Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

7

Исаак Ньютон (1642—1727)

. Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Виллиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665— 1666 гг.), Лейбниц в 1673—1676гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати (Лейбниц в 1684—1686гг., Ньютон в 1704—1736гг. (посмертно)). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.

Исаак Ньютон был сыном землевладельца в Линкольншире. Он учился в Кембридже, возможно, что у Исаака Барроу, который в 1669 г. передал ему свою профессорскую кафедру (примечательное явление в академической жизни), так как Барроу открыто признал превосходство Ньютона. Ньютон оставался в Кембридже до 1696 г.,

') «Brouillon projet d'une atteinte aux evenements des rencontres d'un cone avec un plan».

когда он занял пост инспектора, а позже начальника монетного двора. Его исключительный авторитет в первую очередь основан на его «Математических принципах натуральной философии» (Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687 г.), огромном томе, содержащем аксиоматическое построение механики и закон тяготения — закон, управляющий падением яблока на землю и движением Луны вокруг Земли. Ньютон строго математически вывел эмпирически установленные законы Кеплера движения планет из закона тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния и дал динамическое объяснение приливов и многих явлений при движении небесных тел. Он решил задачу двух тел для сфер и заложил основы теории движения Луны. Решив задачу о притяжении сфер, он тем самым заложил основы и теории потенциала. Его аксиоматическая трактовка требовала абсолютности пространства и абсолютности времени.

Трудно разглядеть за геометрической формой его доказательств, что их автор полностью владел анализом, который он называл теорией флюксий. Ньютон открыл свой общий метод в течение 1665—1666 гг., когда он находился на своей родине, в деревне, спасаясь от чумы, поразившей Кембридж. К этому времени относятся его основные идеи о всемирном тяготении, а также о сложном составе света. «В истории науки нет равного примера таких достижений, как достижения Ньютона в течение этих двух золотых лет»,— заметил профессор Мор ¹).

Открытие Ньютоном флюксий стоит в тесной связи с его изучением бесконечных рядов по «Арифметике» Валлиса. При этом Ньютон обобщил биномиальную теорему на случаи дробных и отрицательных показателей и таким образом открыл биномиальный ряд. Это в свою очередь значительно облегчило ему распространение его теории флюксий на «все» функции, будь они алгебраическими или трансцендентными. «Флюксия», которая обозначалась точкой, помещенной над буквой, была конечной величиной, скоростью, а буквы без точки обозначали «флюэпты». Мы приведем здесь пример того, как Ньютон разъяснял свой метод (из «Метода флюксий», 1736 г.). Переменные, являющиеся флюэнтами, обозначены через v, х, у, z, «а скорости, с которыми каждая

') More L. Т. Isaac Newton, A Biography.—N. Y.; London, 1934.— P. 41.

флюэнта увеличивается в силу порождающего движения (которые я могу назвать флюксиями или попросту скоростями или быстростями), я буду изображать теми же буквами с точкой, а именно v^*, х^*, у^*, z^*. Бесконечно малые у Ньютона именуются «моментами флюксий» и обозначаются через v‛o, х‛о, у‛о, z‛о, где о — «бесконечно малое количество». Ньютон продолжает:

«Итак, пусть дано уравнение x³ — ах² + аху — у =0, подставим х + хо вместо х, у + у о вместо у, тогда мы получим

х³ + Зх²хо + Зххохо + х³о³ — ах² — 2аххо — ахохо + аху + аухо + ахоуо + ахуо — у³ — 3y²yо — 3ууоуо — у³о³ = 0.

Но согласно допущению х³ — ах² + аху — у³ = 0, и, после исключения этого уравнения и деления остающихся членов на о, у нас останется

3х²х — 2ахх + аух + аху — 3y²у + 3ххо — аххо + ахуо — 3уууо + х³оо — у³оо = 0.

Но поскольку нуль мы считаем бесконечно малым, так что он может представлять моменты количеств, то члены, которые умножены на него, суть ничто по сравнению с остальными; поэтому я отбрасываю их, и у нас остается

3х²х^* — 2ахх^* + аух^* + аху^* — 3y²y^* = 0».

Этот пример показывает, что Ньютон первоначально считал свои производные скоростями, но он показывает также, что способ выражения Ньютона не был вполне определенным. Являются ли символы «о» нулями? или бесконечно малыми? или это конечные числа? Ньютон пытался разъяснить свою точку зрения с помощью теории «первых и последних отношений», которую он ввел в своих «Началах» и которая включала в себя понятие предела, но в таком виде, что применять его было трудно.

«Эти последние отношения исчезающих количеств не являются в точности отношениями последних количеств, а пределами, к которым постоянно приближаются отношения беспредельно убывающих количеств и к которым они приближаются более чем на любую заданную разность, но никогда не переходят через них и в действи

тельности не достигают их ранее, чем эти количества не уменьшатся до бесконечности» («Начала», книга I, отдел I, последняя схолия).

«Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно приближаются к равенству н до истечения этого времени подходят одно к другому ближе, чем па любую заданную разность, становятся в конце концов равными» («Начала», книга I, отдел I, лемма I).

