Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Подобная склонность кпрактическим применениям представляется нам весьма необычной, еслиучесть, с каким презрением к этому относились современники Архимеда изшколы Платона. Однако объяснение нам дает много раз цитированноесообщение Плутарха (в жизнеописании Марцелла), а именно: «Хотя этиизобретениязаслужилиемурепутациюсверхчеловеческойпроницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либописанное сочинение по таким вопросам, а, считая низким и недостойнымделом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу ивыгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал на техумозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесьюобычных житейских нужд».[4] Такая характеристика Архимеда как математика, считавшегопрактические применения науки стоящими вне науки, в лучшем случае —третьестепенным занятием для ученого, весьма распространена.
Однако основанаона, в сущности, только на том, что пишет об Архимеде Плутарх, авторсравнительно поздний (II в. н. э.), она не подтверждается более ранними авторамии не согласуется с теми, вообще слишком скудными, данными, которыми мырасполагаем об Архимеде. Для историка Полибия (II в. до н. э.) Архимед обязанславой своей инженерной деятельности, для Цицерона (I в.
до н. о.) Архимедпрежде всего астроном, архитектор Витрувий (конец I в, до н. э.) относитАрхимеда к числу тех немногих гениев, которые «сумели с помощью расчетов изнания тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонике...».Первые работы Архимеда — работы по механике, в его более поздних работах поматематике достаточно сильно выражено вычислительное направление. Нетоснований отрывать математическое творчество Архимеда от его несомненноразносторонней и систематической инженерной деятельности. А Архимедатеоретикаследуетпризнатьисключительнояркимпредставителем«математической физики» своей эпохи.
Нам представляется вполне обоснованнойта характеристика, которую дает И. Н. Веселовский: «Если придерживатьсяфактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и закончилее как механик, и в математических его произведениях механика является могучимсредством для получения математических результатов, да и сами эти результатыне являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснованиямеханических теорий»1).Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области,которую теперь мы называем интегральным исчислением: теоремы оплощадях плоских фигур и об объемах тел.
В «Измерении круга» он нашел') См. вступительную статью И. Н. Веселовского в книге: Архимед.Сочинения.— М.: Физматгиз, 1962.— С. 11.- 69 -приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными иописанными правильными многоугольниками. Дойдя в этом приближениидо многоугольников с 96 сторонами, он нашел (в наших обозначениях), что1111284284667667104 34 32 32 313 37111717201820174673467240422Обычно об этом сообщают, говоря, что примерно равно 3 1/7. В книгеАрхимеда «О сфере и цилиндре» мы находим выражение для поверхностисферы (в таком виде: поверхность сферы в четыре раза больше площадибольшого круга) и для объема сферы (в таком виде: объем сферы равен 2/3объема описанного цилиндра). В своей книге «Квадратура параболы»Архимед дал выражение для площади параболического сегмента (4/3площади вписанного треугольника с основанием таким же, как у сегмента, ис вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию).
В книгео «Спиралях» мы находим «спираль Архимеда» и вычисление площадей, а вкниге «О коноидах и сфероидах»— объемы некоторых тел, образованныхвращением кривых второго порядка.Имя Архимеда связано также с его теоремой о потере веса телами,погруженными в жидкость. Эта теорема находится в трактате погидростатике «О плавающих телах».Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мыслисочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостьюдоказательств. Характерны для этой строгости уже упомянутая «аксиомаАрхимеда» и постоянное использование метода исчерпывания придоказательстве его интеграционных результатов.
Мы видели, чтофактически он находил эти результаты более') 3,1409 <л< 3,1429. Среднее арифметическое верхней и нижней границ дает =3,1419. Точнее, значение л = 3,14159.,,- 70 -эвристическим путем («взвешивая» бесконечно малые), но затем онпубликовал их, соблюдая самые жесткие требования строгости.Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческихматематиков Греции. Это придает его трудам, при всех их типичногреческих особенностях, восточный оттенок.
Такой отпечаток заметен в его«Задаче о быках»— очень сложной задаче неопределенного анализа,которую можно истолковать как задачу, приводящую к уравнениюt2 – 4 729 494 и2 = 1типа «уравнения Пелля», которое решается в очень больших (целых)числах. Это лишь одно из многих указаний на то, что традиции Платонаникогда безраздельно не господствовали в математике эллинизма, и на то жесамое указывает эллинистическая астрономия.9. С третьим великим математиком эллинизма, Аполлонием из Перги (ок.260—ок.
