Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Дифференциальныеуравнения.— 3е изд.— М.: Гостехиздат, 1950).- 64 -зерцательными интересами. Возможно и то, что в этом сказалась победа вобласти философии математики идеализма Платона над материализмомДемокрита.6. В 334 г. до н. э. Александр Македонский начал завоевание Персии. В323 г., когда он умер в Вапилоне, весь Ближний Восток был в руках греков.Полководцы Александра разделили между собой его завоевания, и современем возникли три империи: Египет, под властью Птолемеев;Месопотамия и Сирия, под властью Селевкидов; Македония, под властьюАнтигона и его преемников.
Даже в долине Инда были греческие князья.Началась эпоха эллинизма.Прямым последствием походов Александра было то, что ускорилосьпроникновение греческой цивилизации в обширные районы восточногомира. Эллинизировались Египет, Месопотамия, часть Индии. Грекихлынули на Ближний Восток — торговцы, купцы, врачи, путешественники,наемники, искатели приключений. В городах — многие из них были недавнооснованы, что было легко распознать по их эллинистическим названиям,—военное дело и администрация были в руках греков, население былосмешанным, грековосточным. Но эллинизм был существенно городскойцивилизацией.
Село сохранило свое коренное население и свойтрадиционный жизненный уклад. В городах же старая культура Востокасоприкасалась с импортированной цивилизацией греков и частично"мешалась с нею, хотя всегда оставалось в силе глубокое различие этих двухмиров. Монархи эпохи эллинизма следовали восточным обычаям, решаливосточные проблемы управления, попоощряли греческое искусство,греческую литературу и греческую науку.Так и греческая математика была пересажена в новую среду.
Онасохранила многие свои прежние особенности, но испытала влияние техадминистративных и астрономических запросов, которые выдвигал Восток.Такое тесное соприкосновение греческой науки с Востоком оказалосьисключительно плодотворным, особенно в первые столетия. Фактически всядействительно творческая работа, которую мы называем «греческойматематикой», была проделана за сравнительно короткий срок от 350 до 200г.
до н. э., от Евдокса до Аполлония, и даже достижения Евдокса известнынам только в том истолковании, в каком мы их находим у Евклида иАрхимеда. Замечательно также, что наибольшего расцвета этаэллннистическая математика достигла в Египте Птолемеев,- 65 -а не в Месопотамии, хотя в Вавилоне коренная математика была на болеевысоком уровне.Возможно, что это было обусловлено центральным положением Египтатой эпохи в средиземноморском мире. Его новая столица, Александрия,построенная на берегу моря, стала умственным и хозяйственным центромэллинистического мира. Вавилон же прозябал, как отдаленный центркараванных путей, да и вовсе сходил ее сцены — его сменилКтесифонСелевкия, новая столица империи Селевкидов.
Насколько намизвестно, ни один из великих греческих математиков не был когдалибосвязан с Вавилоном. В Антиохии и Пергаме, тоже городах Селевкидскойимперии, но более близких к Средиземному морю, были важные школыгреческой науки, Однако коренная вавилонская астрономия и математикакак раз при Селевкидах достигли своей высшей точки, и мы только теперьначинаем лучше понимать, насколько существенно было их воздействие нагреческую астрономию. Кроме Александрии, были и другие центрыматематической науки, прежде всего Афины и Сиракузы.
Афины сталиобразовательным центром, а Сиракузы дали Архимеда, величайшегогреческого математика.7. В эту эпоху появился профессиональный ученый — человек,посвящающий свою жизнь развитию науки и получающий за этовознаграждение. Некоторые из наиболее выдающихся представителей такойгруппы людей жили в Александрии, где Птолемеи построили большойнаучный центр, так называемый Музей с его знаменитой библиотекой. Тамсберегали и умножали научное и литературное наследие греков и добилисьпри этом значительных успехов. Одним из первых связанных сАлександрией ученых был Евклид, который является одним из наиболеевлиятельных математиков всех времен.О жизни Евклида мы не имеем никаких достоверных данных. Вероятно,он жил во времена первого Птолемея (306—283), которому, согласнопреданию, он заявил, что к геометрии нет «царской дороги».
