Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

полукубическая парабола. Якоб также исследовал изопериметрические фигуры (1701 г.), что привело его к задаче из вариационного исчисления. Логарифмическая спираль, которая обладает свойством воспроизводиться при различных преобразованиях (ее эволюта — тоже логарифмическая спираль, и они обе по отношению к полюсу являются подошвенной кривой и каустикой), настолько обрадовала Якоба, что он пожелал, чтобы эту кривую вырезали на его могильном камне с надписью: eadem mutata resurgo¹).

Якоб Бернулли был также одним из первых исследователей в теории вероятностей, и по этому предмету он написал «Искусство предположения» (Ars conjectandi) — книгу, опубликованную посмертно, в 1713 г. В ее первой части перепечатан трактат Гюйгенса об азартных играх, в остальных частях рассматриваются перестановки и сочетания, а главным результатом является «теорема Бернулли» о биномиальных распределениях. При рассмотрении треугольника Паскаля в этой книге появляются «числа Бернулли».

3. Работы Иоганна Бернулли тесно связаны с работами его старшего брата, и не всегда легко различить их результаты. Иоганна часто рассматривают как изобретателя вариационного исчисления вследствие его вклада в задачу о брахистохроне. Это — кривая быстрейшего спуска для материальной точки, которая движется в поле тяготения от заданной начальной к заданной конечной точке, кривая, которую исследовали Лейбниц и оба Бернулли в 1697 и в последующие годы. В это время они открыли уравнение геодезических линий на поверхности²). Решением задачи о брахистохроне является циклоида. Эта кривая решает также задачу о таутохроне — кривой, вдоль которой материальная точка в гравитационном поле достигает наинизшей точки за время, которое не зависит от исходной точки движения. Гюйгенс открыл это свойство циклоиды я использовал его для построения таутохронных часов с маятником (1673 г.), период колебания которого не зависит от амплитуды.

¹) «Изменявшись, возникаю такой же». Впрочем, спираль на могильном камне выглядит как спираль Архимеда.

²) Ньютон в одной из схолий ею Principle (II, теорема 35) уже рассматривал тело вращения, которое при движении в жидкости испытывает наименьшее сопротивление. Он не опубликовал доказательства своих утверждений.

В

Леонард Эйлер (1707—1783)

числе других Бернулли, повлиявших на развитие математики, есть два сына Иоганна: Николай и, особенно, Даниил'). Николай, как и Даниил, был приглашен в Петербург, незадолго до того основанный Петром Великим; там он пробыл не долго. Задача по теории вероятностей, которую он предложил, находясь в этом городе, известна как Петербургская задача (или, более выразительно, Петербургский парадокс). Этот сын Иоганна умер молодым, но другой сын, Даниил, дожил до глубокой старости. До 1777 г. он был профессором Базельского университета. Его плодовитая деятельность посвящена главным образом астрономии, физике и гидродинамике. Его «Гидродинамика» появилась в 1738 г., и одна из теорем этой книги, о гидравлическом давлении, носит его имя. В том же году он заложил основы кинетической теории газов; вместе с Даламбером и Эйлером он изучал теорию колебаний струн. Его отец и дядя развивали теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, Даниил же был пионером в области уравнений в частных производных.

4. Из Базеля вышел также самый плодовитый математик восемнадцатого столетия, если только не всех времен,— Леонард Эйлер. Его отец изучал математику под руководством Якоба Бернулли, а Леонард — под руковод

ством Иоганна. Когда в 1725 г. сын Иоганна Николай уехал в Петербург, молодой Эйлер последовал за ним и оставался в Петербургской академии до 1741 г. С 1741 по 1766 г. Эйлер находился в Берлинской академии под особым покровительством Фридриха II, а с 1766 до 1783 г. он снова в Петербурге, теперь уже под эгидой императрицы Екатерины. Он был дважды женат и имел тринадцать детей. Жизнь этого академика восемнадцатого столетия была почти целиком посвящена работе в различных областях чистой и прикладной математики. Хотя он потерял в 1735г. один глаз, а в 1766г.— второй, ничто не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. В течение его жизни увидели свет 530 его книг и статей; умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет. Это довело число его работ до 771, но Густав Энестрем дополнил этот список до 886.

Эйлеру принадлежат заметные результаты во всех областях математики, существовавших в его время. Он публиковал свои открытия не только в статьях различного объема, но и во многих обширных руководствах, где упорядочен и кодифицирован материал, который собирали поколения. В некоторых областях изложение Эйлера было почти что окончательным. Например, наша нынешняя тригонометрия с ее определением тригонометрических величин как отношений и с принятыми в ней обозначениями восходит к «Введению в анализ бесконечных» (Introductio in analysin infinitorum, 1748 г.) Эйлера. Колоссальный авторитет его руководств привел к упрочению ряда его обозначений в алгебре и в анализе; Лагранж, Лаплас и Гаусс знали Эйлера и следовали за ним во всей своей деятельности.

