Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 15
Текст из файла (страница 15)
У этой гипотезы вдревности было мало приверженцев, хотя широко было распространеноубеждение в том, что Земля вращается вокруг своей оси. Чтогелиоцентрическаягипотезаимеламалоуспеха,объясняетсяпреимущественно авторитетом Гиппарха, которого часто называютвеличайшим астрономом античности.Гиппарх из Никеи вел наблюдения между 161 и 126 г. до н. э.Непосредственно от него до нас дошло немного — главным источникомсведений о его достижениях является Птолемей, живший тремя столетиямипозже.
Многое в большом труде Птолемея, в «Альмагесте», может бытьприписано Гиппарху, в частности применение эксцентрических кругов иэпициклов для объяснения движения Солнца, Луны и планет, а такжеоткрытые предварения равноденствий. Гиппарху приписывают такжеопределение широты и долготы астрономическими средствами, по вдревности ни разу не смогли так организовать научные работы, чтобыможно было в больших- 73 -масштабах выполнить съемку местности.
(Ученые в древностипопадались редко как в пространстве, так и во времени.) Труды Гиппархатесно связаны с достижениями вавилонской астрономии, которая в еговремя достигла больших высот. Можно считать эти труды наиболее важнымнаучным плодом грековосточных связей в эпоху эллинизма'),11. Третий и последний период античного общества — период господстваРима. Рим завоевал Сиракузы в 212, Карфаген — в 146, Грецию — в 146,Месопотамию — в 64, Египет — в 30 г. до н. э.
Все, чем римляне овладелина Востоке, включая Грецию, было низведено до положения колонии,управляемой римскими администраторами. Римское правление незатрагивало экономической структуры восточных стран, пока в срокпоступали тяжелые налоги и другие поборы. Римская империя естественнымобразом расщепилась на западную часть с экстенсивным сельскимхозяйством, где применялись покупные рабы, и на восточную часть синтенсивным сельским хозяйством, где рабов использовали только длядомашнего хозяйства и на общественных работах.
Несмотря на ростнекоторых городов и на торговлю, охватывавшую все известные страныЗапада, основой экономического строя Римской империи оставалосьземледелие. Расширение рабовладельческого хозяйства в таком обществебыло роковым для всякой оригинальной науки. Рабовладельцы как классредко бывают заинтересованы в технических открытиях, отчасти потому,что рабы все делают дешево, отчасти потому, что они боятся давать рабамтакие орудия, которые могут способствовать умственному развитию.Многие из правящего класса слегка занимались искусствами и науками, нотакие стремления были залогом скорее посредственности, чем творческогомышления. Когда вместе с упадком торговли рабами стала хиретьэкономика Рима, немного было людей, которые могли развивать дажепосредственную науку предыдущих столетий.Пока Римская империя сохраняла известную устойчивость, восточнаянаука, своеобразная смесь эллинистических и восточных составных частей,продолжала про') Neugebauer О. Exact Science in Antiquity // Studies in Civilization.
Univ. ofPennsylvania Bicentennial Conf. Philadelphia, 1942.—P. 22—31 и Neugebauer 0. TheExact Sciences in Antiquity.— Providence, R. I., 1952. Имеется русский перевод — см.библиографию на с. 84.- 74 -цветать. Постепенно снижалась оригинальность, слабела движущая сила,но установленный римлянами на столетия мир (pax Romana) позволял безпомех заниматься традиционными теориями. В течение нескольких столетийс «римским миром» сосуществовал «китайский мир»— pax Sinensis.Евразийский континент за всю свою историю не имел такого долгогомирного периода, как при Антонинах в Риме и при династии Хань в Китае.Это облегчало проникновение знаний по континенту из Рима и Афин вМесопотамию, Китай и Индию.
Эллинистическая наука, как и прежде,проникала в Китай и Индию, испытывая в свою очередь влияние науки этихстран. Отблеск вавилонской астрономии и греческой математики падал наИталию, Испанию и Галлию — тому примером распространение в Римскойимперии деления угла и часа на шестьдесят частей. Существует теория Ф.Вёпке (F. Woepcke), по которой распространение в Европе так называемыхиндийско-арабских цифр связано с неопифагорейскими школами позднейРимской империи.
Возможно, что это верно, но если эти цифры настолькостары, то более вероятно, что на их распространение повлияла торговля, а нефилософия.Александрия оставалась центром античной математики. Велисьоригинальные исследования, хотя компилирование и комментирование всеболее становилось основным видом научной деятельности. Многиерезультаты античных математиков и астрономов дошли до нас в трудах этихкомпиляторов, и порой очень трудно выделить то, что они передают и чтоони открыли сами.
Пытаясь проследить постепенный упадок греческойматематики, мы должны учитывать и ее техническую сторону: неуклюжийгеометрический способ выражения при систематическом отказе оталгебраических обозначений, что делала почти невозможным какое-либопродвижение «за» конические сечения.
Алгебру и вычисления оставлялипрезренным людям Востока, на чье учение был нанесен тонкий слойгреческой цивилизации. Однако неверно утверждение, что александрийскаяматематика была чисто греческой в традиционном понимании Евклида —Платона: вычислительной арифметикой и алгеброй египетско-вавилонскоготипа занимались бок о бок с абстрактными геометрическимирассуждениями. Достаточно вспомнить о Птолемее, Героне и Диофанте,чтобы в этом убедиться. Объединяло различные расы и школы толькопользование греческим языком.- 75 -12.
