Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Весьего трактат уже мог бы быть отнесен к евклидовой традиции, если бы он небыл старше Евклида более чем на столетие.Проблема квадратуры круга — одна из «трех знаменитыхматематических проблем античности», которые в этот период сталипредметом исследования. Эти проблемы таковы:1) Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на тричасти.2) Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имелбы объем, вдвое больший объема заданного куба (так называемая делийскаязадача).3) Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадькоторого была бы равна площади данного круга.Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрическис помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей,—это можно сделать только приближенно,— вследствие чего эти проблемыстали средством для проникновения в новые области математики.
Б связи сэтими проблемами были открыты конические сечения, некоторые кривыетретьего и четвертого порядка и трансцендентная кривая, названнаяквадратриссой. Мы не должны с предубеждением подходить к вопросу означении этих проблем из-за того, что иной раз они появлялись в видеанекдота (дельфийские пророчества и т.
п.). Не раз случалось, что основнойважности вопросы излагали в виде анекдота или головочинении, Т. I.—M.; Л., 1949.—С. 193—207; Д о р о д е о в А. В // ДАН СССР.—1947.—Т. 58.—С. 965—968. См. также Dantzig Г. The Bequest of the Greeks.— N. Y.,1955, Ch. 10.- 56 -ломки,— вспомним о яблоке Ньютона, о клятвопреступничествеКардано, о винных бочках Кеплера.
Математики разных эпох, включаянашу, показали, какая связь существует между этими греческимипроблемами и современной теорией уравнений, связь, затрагивающаявопросы об областях рациональности, алгебраические числа и теорию групп.4. Вероятно, от группы софистов, которые в некоторой степени былисвязаны с демократическим движением, отмежевалась другая группафилософовсматематическимиинтересами,примыкавшаякаристократическим объединениям. Они называли себя пифагорейцами вчесть основателя этой школы Пифагора, который, предположительно, былмистиком, ученым и государственным деятелем аристократического толка.Софисты в большинстве подчеркивали реальность изменений, пифагорейцыстремились найти в природе и обществе неизменное.
В поисках вечныхзаконов вселенной они изучали геометрию, арифметику, астрономию имузыку («квадривий»). Самым выдающимся их представителем был Архитиз Тарента, который жил около 400 г. до н. э. и школе которого, если мыпримем гипотезу Франка (Е. Frank), следует приписать большую часть«пифагорейской» математики. Арифметика пифагорейцев была в высшейстепени спекулятивной наукой и имела мало общего с современной ейвычислительной техникой Вавилона.
Числа разбивались на классы: четные,нечетные, четночетные, нечетнонечетные, простые и составные,совершенные, дружеские, треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д.Некоторые из наиболее интересных результатов получены для «треугольныхчисел», связывающих арифметику и геометрию:•• 1 ••• 3••• •• 6 •••••• 10 и т.д.Наш термин «квадратные числа» идет от построений пифагорейцев:• 1 :: 4:•:•:• 9 и т. д.Сами фигуры значительно старше, ведь некоторые из них мы находим внеолитической керамике.
Пифагорейцы же исследовали их свойства, внеслисюда налет своего числового мистицизма и сделали числа основой своейфилософии вселенной, пытаясь свести все соотношения к чис- 57 -ловым» («все есть число»). Точка была «помещенной единицей»1).Пифагорейцам были известны некоторые свойства правильныхмногоугольников и правильных многогранников.Они показали, как заполнить плоскость системой правильныхтреугольников, или квадратов, или правильных шестиугольников, апространство — системой кубов. Впоследствии Аристотель пыталсядополнить это неверным утверждением, что пространство можно заполнитьправильными тетраэдрами2). Возможно, что пифагорейцы знали правильныйоктаэдр и додекаэдр — последнюю фигуру потому, что находимые в Италиикристаллы пирита имеют форму додекаэдра, а изображения таких фигур ворнаментах или как магический символ относится еще ко временамэтрусков.