170), мы снова целиком в русле геометрической традиции греков.Аполлоний, который, повидимому, вел обучение в Александрии и вПергаме, написал трактат из восьми книг о конических сечениях («Окониках»). Семь книг сохранилось, три из них — только в арабскомпереводе. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемыхкак сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследованияэволют конического сечения. Мы называем эти кривые, следуя Аполлонию;эти названия выражают одно из свойств этих кривых, связанное сплощадями и выражаемое, в наших обозначениях, уравнениямиy2 = pr, y2 = рх ± p/d •x2(запись однородная, у Аполлония р и d — отрезки; знак «+» даетгиперболу, знак «—» дает эллипс). Парабола здесь значит «приложение»,эллипс—«приложение с недостатком», гипербола—«приложение сизбытком». Аполлоний не располагал нашим координатным методом,потому что он не располагал алгебраическими обозначениями (вероятно, онсознательно, под влиянием школы Евдокса, отвергал их).
Однако многие егорезультаты можно сразу записать на языке координат, включая свойствоэволют, совпадающее с тем, что выражается их уравне- 71 -нием в декартовых координатах1). То же самое можно сказать о другихкнигах Аполлония, которые сохранились частично. Они содержат«алгебраическую» геометрию на геометрическом языке и поэтому воднородной записи. Здесь мы находим задачу Аполлония: построитьокружность, касательную к трем заданным окружностям; окружностиможно заменить прямыми или точками. У Аполлония мы впервые встречаемв явном виде требование, чтобы геометрические построения выполнялисьтолько с помощью циркуля и линейки. Следовательно, это не было стольобщим «греческим» требованием, как иной раз утверждают.10.
Математику в течение всей ее истории вплоть до современностинельзя отрывать от астрономии. Запросы ирригации и сельского хозяйства вцелом, а в известной мере и мореплавания обеспечили астрономии первоеместо в науке Востока и эллинистической науке. Ход развития астрономии внемалой мере определял ход развития математики.
Астрономия во многомопределяла содержание вычислительной математики, а порой иматематических понятий, равным образом прогресс астрономии зависел оттого, насколько сильна была доступная математическая литература.Строение солнечной системы таково, что сравнительно простымиматематическими методами можно получить далеко идущие результаты, нов то же время оно достаточно сложно для того, чтобы стимулироватьсовершенствование этих методов и самих астрономических теорий. НаВостоке в эпоху, непосредственно предшествующую эллинистической,добились значительного продвижения в вычислительной астрономии,особенно в Месопотамии в позднеассирийскую и персидскую эпоху. Здесьсистематически проводившиеся в течение длительного времени наблюдениядали возможность отлично разобраться во многих эфемеридах2). ДвижениеЛуны для математика было одной из самых трудных и увлекательныхастрономических проблем как в древности, так и в восемнадцатом веке, ивавилонские') «Итак, мой тезис состоит в том, что сущность аналитической геометриисостоит в изучении геометрических мест с помощью их уравнений и что это былоизвестно грекам и служило основой их исследования конических сечений»(Соо1idge J.
L. A History of Geometrical Methods.— Oxford, 1940.— P. 149). Впрочем,см. наши замечания относительно Декарта.2) Эфемериды — координаты тел солнечной системы (в основном планет),вычисленные для различных значений времени и данные в виде таблицы.- 72 -(«халдейские») астрономы много сил положили на его исследование.Установление связей между греческой и вавилонской наукой в эпохуСелевкидов многое дало и в вычислительной, и в теоретическойастрономии, и там, где наука Вавилона продолжала следовать древнейкалендарной традиции, греческая наука смогла добиться некоторых из своихнаиболее замечательных достижений. Самым древним из известных намгреческих достижений в теоретической астрономии является планетнаятеория Евдокса, уже знакомого нам в качестве вдохновителя Евклида.
Этобыла попытка объяснить движение планет (вокруг Земли) с помощьючетырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имелаособую ось вращения с концами, закрепленными в охватывающей сфере.Это было нечто новое и типично греческое, больше объяснение, чемрегистрация небесных явлений. При всей своей внешней примитивноститеория Евдокса заключала в себе основную идею всех планетных теорийвплоть до семнадцатого столетия — объяснение неправильностей видимогодвижения Луны и планет наложением круговых движений. Эта идея лежит воснове и вычислительной части современной динамической теории,поскольку мы вводим ряды Фурье.За Евдоксом последовал Аристарх Самосский (ок. 280 г. до н. э.),«Коперник античности», которому Архимед приписывает гипотезу, чтоцентром в движении планет является Солнце, а не Земля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