Его наиболеезнаменитое и наиболее выдающееся произведение — тринадцать книг его«Начал» (Stoicheia), но ему приписывают несколько других меньших трудов.Среди последних так называемые «Данные» (Data), содержащие то, что мыназвали бы приложениями алгебры к геометрии, но все это изложено строгогеометрическим языком. Мы не знаем, какая часть этих трудов принадлежитсамому Евклиду и какую часть составляют компиляции, но во мно- 66 -гих местах проявляется поразительная проницательность.
Это первыематематические труды, которые дошли до нас от древних греков полностью.В истории Западного мира «Начала», после Библии, верояшо, наибольшеечисло раз изданная и более всего изучавшаяся книга. После изобретениякнигопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга,преимущественно в рукописном виде, была основной при изучениигеометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована частобуквально из первых шести книг «Начал», и традиция Евклида до сих портяготеет пад нашим элементарным обучением. Для профессиональногоматематика эти книги все еще обладают неотразимым очарованием, а ихлогическое построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше,чем какое бы то ни было другое произведение.Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теоремиз системы определений, постулатов и аксиом.
В первую четырех книгахрассматривается геометрия на плоскости. Исходя из наиболее простыхсвойств линий и углов, мы приходим здесь к равенству треугольников,равенству площадей, теореме Пифагора (I, 47), построению квадрата,равновеликого заданному прямоугольнику, к золотому сечению, кругу и кправильным многоугольникам. В книге V изложена евдоксова теориянесоизмеримых в ее чисто геометрической форме, в книге VI эта теорияприменена к подобию треугольников. Такое введение подобия — аа стольпозднем этапе — составляет одно из наиболее существенных различиймежду изложением планиметрии у Евклида и современным. Приписать егоследует тому значению, которое Евклид придавал новой евдоксовой теориинесоизмеримых. Эти геометрические рассмотрения завершаются в десятойкниге, которую многие считают наиболее трудной у Евклида.
В ней данагеометрическая классификация квадратичных иррациональностей и корнейквадратных из них, то есть тех чисел, которые мы представляем в видеa b . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Оттелесных углов, объемов параллелепипедов, призм и пирамид мы доходимздесь до шара и до того, что по замыслу должно, видимо, венчать весь труд:исследования пяти правильных («платоновых») тел и доказательства, что ихсуществует только пять,- 67 -Книги VII—IX посвящены теории чисел, но не технике вычислений, атаким «пифагорейским» вопросам, как делимость целых чисел,суммирование геометрических прогрессий, и некоторым свойствам простыхчисел. Тут мы встречаем и «алгоритм Евклида» для определениянаибольшего общего делителя заданной системы чисел, и «теоремуЕвклида», что простых чисел бесконечно много (IX, 20).
Особый интереспредставляет теорема VI, 27: в ней идет речь о первой из дошедших до насзадач на максимум и доказывается, что из прямоугольников заданногопериметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пятый постулат книги I(неясно, в каком отношении находятся у Евклида «аксиомы» и «постулаты»)эквивалентен так называемой «аксиоме параллельных», согласно которойчерез точку вне заданной прямой можно провести одну и только однупрямую, ей параллельную. Попытки сделать из этой аксиомы теоремузаставили в девятнадцатом столетии полностью оценить мудрость Евклида:это утверждение было признано аксиомой, и в связи с этим были открытыдругие, так называемые неевклидовы геометрии.Алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно вгеометрическом виде. Выражение вида √А вводится как сторона квадрата сплощадью А, произведение а • b — это площадь прямоугольника состоронами а и b. Такой способ представления прежде всего был вызвантеорией отношений Евдокса, в которой сознательно отвергались численныевыражения для отрезков прямой и, таким образом, несоизмеримыерассматривались только геометрически: «числами» считались только целыечисла или рациональные дроби.Какую цель ставил себе Евклид, когда писал свои «Начала»? Мы можем сизвестной уверенностью полагать, что он хотел совместно изложить в одномтруде три великих открытия недавнего прошлого: теорию отношенийЕвдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел,занимавших выдающееся место в космологии Платона.
То были тритипично «греческих» достижения.8. Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира былАрхимед (287—212), живший в Сиракузах, где он был советником царяГиерона. Он — один из немногих ученых античности, которых мы знаем нетолько по имени: сохранились некоторые сведения о его жизни и личности.Мы знаем, что он был убит, когда- 68 -римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусствоАрхимеда было использовано защитниками города.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
