Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

') Pascal B. Oeuvres.—Paris, 1908—1914.— T. 12.—P. 9; T. 13 —P. 141—155.

²) «Сообщить Мерсепну о каком-либо открытии означало опубликовать его для всей Европы»,— пишет Босманс (см. сноску на с. 132).

формах. Новые академии, напротив, были проникнуты новым духом исследований. Они типичны «для этого времени, опъяпенного обилием новых знаний, занятого искоренением изживших себя суеверий, порывающего с традициями прошлого, лелеющего самые неумеренные надежды на будущее. Тогда отдельный ученый научился быть довольным и гордым тем, что он добавил бесконечно малую частицу к общей сумме знаний; короче говоря, тогда возник современный ученый» ³). Первая академия была основана в Неаполе (1560г.), за ней последовала Accademia del Lincei («Академия рысьих») в Риме (1603 г.). Лондонское королевское общество существует с 1662 г., Французская академия — с 1666 г. Валлис был членом-учредителем королевского общества; в первом составе членов Французской академии был Гюйгенс.

5. Наряду с книгой Кавальери одним из наиболее важных произведений этого «периода предтеч» была «Арифметика бесконечных» (Arithmelica infinitorum, 1655 г.) Валлиса. Ее автор с 1643 г. до своей смерти в 1703 г. был профессором геометрии в Оксфорде. Уже название книги показывает, что Валлис хотел пойти дальше, чем Кавальери с его «Геометрией неделимых»: Валлис хотел применить не геометрию древних, а новую «арифметику» (алгебру). Валлнс был первым математиком, у которого алгебра по-настоящему переросла в анализ. Методы обращения с бесконечными процессами, которыми пользовался Валлис, часто были примитивны, но он получал новые результаты: он вводил бесконечные ряды и бесконечные произведения и весьма смело обращался с мнимыми выражениями, с отрицательными и дробными показателями.

Он писал ∞ вместо 1/0 (и утверждал, что –1>∞). Характерным для него результатом является разложение

Валлис был только одним из целого ряда блестящих представителей этого периода, обогащавших математику одним открытием за другим. Движущей силой в этом расцвете творческой науки, не имевшем себе равного со времен величия Греции, было не только то, что новой техникой можно было легко пользоваться. Многие крупные мыслители искали большего — «общего метода», который иной раз понимали в ограниченном смысле, как метод

¹) Ornstein M. The Role of Scientific Societies in the Seventeenth Century.—Chicago, 1913.

математики, иной раз понимали шире — как метод познания природы и создания новых изобретений. Это было причиной того, что в рассматриваемую

Христиан Гюйгенс (1629—1695)

эпоху все выдающиеся философы были математиками и все выдающиеся математики были философами. В поисках новых изобретений иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Знаменитым примером является работа «Маятниковые часы» (Horologium Oscillalorium, 1673г.) Христиана Гюйгенса. В ней в поисках лучшего способа измерения времени рассмотрены не только маятниковые часы, но изучаются также эволюты и эвольвенты плоской кривой.

Гюйгенс был голландцем, человеком зажиточным и в течение ряда лет жил в Париже. Он был столь же выдающимся физиком, как и астрономом, создал волновую теорию света и выяснил, что у Сатурна есть кольцо. Его книга о маятниковых часах оказала влияние на Ньютона (см. Principia). Для периода до Ньютона и Лейбница наряду с «Арифметикой» Валлиса эта книга представляет анализ в его наиболее развитой форме. Письма и книги Валлиса и Гюйгенса изобилуют новыми открытиями: спрямлениями кривых, квадратурами, построением обверток. Гюйгенс исследовал трактрису, логарифмическую кривую, цепную линию и установил, что циклоида — таутохронная кривая. Несмотря на это обилие результатов, многие из которых были получены уже после того, как Лейбниц опубликовал свое исчисление, Гюйгенс целиком принадлежит к периоду предтеч. Он признавался Лейбницу, что никогда не был в состоянии освоиться с его методом. Подобно этому Валлис никогда не чувствовал себя в своей тарелке, пользуясь обозначениями Ньютона. Надо сказать еще, что Гюйгенс был одним из немногих среди больших математиков семнадцатого века, кто заботился

о строгости: его методы всегда были вполне архимедовыми.

6. Работы математиков этого периода охватывали много областей, новых и старых. Они обогатили оригинальными результатами классические разделы, пролили новый свет на прежние области и создавали даже совершенно новые области математических исследований. Примером первого рода может служить то, как Ферма изучал Диофанта. Примером второго рода является новая интерпретация геометрии Дезарга. Вполне новым творением была математическая теория вероятностей.

Диофант стал доступным для читающих на латинском языке в 1621 г.¹). В своем экземпляре этого перевода Ферма сделал свои знаменитые заметки на полях (опубликованы сыном Ферма в 1670г.). Среди них мы находим «великую» теорему Ферма о том, что уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ невозможно при целых положительных значениях х, у, z, если п>2,— в 1847г. это привело Куммера к его теории идеальных чисел. Доказательства, пригодного для всех п, до сих пор нет, хотя теорема несомненно верна для большого числа значений n²). // считается, что она доказана в 1995 Эндрю Уалльзом- Matigor

Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить. Надежнее допустить, что даже великий Ферма иногда ошибался.

