Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Теоретическая математика не исчезла целиком в Средние века, но ею занимались не люди дела, а философы-схоласты. У схоластов изучение Платона и Аристотеля, в сочетании с размышлениями о природе божества, приводило к тонким рассуждениям относительно сущности движения, сущности континуума и бесконечности. Ориген, следуя Аристотелю, отрицал существование актуально бесконечного, но святой Августин в своем «Граде божьем» принимал всю последовательность целых чисел как актуальную бесконечность. Он говорит об этом так, что, по замечанию Георга Кантора, нельзя более энергично стремиться к трансфинитному и нельзя его лучше определить и обосновать, чем святой Августин1). Писатели-схоласты средневековья, в частности Фома Аквинский, принимали аристотелевское «нет актуально бесконечного» (infinitum actu non datur) и каждый континуум рассматривали как потенциально делимый до бесконечности. Таким образом, не было наименьшего отрезка, ибо каждая часть отрезка обладала свойствами отрезка. Поэтому точка не была частью линии, поскольку точка неделима: «из неделимых нельзя составить какоголибо континуума» (ex indivisibilis non potest compari aliquod continuum). Точка могла образовать линию с помощью движения. Подобные рассуждения оказали влияние на изобретателей исчисления бесконечно малых в семнадцатом веке и на философов, занимавшихся трансфинит
Начиная с 1494 г. во всех счетных книгах Медичи пользовались только пндийскоарабскими цифрами. (Данные из письма Флоренс Эдлер де Рувер.) См. также Е d 1 е г F. Glossary of Medieval Terms of Business.— Cambridge, Mass., 1934.— P. 389.
1) Письмо Кантора к Эйленбергу (Eulenberg), 1886; см. Can'tоr G. Ges. Abhandlungen.—Berlin, 1932.—S. 400—402. Кантор цитирует восемнадцатую главу двенадцатой книги «Града божьем», отрывок, озаглавленный «Против тех, что говорят, будто бесконечные предметы превышают знание божье».
ным, в девятнадцатом веке; Кавальери, Такке, Больцано и Кантор знали авторов-схоластов и размышляли о значении их идей.
[5] Ученые средневековья, о которых идет здесь речь, рассматривали понятия разрывного и непрерывного, конечного и бесконечного преимущественно в связи с философскими и физическими (анализ процесса движения) проблемами. Но физика еще не стала экспериментальной наукой, математика не располагала достаточно удобным языком алгебраических обозначений, так что в логическом анализе понятий непрерывности и бесконечности схоласты четырнадцатого века оперировали, в сущности, тем же материалом, который был в распоряжении античной науки, и наталкивались на те же трудности. Поэтому в ближайшие столетия интерес к такой проблематике ослабевает. Новое обращение к ней в семнадцатом веке связано с успехами новой физики и механики. Галилей нигде не упоминает своих схоластических предшественников. Кавальери фактически не опирается на них. Вообще преодоление (в том или ином смысле, включая и отбрасывание) парадоксов бесконечного» и других «парадоксов» всякий раз происходило в силу возникновения новых проблем и формирования или вторжения новых понятий Обращение же к прошлому (у тех, кто его знал) позволяло оценить меру продвижения, иной раз — использовать авторитет предшественников').
Эти духовные лица иной раз получали результаты, которые имели непосредственное математическое значение. Томас Брадвардин, который стал архиепископом Кентерберийским, изучив Боэция, занимался исследованием звездчатых многоугольников. Наиболее значительным среди этих средневековых математиков из духовенства был Николай Орезм, епископ города Лизье в Нормандии, применявший дробные степени. Так как 43 = 64 = 82, он записывал 8 как [1Р ½]4 или как [p*1/(1*2)], что обозначало 4^(1½). Он написал также трактат под названием «О размерах форм» (De latitudinibus formarum, ок. 1360 г.), в котором он графически сопоставляет значение зависимого переменного (latitude) и независимого переменного (longitudo). Эго нечто вроде перехода от координат на земной или небесной сфере, известных в античности, к современной координатной геометрии. Этот трактат несколько раз был напечатан между 1482 и 1515 гг., и возможно, что он оказал влияние как на математиков Ренессанса, так и на Декарта.
