Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

К этому периоду относятся также попытки применить теорию вероятностей к суждениям человека; например, подсчитывали шансы на то, что какой-либо трибунал сможет вынести правильный приговор, если для каждого из свидетелей можно указать число, выражающее вероятность того, что он будет говорить правду. Эта забавная «вероятность суждений», которая отдает философией века Просвещения, занимает видное место в трудах маркиза Кондорсе; она появляется еще у Лапласа и даже у Пуассоиа (1837 г.).

8. Де Муавр, Стирлинг и Ланден — добротные представители английской математики восемнадцатого века. Но мы должны сказать и о некоторых других англичанах, хотя никто из них не мог равняться со своими коллегами на континенте. Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс. Были и глубокие общественные причины, в силу

которых английские математики не освобождались от флюксионных методов Ньютона. В Англии, которая вела непрерывную торговую войну с Францией, развивалось чувство интеллектуального превосходства, которое поддерживалось не только победами, военными и торговыми, но тем восхищением, которое вызывала у континентальных философов английская политическая система. Англия стала жертвой своего воображаемого совершенства. Есть сходство между английской математикой восемнадцатого века и античной математикой позднеалександрийской эпохи. В обоих случаях неподходящие обозначения технически затрудняли прогресс, а причины того, что математики ими удовлетворялись, были более глубокого общественного характера.

Ведущим английским, вернее пользовавшимся английским языком, математиком этого периода был Колин Маклорен, профессор Эдинбургского университета, последователь Ньютона, с которым он был лично знаком. Его исследования и обобщения флюксионного метода, работы по кривым второго и более высокого порядка и по притяжению эллипсоидов шли параллельно с исследованиями Клеро и Эйлера. Некоторые из теорем Маклорена вошли в нашу теорию плоских кривых и в нашу проективную геометрию. В его «Органической геометрии» (Geometria organica, 1720 г.) мы находим замечание, известное как парадокс Крамера: кривая п-го порядка не всегда определяется n(n+3)/2 точками, так что девять точек могут не определять однозначно кривую третьего порядка, тогда как может оказаться, что десяти точек слишком много. Здесь же мы находим кинематические методы для описания плоских кривых различных порядков. «Трактат о флюксиях» Маклорена (Treatise of fluxions, 2 тома, 1742г.), написанный в защиту Ньютона против Беркли, читать трудно из-за его архаичного геометрического языка, что находится в резком контрасте с доступностью работ Эйлера. Маклорен обычно стремился к строгости Архимеда. В книге содержатся исследования Маклорена о притяжении эллипсоидов вращения и его теорема, что два таких конфокальных эллипсоида притягивают частицу на оси или на экваторе силами, пропорциональными их объемам. В этом трактате Маклорен оперирует также со знаменитым «рядом Маклорена».

Впрочем, этот ряд не был новым открытием, так как он появился в «Методе приращений» (Methodus incrementorum, 1715г.), написанном Бруком Тейлором, в то время

секретарем Королевского общества, а еще раньше был открыт И.Бернулли и по сути был известен Лейбницу. Маклорен признает то, что он полностью обязан Тейлору. Ряд Тейлора теперь всегда приводят в обозначениях Лагранжа:

f(x+h)=f(x)+hf ’(x)+h²/2! *f ”(x)+…

Тейлор явно приводит этот ряд для x=0, что многие учебники еще упорно называют рядом Маклорена В выводе Тейлора нет соображений относительно сходимости ряда, но Маклорен положил начало таким исследованиям и даже владел так называемым интегральным признаком сходимости бесконечных рядов. Полностью важность ряда Тейлора была признана лишь после того, как Эйлер использовал его в своем «Дифференциальном исчислении» (1755г.). Лагранж добавил к нему остаточный член и положил его в основу своей теории функций. Сам Тейлор использовал свои ряд для интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Он начал исследование колебаний струны, что затем было предметом работ Даламбера и др. (см. с. 164).

