, у античностибыл выбор между строгим, но относительно бесплодным методом и методомс шатким обоснованием, но более плодотворным. Поучительно, что почтивсе классические авторы применяют первый метод.
Это опять-таки можетбыть связано с тем, что математика стала коньком праздного класса,опиравшегося на рабство, равнодушного к изобретениям, с со') «Таким образом, поскольку ограничиваются первыми дифференциалами,небольшой участок кривой вблизи какойлибо точки можно считать прямолинейными лежащим в одной плоскости, в течение короткого промежутка времени частицуможно считать движущейся с постоянной скоростью, а любой физическийпроцесс— происходящим в неизменном темпе» (Филипс Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