В другой заметке на полях Ферма утверждает, что простое число вида 4n+1 может быть одним и только одним образом представлено как сумма двух квадратов. Эту теорему позже доказал Эйлер. Еще одна «теорема Ферма», которая утверждает, что а^p-1–1 делится на р, когда р — простое число и а не делится на р, высказана в письме от 1640 г.; эту теорему можно доказать элемен

') Первые издания латинских переводов: Евклид—1482; Птолемей — 1515; Архимед — 1558; Аполлоний I—IV — 1566, V—VII — 1661; Папп — 1589; Диофант — 1621

²) См. Vandiver H. S. // Amer. Math. Monthly.— 1946.— V 53.— P. 555—578.

тарными средствами. Ферма был также первым, кто утверждал, что уравнение х²–Ау²=1 — целое и не квадрат) имеет сколько угодно целых решений.

Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило прежде всего под влиянием развития страхового дела, но те частные вопросы, которые побудили больших математиков поразмыслить над этим предметом, были поставлены в связи с играми в кости и в карты. Как выразился Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей» ¹). Этим светским человеком был кавалер де Мере, который обратился к Паскалю с вопросом по поводу так называемой «задачи об очках». Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этой задачи и родственных вопросов, и они вдвоем установили некоторые из основных положений теории вероятностей (1654г.). Когда Гюйгенс приехал в Париж, он узнал об этой переписке и попытался дать свое собственное решение, в результате чего появилась его книга «О расчетах при азартных играх» (De raliociniis in hido aleae, 1657г.), первый трактат по теории вероятностей. Следующие шаги были сделаны де Виттом и Галлеем, которые составили таблицы смертности (1671, 1693 гг.).

[8] «Суровый янсепист» (то есть последователь Корнелия Янсена (1585—1636), голландского богослова)— это Блез Паскаль. Надо сказать, что приведенное заявление Пуассона о возникновении теории вероятностей грешит против истины в нескольких пунктах. «Светский человек», де Мере, отнюдь не был азартным игроком, он серьезно интересовался наукой, и не случайно его обращение к Паскалю. Вопросы, связанные с вычислением вероятности результата при различных играх, не раз ставились в средневековой литературе за столетия до того, как Мере обратился к Паскалю, и решались иной раз верно, иной раз неверно. В частности, среди ближайших предшественников Паскаля и Форма — Тарталья и Галилей. Но решение таких вопросов могло стать поводом для создания особой теории, затем целой математической дисциплины только под влиянием серьезных запросов практики. Кроме указанного в тексте влияния запросов страхового дела (первые страховые общества появляются в четырнадцатом веке в Италии, Фландрии, Нидерландах, в шестнадцатом — семнадцатом веках страхование судов и от пожара распространено почти во всех странах Западной Европы), задачи на вычисление вероятностей ставили статистика народонаселения и теория методов обработки наблюдения. Все это связано с возникновением новых экономических

') Р о i s s о n S. D. Recherches sur la probabilite des jugements,— Pans, 1837,— P. 1,

о

Блез Паскаль (1623—1662)

тношений и с новыми научными проблемами. Только благодаря этому решение вопросов, относящихся к азартным играм, представляющим удобную и до сих пор используемую модель для анализа ряда понятий теории вероятностей, могло систематически привлекать внимание математиков и стать поводом для развития новой науки. Это подтверждается и словами Гюйгенса в его книге «О расчетах в азартной игре», указанной в тексте: « .при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной». См. в связи с отим книгу: Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк.— М : 1967.

Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, корреспондента Мерсенна; кривая «улитка Паскаля» названа в честь Этьена. Блез быстро развивался под присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте он открыл «теорему Паскаля» о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Эта теорема была опубликована в 1641 г. на одном листе бумаги и повлияла на Дезарга. Через несколько лет Паскаль изобрел счетную машину. Когда ему было двадцать пять лет, он решил поселиться как янсенист в монастыре Пор-Рояль и вести жизнь аскета, но продолжал при этом уделять время науке и литературе. Его трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными коэффициентами и имеющем применение в теории вероятностей, появился посмертно в 1664 г. Мы уже упоминали о его работах по интегрированию и о его идеях относительно бесконечного и бесконечно малого, которые оказали влияние на Лейбница. Паскаль первый придал удовлетворительную форму принципу полной индукции ¹).

Жерар Дезарг был архитектором в Лионе. Он автор книги о перспективе (1636г.). Его брошюра с любопытным названием «Первоначальный набросок попытки ра

') Freudenthal Н. / Archives intern. des Sciences.— 1953.— V. 22,— P. 17—37.

зобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью» ¹) (1639 г.) содержит некоторые из основных понятий синтетической геометрии такие, как точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения,— все это на курьезном ботаническом языке. Свою «теорему Дезарга» о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 г. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии.

Характеристики

Список файлов книги