Это далеко не ясно, трудности, связанные с пониманием ньютоновой теории флюксий, повлекли за собой много недоразумений и вызвали суровую критику епископа Беркли в 1734 г. Эти недоразумения были устранены лишь после четкого установления современного понятия предела.

Ныотон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьего порядка. В «Перечислении линий третьего порядка» (Enumeratio linearum tertii ordinis, 1704 г.) он дал классификацию плоских кривых третьей степени на 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую кривую можно получить из «расходящейся параболы» y² = ах³ + bх² + сх + d при центральном проектировании одной плоскости на другую. Это было первым важным новым результатом, полученным путем применения алгебры к геометрии, так как все предыдущие работы были просто переводом Аполлония на алгебраический язык. Ньютону принадлежит также метод получения приближенных значений корней численных уравнений, который он разъяснил на примере уравнения x³ –2х– 5 = 0, получив х≈2,09455147.

Трудно оценить влияние Ньютона на его современников из-за того, что оп постоянно колебался, публиковать ли ему свои открытия. Впервые он проверил закон всемирного тяготения в 1665—1666гг., но сообщил об этом лишь тогда, когда представил в рукописи большую часть своих «Начал» (1686г.). Его «Всеобщая арифметика» (Arithmetica universalis), составленная из лекций по алгебре, прочитанных между 1673 и 1683 гг., была напечатана в 1707г. Его работа о рядах, восходящая к 1669г., была предметом письма к Ольденбергу в 1676г., а появилась в печати в 1711г. Его работа о квадратуре кривых (1671 г.) была напечатана только в 1704 г., и тогда впервые миру стала известна теория флюксий. «Метод флюксий» появился только после смерти Ньютона, в 1736 г.

8

Готфрид Вильгельм Лейбниц

(1646-1716)

. Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге, а большую часть жизни провел при ганноверском дворе, на службе у герцогов, один из которых стал английским королем под именем Георга I. Лейбниц был еще более правоверным христианином, чем другие мыслители его столетия. Кроме философии, он занимался историей, теологией, лингвистикой, биологией, геологией, математикой, дипломатией и «искусством изобретения». Одним из первых после Паскаля он изобрел счетную машину, пришел к идее парового двигателя, интересовался китайской философией и старался содействовать объединению Германии. Основной движущей пружиной его жизни были поиски всеобщего метода для овладения наукой, создания изобретений и понимания сущности единства вселенной. «Общая наука» (Scicntia universalis), которую он пытался построить, имела много аспектов, и некоторые из них привели Лейбница к математическим открытиям. Его поиски «всеобщей характеристики» привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и к символической логике; поиски «всеобщего языка», в котором все ошибки мысли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только к символической логике, но и к многим новшествам в математических обозначениях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобрел анализ: это было результатом его поисков «универсального языка», в частности языка, выражающего изменение и движение.

Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личным влиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля. Его подстегивало то, что он знал,

что Ньютон обладал подобным методом. Подход Ньютона был в основном кинематическим; подход Лейбница был геометрическим: он мыслил в терминах «характеристического треугольника» (dx, dy, ds), который уже появлялся в нескольких других работах, а именно у Паскаля¹) и в «Геометрических лекциях» (Geometrical Lectures, 1670г.) Барроу. Впервые анализ в форме Лейбница был изложен им в печати в 1684 г. в шестистраничной статье в Ada Eruditorum, математическом журнале, который был основан при его содействии в 1682 г.

Характерно название этой статьи: «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого». Изложение было трудным и неясным, но статья содержала наши символы dx, dy и правила дифференцирования, включая d(uv)=udv + vdu и дифференцирование дроби, а также условие dy = 0 для экстремальных значений и d²y = 0 для точек перегиба. За этой статьей последовала в 1686 г. другая статья с правилами интегрального исчисления и с символом ∫ (она была написана в форме рецензии). Уравнение циклоиды было дано в виде

С появлением этих статей начался исключительно плодотворный период математической деятельности. После 1687г. к Лейбницу присоединились братья Бернулли, которые с жадностью осваивали его методы. Еще до 1700г. они втроем открыли значительную часть нашего основного курса анализа и несколько важных разделов в более сложных областях, включая решение некоторых задач вариационного исчисления. В 1696 г. появился первый учебник по анализу. Он был написан маркизом Лопиталем, учеником Иоганна Бернулли, опубликовавшим лекции своего учителя по дифференциальному исчислению в книге «Анализ бесконечно малых» (Analyse des infmiment petits). В этой книге мы находим так называемое

') Термин «характеристический треугольник», повидимому, впервые был применен Лейбницем, который нашел его при чтении работы Паскаля «Трактат о синусах четверти круга», составляющей часть писем к Деттопвилю (1658 г.) Он встречается уже у Спеллиуса в Tiphys Batavus.— 1624,— P. 22—25.

«правило Лопиталя» для нахождения предельного значения дроби, оба члена которой стремятся к нулю¹).

Характеристики

Список файлов книги