«Введение» 1748 г. в своих двух томах охватывает немалое разнообразие вопросов. В нем содержится изложение бесконечных рядов, в том числе рядов для е^x, sin x, cosx и соотношение е^x = cos x + i sin x (уже открытое Иоганном Бернулли и другими, в различных видах). Исследование кривых и поверхностей с помощью их уравнений ведется настолько свободно, что мы можем рассматривать «Введение» как первый учебник аналитической геометрии. Мы находим здесь также алгебраическую теорию исключения. Наиболее увлекательными частями этой книги является глава о функции дзета и о ее связи

с теорией простых чисел, равно как и глава о partitio numerorum (разбиении чисел на слагаемые) ¹).

Другим большим и богатым по содержанию руководcтвом Эйлера было «Дифференциальное исчисление» (Institutions calculi differentiate, 1755 г.), за которым последовали три тома «Интегрального исчисления» (1пstitutiones calculi integralis, 17681774 г.). Здесь мы находим не только наше элементарное дифференциальное и интегральное исчисление, но также теорию дифференциальных уравнений, теорему Тейлора со многими приложениями, формулу суммирования Эйлера и эйлеровы интегралы В и Г. Раздел о дифференциальных уравнениях с его разграничением «линейных», «точных» и «однородных» уравнений все еще является образцом для наших элементарных учебников по этому предмету. «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» (1736г.) Эйлера была первым учебником, в котором ньютоновская динамика материальной точки была развита аналитическими методами. За ней последовала «теория движения твердых тел» (1765 г.), в которой таким же образом трактуется механика твердых тел. Этот трактат содержит эйлеровы уравнения для тела, вращающегося вокруг точки. «Полное введение в алгебру» (1770г), написанное по-немецки и продиктованное слуге, стало образцом для многих позднейших учебников по алгеоре. В ней изложение доведено до теории уравнении третьей и четвертой степени.

В 1744 г появилось сочинение Эйлера «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimivi proprietate gaudentes). Это было первое изложение вариационного исчисления, оно содержало эйлеровы уравнения и многие приложения, включая открытие того, что катеноид и прямой геликоид являются минимальными поверхностями. Многие другие результаты Эйлера вошли в его работы меньшего объема, содержащие немало драгоценностей, ныне мало известных. В числе более известных его открытий теорема связывающая число вершин (V), граней (F) и ребер (Е) замкнутого многогранника (V + F – E = 2)²), эйлерова прямая в тре

¹⁾ См предисловие А Шпайзера к «Введению» в собрании сочинений Эйлера Opera Omnia I, t. 9 (1945). Имеется в русском переводе: Эйлер Л. Введение, т. I.— М 1960

²) Известная уже Декарту.

угольнике, кривые постоянной ширины (Эйлер называл их кривыми orbiformi) и эйлерова постоянная

Несколько статей посвящены занимательной математике (семь кёнигсбергских мостов, задача о шахматном коне), Одни лишь результаты Эйлера в области теории чисел (к его открытиям в эгой области принадлежит закон квадратичной взаимности) дали бы ему место в пантеоне славы.

Деятельность Эйлера в значительной мере была посвящена астрономии, причем особое внимание он уделял теории движения Луны, этому важному разделу задачи трех тел. Его «Теория движения планет и комет» (Theoria motus planetarum et cometarum, 1774г.) является трактатом по небесной механике. С этим трудом Эйлера связаны его исследования о притяжении эллипсоидов (1768 г.).

У Эйлера есть книги по гидравлике, по кораблестроению, по артиллерии. В 1769—1771 гг. появились три тома его «Диоптрики» (Dioptrica) с теорией преломления лучей в системе линз. В 1739 г. появилась его новая теория музыки, о которой говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математичка для музыкантов. Философское изложение Эйлера наиболее важных проблем естествознания в его «Письмах к одной немецкой принцессе» (написаны в 1760—1761гг.) остается образцом популяризации.

Огромная продуктивность Эйлера была и остается поводом для изумления и восхищения каждого, кто пытался изучать его труды,— задача не столь трудная, как это кажется, так как латынь Эйлера очень проста и его обозначения почти современны,— пожалуй, было бы лучше сказать, что наши обозначения почти эйлеровы! Можно составить длинный список известных открытий, приоритет в которых принадлежит Эйлеру, и перечень его идей, которые еще заслуживают разработки. Большие математики всегда признавали, что они обязаны Эйлеру многим. «Читайте Эйлера,— обычно говорил молодым математикам Лаплас,— читайте Эйлера, это наш общий учитель». А Гаусс выразился еще более определенно: «Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить». Римап хорошо знал труды Эйлера, и неко

торые из наиболее глубоких его произведений обнаруживают влияние Эйлера. Самым лучшим делом было бы издать переводы некоторых трудов Эйлера с современными комментариями.

