Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Дневники Гаусса показывают, что уже на семнадцатом году жизни он начал делать поразительные открытия. Например, в 1795г. он независимо от Эйлера нашел закон квадратичной взаимности теории чисел. Некоторые из его ранних открытий изложены в его Хельмштедтской диссертации 1799г. и в его внушительных «Арифметических исследованиях» (Disquisitiones arithmeticae, 1801 г.). В диссертации дано первое строгое доказательство так называемой «основной теоремы алгебры», теоремы о том, что каждое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один корень и, следовательно, столько корней, сколько единиц в показателе его степени. Сама эта теорема восходит к Альберу Жирару, издателю трудов Стевина [«Новое открытие в алгебре» (Invention nouvelle en algebre, 1692 г.)]. Даламбер пытался дать ее доказательство в 1746 г. Гауссу нравилась эта теорема и позже он дал еще два доказательства, а в 1846 г. снова вернулся к своему первому доказательству. В третьем доказательстве (1816г.) используются комплексные интегралы, и это показывает, как рано Гаусс овладел теорией комплексных чисел.

В «Арифметических исследованиях» собраны все достижения предшественников Гаусса в области теории чисел, и вместе с тем теория чисел настолько обогащена, что опубликование этой книги иной раз считают началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений второй степени; высшим достижением является закон квадратичной взаимности, «золотая теорема» (theorema aurura), первое полное доказательство которой дал Гаусс. Гаусс был увлечен этой теоремой не менее, чем основной

теоремой алгебры, и позже опубликовал еще пять доказательств, и еще одно было найдено после смерти Гаусса в его бумагах. В «Арифметических исследованиях» содержатся также результаты Гаусса о делении круга, иными словами, о корнях уравнения х^п = 1. Там получена замечательная теорема, что с помощью только циркуля и лпнейкп можно построить правильный семнадцатиуголъннк (более общим образом, правильный тгуголъник при п = 2^Р + 1, p = 2^k, где п — простое число, k = 0, 1, 2, 3,....),— удивительное геометрическое обобщение в греческом духе.

Гаусс заинтересовался астрономией после того, как в первый день нового столетия, 1 января 1801 г., Пиацци в Палермо открыл первую малую планету, названную Церерой. Так как удалось провести только немного наблюдений новой планеты, то возникла проблема расчета орбиты планеты по малому числу наблюдений. Гаусс полностью решил эту проблему; при этом получилось уравнение восьмой степени. Когда в 1802 г. был открыт второй астероид, Паллада, Гаусс заинтересовался проблемой вековых возмущений планет. Отсюда его «Теория движения небесных тел» (Theoria motus corporum coelestium, 1809г.), его работа о протяжении произвольных эллипсоидов (1813г.), его исследования о механических квадратурах (1814г.) и о вековых возмущениях (1818г.). В 1812г. появилась также статья Гаусса о гипергеометрических рядах, которая дала возможность с единой точки зрения рассмотреть большое число функций. Это было первое систематическое исследование сходимости рядов.

3. После 1820г. Гаусс начал живо интересоваться геодезией. Здесь он вел и теоретические исследования, и обширную работу по триангуляции. Одним из результатов было его изложение метода наименьших квадратов (1821, 1823гг.), который был уже предметом исследований Лежандра (1806г.) и Лапласа. Но, может быть, самым важным достижением этого периода жизни Гаусса была теория поверхностей в «Общих исследованиях относительно кривых поверхностей» (Disquisitiones generales circa superficies curves, 1827 г.), где подход к вопросу резко отличается от подхода Монжа. Здесь снова практические соображения, на этот раз из области высшей геодезии, тесно связаны с тонким теоретическим анализом. В этой работе появилась так называемая внутренняя геометрия поверхности, причем криволинейные координаты используются, чтобы выразить линейные элементы ds

с

Карл Фридрих Гаусс

(1777—1855)

помощью квадратичной дифференциальной формы: ds² = Edu² + Fdudv + Gdv². И здесь есть кульминационная точка, «превосходная теорема» (theorema egregium), которая утверждает, что полная кривизна поверхности зависит только от E,F,G и их производных, следовательно, инвариантна при изгибании. Но Гаусс не забывал свою первую любовь, «царицу математики», даже в период сосредоточения усилий на геодезических проблемах, ибо в 1825 и 1831гг. появились его работы по биквадратичным вычетам. Это было продолжением его теории квадратичных вычетов в «Арифметических исследованиях», но с использованием нового метода — теории комплексных чисел. В работе 1831 г. дана не только алгебра комплексных чисел, но и их арифметика. Здесь появляется новая теория простых чисел, в которой 3 остается простым числом, но 5 =(1 + 2i) (1 — 2i) уже не является простым числом. Эта новая теория комплексных чисел разъяснила многие неясности в арифметике, так что квадратичный закон взаимности получился здесь проще, чем для действительных чисел. В этой работе Гаусс навсегда изгнал ту таинственность, которая окружала комплексные числа, введя их представление с помощью точек плоскости¹).