Одним из самых ранних александрийских математиков римскогопериода был Никомах из Герасы (ок. 100 г.), чье «Арифметическоевведение»— наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорейскойарифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и варифметических книгах Евклида, но тогда, как у Евклида числаизображаютсяотрезками,Никомахпользуетсяарифметическимиобозначениями и, если имеет дело с неопределенными числами, обычнойречью. Полигональные и пирамидальные числа Никомаха оказали влияниена средневековую арифметику, главным образом через Боэция ').Одно из крупнейших произведений этого второго александрийскогопериода — «Великое собрание» Птолемея, более известное подарабизированным названием «Алмагест» (ок.
150г.). «Алмагест» —астрономический труд высшего мастерства и весьма оригинальный, хотямногие из его идей идут от Гиппарха или от Кидинну и других вавилонскихастрономов. В нем есть и тригонометрия с таблицей хорд для углов от 0° до180°, соответствующая таблице синусов для углов от 0° до 90° черезполградуса. Для синуса угла в 1° Птолемей нашел значение (1, 2, 50) = 1/60+2/602 + 5/603 = 0,017268 (точное значение 0,017453...), для л его значение (3,8, 30) = 377/120≈3,14166.
В «Алмагесте» мы находим формулу для синуса икосинуса суммы и разности двух углов и зачатки сферическойтригонометрии. Теоремы формулируются геометрически — нашисовременные тригонометрические обозначения идут лишь от Эйлера(восемнадцатый век). В «Алмагесте» мы находим и «теорему Птолемея» очетырехугольнике, вписанном в окружность, В «Планисферии» Птолемеярассматривается стереографическая проекция, а в его «Геометрии»положение на Земле определяется с помощью долготы и широты.Последние, таким образом, являются давним примером координат на сфере.На стереографической проекции основана конструкция астролябии —прибора, который применяли для определения положения на Земле.Астролябия была известна в древности, и ею широко пользовались до введе1) См.
главу V- 76 -ния октанта, позже — секстанта, в восемнадцатом веке1).Несколько старше Птолемея Менелай (ок. 100 г.). В его «Сферике»содержится геометрия сферы и рассматриваются сферические треугольники— предмет, которого нет у Евклида. Здесь мы находим «теорему Менелая»для треугольника в обобщенном для сферы виде. В астрономии Птолемеянемало вычислений в шестидесятичных дробях, а трактат Менелаягеометричен строго в духе евклидовой традиции.К эпохе Менелая, возможно, относится и Герон, — во всяком случае мызнаем, что он точно описал лунное затмение 62 г.2).
Герон былэнциклопедистом, он писал на геометрические, вычислительные имеханические темы, его произведения — любопытная смесь греческого ивосточного. В своей «Метрике» он выводит «формулу Герона» для площадитреугольника s ( s a)( s b)( s c) чисто геометрическим образом; самрезультат приписывается Архимеду. В той же «Метрике» мы находимтипично египетские «основные» дроби, например в приближении для√63=(7+ ½ +1/4 +1/8+ 1/16).
Формулу Герона для объема усеченнойпирамиды с квадратным основанием без труда можно свести к формуле,имеющейся в Московском папирусе. Напротив, определение объема пятиправильных многогранников у Герона — в духе Евклида.13. Еще сильнее восточный колорит в «Арифметике» Диофанта (ок. 250г.). Уцелели только шесть книг оригинала, общее их число — предметдогадок. Искусная трактовка в них неопределенных уравнений показывает,что древняя алгебра Вавилона или, быть может, Индии не толькосуществовала под тонким слоем греческой цивилизации, но еесовершенствовали немногочисленные деятели эпохи.
Как и когда этопроисходило, мы не знаем, как не знаем, кем был Диофант, — возможно, чтоон был эллинизированный вавилонянин. Его книга — один из наиболееувлекательных трактатов, сохранившихся от грекоримской древности.') Michel H. Traite de 1'astrolabe.—Paris, 194 7. См. также Neugebauer 0. The EarlyHistory of the Astrolabe / Isis.— 1949.—V. 40.—P. 240—256.2) Neugebauer O. Uber eine Methode zur Distanzbestimmung Alexandria — Rom beiNeron / Hist.
fil. Medd. Danske Vid. Sels.— 1938.— V. 26, № 2.— P. 28 и след.- 77 -В собрание Диофанта входят весьма разнообразные задачи, а их решениячасто в высшей степени остроумны. «Диофантов анализ» состоит внахождении решений неопределенных уравнений вида Ах2 + Вх + С = у , Ах3+ Вх2 + Cx + D = y2 или систем таких уравнений. Типично для Диофанта то,что его интересуют только положительные рациональные решения.Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательноподбирает коэффициенты так, чтобы получались искомые положительныерациональные решения.Среди этих уравнений мы обнаруживаем такие, как х2 — 26y2 = 1 и х2 —30y2 = 1, теперь известные как «уравнения Пелля».
У Диофанта естьнесколько теорем теории чисел, как, например, теорема (III, 19), чтопроизведение двух целых чисел можно двумя способами представить каксумму двух квадратов, если каждый сомножитель — сумма двух квадратов.Есть и теоремы о разбивке числа на сумму трех и четырех квадратов. УДиофанта мы впервые встречаем систематическое использованиеалгебраических символов.
У него есть особые знаки для неизвестного, дляминуса, для обратной величины. Эти знаки все еще скорее сокращения, чемалгебраические символы в нашем смысле (они образуют так называемуюреторическую алгебру); для каждой степени неизвестного был особыйсимвол1). Нет сомнения, что здесь перед нами не только арифметическиевопросы вполне алгебраического характера, как в Вавилоне, но и хорошоразвитые алгебраические обозначения, которые весьма способствовалирешению задач значительно более сложных, чем любые ранее поставленные.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