5. Поучительно указать не только на то, что Эйлер внес в науку, но и на некоторые его слабости. В восемнадцатом столетии еще достаточно беззаботно обращались с бесконечными процессами и многое в трудах ведущих математиков этого периода производит на нас впечатление безудержного и восторженного экспериментирования. Экспериментировали с бесконечными рядами, с бесконечными произведениями, с интегрированием, с использованием таких символов, как 0, °°, √—1. Если многие из выводов Эйлера можно принять сегодня, то есть другие результаты, относительно которых надо делать оговорки. Например, мы принимаем утверждение Эйлера, что ln п имеет бесконечно много значений, которые все являются комплексными числами, за исключением того случая, когда п > 0, тогда одно из значений действительно. Эйлер пришел к этому выводу в письме к Даламберу (1747 г.), который утверждал, что ln(—1) = 0. Но мы не можем согласиться с Эйлером, когда он пишет, что 1 — 3 + 5 — 7 + ... = 0, или когда он из того, что

n+n²+…=n/(1-n)

и

1+1/n+1/n²+…=n/(n-1)

заключает, что

…+1/n²+1/n+1+n+n²+...=0.

Все же нам надо соблюдать осторожность и не критиковать слишком поспешно Эйлера за его обращение с расходящимися рядами: он попросту не всегда пользовался некоторыми из наших нынешних признаков сходимости или расходимости как критериями законности своих рядов. Многое в его считавшихся необоснованных работах о рядах было строго истолковано современными математиками.

[9] Есть достаточно оснований пойти дальше к «реабилитации» работ Эйлера, относящихся к теории рядов. Эйлер, как правило, исходил из принципа: «Сумма всякого (бесконечного) ряда есть значение того (конечного) выражения, из развертывания ко

торого возникает этот ряд». Этот принцип вызывал возражения и у современников Эйлера. Так, сохранилась переписка одного из оппонентов, Николая Бернулли, с Эйлером (1743 г.), в которой этот принцип обсуждается. Не приводя примеров, Н. Бернулли утверждал, что один и тот же ряд может получиться при развертывании различных выражений, следовательно, согласно принципу Эйлера, ему пришлось бы, вообще говоря, одновременно приписывать различные значения. Эйлер остался при убеждении, что «никогда один и тот же ряд не может возникнуть из разложения двух действительно различных конечных выражений» (письмо к Гольдбаху, 1745 г.), и Эйлер прав, потому что он имел в виду только степенные ряды, а его «конечные выражения» — аналитические функции. В понимании же того, что такое сумма ряда, Эйлер ближе к более широкому подходу математики двадцатого века, чем к ригоризму математиков эпохи Коши — Вейерштрасса. Эйлер полагал, что «каждый ряд должен обладать определенным значением. Однако, чтобы справиться со всеми возникающий здесь трудностями, следовало бы это значение не именовать суммой, поскольку с этим словом обычно связывают такие понятия, как если бы сумма получалась в результате действительного суммирования, а эта идея для расходящихся рядов не имеет места...». Приведя эти слова Эйлера, Г. Хэрди замечает: «Это — почти тот язык, которым мог бы пользоваться Чезаро или Борель» ¹). Больше того, Эйлер в вопросе о расходящихся рядах стоял на вполне современной точке зрения, когда писал в «Дифференциальном исчислении»: «И вот я говорю, что вся трудность кроется в названии сумма. Действительно, если под суммой ряда понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторому определенному значению, чем больше членов складываются. Расходящиеся же ряды, члены которых не убывают.... вообще не будут иметь никаких определенных сумм, если только слово «сумма» понимается в смысле результата сложение всех членов.

Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избегнем, если мы припишем слову «сумма» значение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова «сумма» совпадает с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового определения не проистечет никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений».

Вообще развитие учения о расходящихся рядах — весьма поучительный раздел истории математики, особенно в ее «понячийном» аспекте, п для первого ознакомления можпо рекомендовать цитированную выше книгу Г. Харди, содержащую, особенно во Введении и первой главе, много интересного исторического материала.

¹) Харди Г. Расходящиеся ряды.М.: ИЛ, 1951.С.

Однако мы не можем восторгаться тем способом, которым Эйлер обосновывает анализ, вводя нули различных порядков. Бесконечно малая величина, писал Эйлер в «Дифференциальном исчислении» (1755 г.),— это действительно нуль,

a±ndx = a ^l), dx±(dx)^n+l = dx,

a√dx + С dx = a√dx.

«Стало быть, существует бесконечно много порядков бесконечно малых величин, и хотя все эти величины равны нулю, следует четко отличать их друг от друга, если мы обращаемся к их взаимозависимости, выражающейся геометрическим отношением».

Характеристики

Список файлов книги