') См., например, Pogrebysski J. Sur la prehi«!oire de la flicorie des ensembles / Melanges, A. Koyre.— Pans, 1964. 110
6. Математика развивалась главным образом в растущих торговых городах, под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономии и землемерия. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Зомбарт окрестил эту заинтересованность бюргерства пятнадцатого и шестнадцатого столетий немецким словом Rechenhaftigkeit1). Ведущими представителями этой приверженности к практической математике были мастера счета, и только изредка к ним присоединялся ктолибо из университетских людей, понявший благодаря изучению астрономии важность улучшения вычислительных методов. Центрами новой жизни были итальянские города и такие города Центральной Европы, как Нюрнберг, Вена и Прага. После падения Константинополя в 1453г., когда Византийская империя перестала существовать, многие ученые греки переселились в города Запада. Возрос интерес к оригинальным греческим произведениям, и стало легче удовлетворять этот интерес. Профессора университетов и образованные миряне изучали греческие тексты, а честолюбивые мастера счета не оставались в стороне и старались понять эту новую науку на свой манер.
Типичен для этого периода Иоганн Мюллер из Кенигсберга, иначе Региомонтанус, ведущая математическая фигура пятнадцатого столетия. В деятельности этого замечательного вычислителя, мастера инструментов, печатника и ученого выявились те достижения европейской математики, которые были сделаны в течение двух столетий после Леонардо Пизанского. Региомонтанус усердно переводил и публиковал доступные ему математические рукописи классиков. Еще его учитель, венский астроном Георгий Пейрбах (Peurbach), автор астрономических и тригонометрических таблиц, начал переводить с греческого языка астрономию Птолемея. Региомонтанус закончил этот перевод и, кроме того, перевел Аполлония, Герона и наиболее трудного из всех — Архимеда. Его главное оригинальное произведение — книга «О различных треугольниках» (Dp triangulis omnimodus libri qninkue, 1464 г., напечатана лишь в 1533 г.), полное введе
1) Sombart W. Der Bourgeois,— Miinchen; Leipzig, 1913.— S. 164. Есть русский перевод: Зомбарт В. Буржуа. — М., 1924. Rechenhaftigkeit — «расчетолюбие». Это слово должно указывать на готовность вычислять, на убеждение в полезности занятий арифметикой.
ние в тригонометрию, отличающееся от наших нынешних учебников главным образом отсутствием современных удобных обозначений. Здесь содержится теорема синусов для сферического треугольника. Все теоремы все еще формулируются словесно. Отныне тригонометрия становится наукой, не зависящей от астрономии. Нечто подобное было сделано Насир-ад-Дином в тринадцатом столетии, но существенно то, что его труды не получили значительного дальнейшего развития, тогда как книга Региомонтануса оказала глубокое влияние на дальнейшее развитие тригонометрии и на ее применение к астрономии и алгебре. Много труда положил Региомонтанус и на вычисление тригонометрических таблиц. Он составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту, принимая радиус окружности равным 60 000 (опубликована в 1490 г.).
Значения синуса рассматривались как отрезки, представляющие полухорды соответствующих углов в круге, поэтому они зависели от длины радиуса. При большем радиусе достигалась большая точность и не надо было применять шестидесятичные (или десятичные) дроби. Систематическое применение радиуса, равного 1, и тем самым определение синуса, тангенса и т. д. как отношений (чисел) идет от Эйлера (1748 г.).
7. До сих пор прежние достижения греков и арабов не были заметным образом превзойдены. Классики оставались пес plus ultra ') науки. Поэтому, когда итальянские математики в начале шестнадцатого века на деле показали, что можно развить новую математическую теорию, которой не было у древних и у арабов, это было большой и вдохновляющей неожиданностью. Такая теория, которая привела к общему алгебраическому решению кубических уравнений, была открыта Сципионом дель Ферро и его учениками в Болонском университете.