9. Жозеф Луи Лагранж родился в Турине в итало-французской семье. Девятнадцати лет от роду он стал профессором математики артиллерийской школы в Турине (1755г). В 1766г. Эйлер уехал из Берлина в Петербург, Фридрих II пригласил Лагранжа в Берлин и в этом скромном приглашении было сказано что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». Лагранж оставался в Берлине до смерти Фридриха (1786г.), после чего он переехал в Париж. Во время революции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной школы (1795 г.), а затем Политехнической школы (1797г.).

Исследования по вариационному исчислению относятся к раннему периоду деятельности Лагранжа. Мемуар Эйлера по этому вопросу появился в 1755г. Лагранж заметил, что метод Эйлера не обладает «всей той простотой, которая желательна в вопросе чистого анализа» В результате появилось чисто аналитическое вариационное исчисление Лагранжа (1760-1761 гг.), в котором не только много оригинальных открытий, но и отлично упорядочен и переработан накопленный исторический материал — то, что характерно для всего творчества Лагранжа. Лагранж

с

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813)

разу применил свою теорию к задачам динамики, причем он полностью использовал эйлерову формулировку принципа наименьшего действия — результат плачевного эпизода с «Акакием». Многие из основных идей «Аналитической механики» (Мёсаnique analytique, 1788 г.) восходят к туринскому периоду жизни Лагранжа. Он принял участие также в разработке одной из основных проблем своего времени, теории движения Лупы. Он дал первые частные решения задачи трех тел. Теорема Лагранжа утверждает, что можно найти такое начальное положение трех тел, при котором их орбитами будут подобные эллипсы, описываемые за одно и то же время (1772г.). В 1767г. появился его мемуар «О решении численных уравнений» (Sur la resolution des equations numeriques), в котором он изложил методы отделения вещественных корней алгебраического уравнения и их приближенного вычисления с помощью непрерывных дробей. За этим в 1770г. последовали «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (Reflexions sur la resolution algebrique des equations), в которых рассматривается основной вопрос, почему те методы, которые позволяют решать уравнения не выше четвертой степени, ничего не дают для степени, большей четырех. Это привело Лагранжа к рациональным функциям от корней и к исследованию их поведения при перестановках корней. Такой метод не только был стимулом для Руффини и Абеля в их работах относительно случая п > 4, по он привел Галуа к его теории групп. Лагранж также продвинул теорию чисел, в которой он исследовал квадратичные вычеты, и среди ряда других теорем доказал то, что каждое целое число есть сумма четырех или меньшего числа квадратов

Вторую часть своей жизни Лагранж посвятил созданию больших трудов: «Аналитической механики» (1788 г.), «Теории аналитических функций» (Theorie des fonctions analytiques, 1797 г.) и ее продолжения—«Лекций по исчислению функций» (Lecons sur le calcul des fonctions, 1801 г.). Обе книги по теории функций являются попыткой подвести надежный фундамент под анализ, сведя его к алгебре. Лагранж отбросил теорию пределов в том виде, как она была указана Ньютоном и сформулирована Даламбером. Он не мог как следует уяснить себе, что происходит, когда ∆y/∆x достигает своего предела. Говоря словами Лазаря Карно, «организатора победы» во времена французской революции, который также был недоволен ньютоновским методом бесконечно малых: «Этот метод имеет тот большой недостаток, что количества рассматриваются в состоянии, когда они, так сказать, перестают быть количествами; ибо хотя мы всегда хорошо представляем себе отношение двух количеств, пока они остаются конечными, с этим отношением наш ум не связывает ясного и точного представления, как только его члены, оба в одно и то же время, становятся ничем» ¹). Метод Лагранжа отличается от метода его предшественников. Он начинает с ряда Тейлора, который выводится вместе с остаточным членом, доказывая несколько наивным способом, что «произвольная» функция f(x) может быть разложена в такой ряд с помощью чисто алгебраического процесса. Затем производные f’(x), f"(x),... определяются как коэффициенты при h, h²,... в разложении Тейлора f(x + h) по степеням h. (Обозначения f'(x), f"(х),... принадлежат Лагранжу.)