Они восходят к кельтским племенам Центральной Европы началаэпохи железного века (ок. 900 г. до п. э.) и позже (пирит был источникомжелеза)3).Что касается теоремы Пифагора, пифагорейцы приписывали ее своемунаставнику и передавали, что он принес в жертву богам сто быков в знакблагодарности. Мы уже видели, что эта теорема была известна в Вавилоневремен Хаммурапи, но весьма возможно, что первое общее доказательствобыло получено в школе пифагорейцев.Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий былооткрытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии.Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрическогосреднего а : b — b : с, величиной, которая интересовала пифагорейцев ислужила символом аристократии.
Чему равно геометрическое среднееединицы и двойки, двух священных символов? Это вело к изучениюотношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такоеотношение не выражается «числом», то есть тем, что мы теперь называемрациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числадопускались пифагорейской арифметикой.') Об арифметике пифагорейцев см van der W а е rden В. L.
/ Math. Ann.— 1948.—Bd 120.S 127—153, 676700.2) Struik D. J. / Nieuw Arch. v. Wiskundo.— 1925.—V. 15.— P. 121137.3) Lindemann F. / Sitzber. Bayr. Akad Wiss., Miinchen.— 1897.— Bd 26.— S. 625—758; см. так же, 1934,— Bd 63.— S. 265—275.- 58 -Допустим, что это отношение равно р: q, где целые числа р и q мы всегдаможем считать взаимно простыми. Тогда р2 = 2q2, следовательно, р2, а с ними р — четное число, и пусть р = 2r.
Тогда q должно быть нечетным, но, таккак q2 = 2r2, оно должно быть также четным. Такое противоречиеразрешалось не расширением понятия числа, как на Востоке или в Европеэпохи Возрождения, а тем, что теория чисел для таких случаев отвергалась,синтез же искали в геометрии.Это открытие, нарушившее непринужденную гармонию арифметики игеометрии, вероятно, было сделано в последние десятилетия пятого столетнядо н.
э. Сверх того, обнаружилась другая трудность — обнаружилась всоображениях о реальности изменений, и этим философы занимаются донаших дней. Открытие этой новой трудности приписывают ЗенонуЭлейскому (около 450г. до н.э.), ученику Парменида, философаконсерватора, который учил, что разум постигает только абсолютное бытиеи что изменение есть только кажущееся.
Это приобрело математическоезначение тогда, когда в связи с такими задачами, как определение объемапирамиды, стали заниматься бесконечными процессами. Здесь парадоксыЗенона оказались в противоречии с некоторыми давними и интуитивнымипредставлениями относительно бесконечно малого и бесконечно большого.Всегда считали, что сумму бесконечно многих величин можно сделать скольугодной большой, даже если каждая величина крайне мала (∞×ε=∞), а такжечто сумма конечного или бесконечного числа величин размера нуль равнанулю (n×0=0, ∞×0=0). Критика Зенона была направлена против такихпредставлений, и его четыре парадокса вызвали такое волнение, что и сейчасможно наблюдать некоторую рябь. Эти парадоксы дошли до нас благодаряАристотелю и известны под названиями Ахиллес, Стрела.
Дихотомия(деление на два) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнутьпротиворечия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попыткаразрешить такие противоречия.Парадоксы Ахиллес и Дихотомия, которые мы изложим своими словами,разъяснят нам суть этих рассуждений.Ахиллес. Ахиллес я черепаха движутся в одном направлении по прямойАхиллес куда быстрее черепахи, но, чтобы ее нагнать, ему надо сначалапройти точку Р, из которой черепаха начала движение.
Когда Ахиллеспопадет в Р, черепаха продвинется в точку P1 Ахиллес не может догнатьчерепаху, пока не попадет в P1, но черепаха при этом продвинется в новуюточку Р2. Если Ахиллес находихся в Р2, черепаха оказывается в новой точкеРЗ- 59 -и т. д. Следовательно, Ахиллес никогда не может догнать черепаху.Дихотомия. Допустим, что я хочу пройти от А до В по прямой. Чтобыдостичь В, мне надо сначала пройти половину (AB1) расстояния АВ; чтобыдостичь В1 я должен сначала достичь В2 на полпути от А до В1, и так добесконечности, так что движение никогда не сможет начаться.Аргументы Зенона показали, что конечный отрезок можно разбить набесконечное число малых отрезков, каждый из которых — конечной длины.Они показали также, что мы встречаемся с затруднениями при объяснениитого, каков смысл заявления, что прямая «состоит» из точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