В итальянских городах и после эпохи Леонардо математика занимала второе место. В пятнадцатом столетии мастера счета в Италии владели арифметическими операциями, включая действия с иррациональностями (без каких-либо угрызений математической совести), а итальянские художники были хорошими геометрами. Вазари 2) в своих «Жизнеописаниях» подчеркивает, что художники
') То, чего нет выше (лат )
2) Вазари Д Жизнеописания ., Т. I — М , 1956 Т П.—М, 1963 (издание продолжается).
пятнадцатого века проявили большой интерес к геометрии пространства. Одним из их достижений была разработка теории перспективы такими людьми, как Альберти и Пьеро делла Франческа; последний написал также киигу о правильных телах. Мастера счета нашли свое
Лука Пачоли (1450—1520) с юным герцогом из Урбине справа
го истолкователя в лице францисканского монаха Луки Пачоли (Pacioli), чья книга «Сумма арифметики», одна из первых печатных математических книг, появилась в 1494 г.1). Написанная на итальянском языке, притом на не слишком изящном, она содержала все, что тогда знали по арифметике, алгебре и тригонометрии. Отныне пользование индийскоарабскими цифрами стало общепринятым, а арифметические обозначения в этой книге не слишком отличаются от наших. Пачоли закончил свою книгу замечанием, что решение уравнений х3 + тх = п, х3 + п — тх столь же невозможно при современном ему состоянии науки, как и квадратура круга.
Это стало отправной точкой для математиков Болонского университета. Болонский университет в конце пятнадцатого столетия был одним из самых больших и са
') Первыми печатными математическими книгами были коммерческая арифметика (Тревизо, 1478г.) и латинское издание «Начал» Евклида (Венеция, 1482)
мых известных в Европе. Было время, когда только его астрономический факультет насчитывал шестнадцать лекторов. Студенты толпами устремлялись из всех частей Европы, чтобы слушать здесь лекции, а также на публичные диспуты, которые привлекали многих спортивно настроенных слушателей. В разные времена студентами этого университета были Пачоли, Альбрехт Дюрер и Коперник. Для новой эпохи характерным было стремление не только усвоить науку классиков, но и создать новое, перешагнуть через границы, указанные классиками. Искусство книгопечатания и открытие Америки указывали на наличие таких возможностей. Но можно ли создать новую математику? Древние греки и восточные народы испытывали свою изобретательность на решении уравнений третьей степени, но они только численно решили несколько частных случаев. Теперь же болонские математики пытались найти общее решение.
Эти уравнения третьей степени можно было свести к трем типам:
X3 + рх = q, х3 = рх + q, х3 + q = рх,
где р и q — положительные числа. Они были тщательно исследованы профессором Сципионом дель Ферро, который умер в 1526 г. Можно сослаться на авторитет Бортолотти, утверждающего, что дель Ферро действительно решил все типы. Он никогда не публиковал своих решений и рассказал о них лишь немногим друзьям. Но об этом открытии стало известно, и после смерти Сципиона венецианский мастер счета, по прозвищу Тарталья (заика), переоткрыл его приемы (1535 г.). Он публично продемонстрировал свои результаты, но по-прежнему держал втайне тот метод, с помощью которого он получил их. Наконец, он раскрыл свои соображения ученому доктору из Милана, Иерониму Кардано, который поклялся, что будет хранить их втайне. Однако, когда Кардано в 1545 г. опубликовал свою внушительную книгу по алгебре «Великое искусство» (Ars magna), Тарталья с возмущением обнаружил, что в ней полностью раскрыт его метод, с должным признанием заслуг автора открытия, но тем не менее уворованный. Завязалась ожесточенная полемика, с обеих сторон сыпались оскорбления. Защитником Кардано был молодой ученый из дворян Людовико Феррари. Эта перепалка породила несколько интересных документов, среди них «Вопросы» (Quaesiti)
Тартальи (1546 г.) и «Вызовы» (Cartelli) Феррари (1547—1548 гг.), которые довели до всеобщего сведения всю историю этого замечательного открытия.
Полученное решение теперь известно как формула Кардано, и в случае уравнения х3 + рх = q оно имеет вид:
Мы видим, что это решение вводит выражения вида
отличные от евклидовых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