Хотя этот алгебраический метод обоснования анализа оказался неудовлетворительным, и хотя Лагранж не уделил достаточного внимания сходимости рядов, такая абстрактная трактовка функций была значительным шагом вперед. Здесь впервые выступает на сцену теория функций вещественного переменного с применениями к разнообразным задачам алгебры и геометрии.

«Аналитическая механика» Лагранжа — это, может быть, наиболее ценный его труд, который все еще заслуживает тщательного изучения. В этой книге, которая по

') Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых — М 1936 См также Cajori F. / Amer. Math. Monthly. 1915. V. 22. P. 148.

явилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мошь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел. Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления самого Лагранжа оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики, в статике — путем использования принципа виртуальных скоростей, в динамике — принципа Даламбера. Это естественным образом привело к обобщенным координатам и к уравнениям движения в их лагранжевой форме:

Теперь уже был полностью отброшен геометрический подход Ньютона; книга Лагранжа была триумфом чистого анализа, и ее автор зашел настолько далеко, что подчеркивал в предисловии: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней только алгебраические операции» ¹). Это характеризует Лагранжа как первого чистого аналитика.

10. Мы переходим к Пьеру Симону Лапласу, последнему из ведущих математиков восемнадцатого века. Сын скромного землевладельца в Нормандии, он учился в Бомоне и Кане, с помощью Даламбера стал профессором математики военной школы в Париже. Он занимал и несколько других преподавательских и административных должностей, во время революции принимал участие в организации как Нормальной, так и Политехнической школы. Наполеон удостоил его многих почестей, но то же делал и Людовик XVIII. В противоположность Монжу и Карно Лаплас легко менял свои политические привязанности, и при всем том в нем было кое-что от сноба. Впрочем, такая неустойчивость позволила ему продолжать свою чисто математическую деятельность при всех политических изменениях во Франции.

Двумя большими трудами Лапласа, в которых дана сводка не только его исследований, но и всех предыдущих работ в соответствующих областях, являются «Аналитическая теория вероятностей» (Theorie analytique des probabilites, 1812 г.) и «Небесная механика» (Mecanique celeste, 1799—1825гг., в 5 томах). Обоим монументальным произведениям сопутствовали развернутые популярные из

¹⁾ Характерно слово «алгебраический» вместо «аналитический».

л

Пьер Симон Лаплас

(1749—1827)

ожения «Философский опыт относительно вероятностей» (Essai philosophique sur les probabilifes, 1814 г.) и Изложение системы мира» (Exposition du systeme du monde, 1796г.). Это «Изложение» содержит гипотезу о происхождении солнечной системы из туманности, предложенную до того Кантом в 1755г. (и даже раньше Канта Сведенборгом в 1734г.). «Небесная механика» является завершением трудов Ньютона, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лаграижа и Лапласа по теории фигуры Земли, теории Луны, по задаче трех тел и теории возмущений планет, включая основную проблему об устойчивости солнечной системы. Термин «уравнение Лапласа» напоминает нам о том, что одной из частей «Небесной механики» является теория потенциала.

(Само это уравнение было найдено Эйлером в 1752г. при выводе некоторых основных уравнений гидродинамики.) С этими пятью томами связано немало анекдотов. Хорошо известен предполагаемый ответ Лапласа Наполеону, который попытался упрекнуть его, заявив, что в его книге нет упоминаний о боге: «Государь, я не нуждался в этой гипотезе». А Натаниел Боудич из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа на английский язык, как-то сказал: «Всегда, когда я встречал у Лапласа заявление „Итак, легко видеть...", я был уверен, что мне потребуются часы напряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как это легко видеть». Математическая карьера Гамильтона началась с того, что он нашел ошибку в «Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли о математической теории электричества при чтении Лапласа.

Характеристики

Список файлов книги