Статуя в Гёттингене изображает Гаусса и его младшего коллегу, физика Вильгельма Вебера, работающими над изобретением электрического телеграфа. Это относится к 1833—1834гг., когда Гаусс начал интересоваться фи

') Ср. Веll Е. Т. Gauss and The Early Development of Algebraic Numbers.—Nat. Math. Mag.—1944.—V. 18.—P. 188, 219. А. Шпаизер заметил, что уже Эйлер и другие математики после 1760г пользовались сходными средствами, когда обращались к комплексным числам,— см. его введение в томе I, 28 «Opera Omnia» Эйлера (Zurich, 1955.—P. XXXVII). Вполне разработанную геометрическую интерпретацию комплексных чисел до Гаусса дали К Вессель (1799 г.) и Ж. Арган (1806 г.).

зикой. В этот период он выполнил большую экспериментальную работу по земному магнетизму. Но у него нашлось время и для теоретического исследования первостепенной важности— «Общих теорем (Allgemiene Lehrsatze...) о силах, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» (1839, 1840 гг.). Это было началом теории потенциала как отдельной ветви математики (работа Грина 1828г. практически не была известна в это время) с использованием интегралов по объему, причем были введены некоторые минимальные принципы, в которых мы можем распознать «принцип Дирихле». Для Гаусса существование минимума было очевидным; позже это стало предметом дискуссии, а окончательное решение было дано Гильбертом.

Деятельность Гаусса не ослабела до его смерти в 1855г. В последние годы жизни он все больше и больше отдавал силы прикладной математике. Впрочем, его публикации не дают полной картины всего его величия. Когда были напечатаны его дневники и, частично, письма, выяснилось, что некоторыми из наиболее глубоких своих мыслей он не поделился. Теперь мы знаем, что Гаусс уже в 1800г. открыл эллиптические функции и около 1816г. он уже овладел неевклидовой геометрией. По этим вопросам он никогда ничего не публиковал, и только в некоторых письмах к друзьям он изложил свое критическое отношение к попыткам доказать аксиомы Евклида о параллельных. По-видимому, Гауссу не хотелось публично затрагивать какой-либо спорный вопрос. В письмах он говорит об осах, которые могут в него впиться, и о «криках беотийцев», которые раздадутся, если раскрыть его тайны. Про себя Гаусс сомневался в справедливости распространенной кантовской доктрины, что наше понятие пространства априорно и евклидово,— для него реальная геометрия пространства была физическим явлением, которое надо было открыть с помощью эксперимента.

4. В своей истории математики девятнадцатого века Феликс Клейн сравнивает Гаусса и французского математика Адриеиа Мари Лежандра, который был старше Гаусса на двадцать лет. Быть может, не вполне уместно сравнивать Гаусса с каким-либо математиком, за исключением самых великих, однако именно это сравнение показывает, что идеи Гаусса как бы носились в воздухе, потому что Лежандр, идя своими путями, работал над многими вопросами, которыми занимался Гаусс. С 1775 по 1780 г. Лежандр преподавал в военной школе в Па

р

Адриен Мари Лежандр

(1752—1833)

иже, а позже занимал различные официальные должности: профессора Нормальной школы, экзаменатора Политехнической школы и инспектора геодезических работ.

Как и Гауссу, ему принадлежат фундаментальные работы по теории чисел [«Опыт теории чисел» (Essai sur les nombres, 1798 г.), «Теория чисел» (Theorie des nombres, 1830 г.)], в которых он сформулировал закон квадратичной взаимности. Он дал важные работы по геодезии и теоретической астрономии. Он был столь же усердным вычислителем таблиц, как и Гаусс;

в 1806 г. он изложил метод наименьших квадратов; он изучал притяжение эллипсоидов, даже таких, которые не являются поверхностями вращения, причем им введены «функции Лежандра». Как и Гаусс, он интересовался эллиптическими и эйлеровыми интегралами, равно как и основами и методами евклидовой геометрии.

Хотя Гаусс глубже проник в сущность всех этих различных областей математики, Лежандру принадлежат важные и выдающиеся работы. Его обширные руководства в течение долгого времени были в большом почете, особенно его «Упражнения по интегральному исчислению» (Exercices du calcul integral, в трех томах, 1811—1819 гг.) и «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах» (Traite des fonctions elliptiques et des integrates euleriennes, 1827—1832 гг.), и поныне остающийся образцовым произведением. В своих «Основах геометрии» (Elements de geometric, 1794 г.) on отошел от платоновских идеалов Евклида и дал учебник элементарной геометрии, исходя из требований современной педагогики. Эта книга выдержала много изданий и была переведена на ряд языков, ее влияние было длительным

5. Началом нового периода в истории французской математики можно, пожалуй, считать учреждение военных

школ и академий в конце восемнадцатого века. Такие школы, некоторые из которых появились и вне Франции (Турин, Вулвич), отводили значительное место обучении математике как составной части подготовки военных инженеров. Карьера Лагранжа началась в Туринской артиллерийской школе, Лежандр и Лаплас были преподавателями военной школы в Париже, Монж — в Мезьере. Карно был капитаном инженерных войск. Интерес Наполеона к математике зародился в годы учебы в военных академиях Бриенна и Парижа. Когда во Францию вторглись роялистские армии, необходимость централизовать подготовку военных инженеров стала очевидной. Поэтому была основана Парижская политехническая школа (1794г.), школа, которая вскоре выросла в будущее учебное заведение вообще для инженеров и со временем стала образцом для всех технических и военных школ начала девятнадцатого века, включая Вестпойнтскую школу в США.

Важной составной частью учебного плана было преподавание теоретической и прикладной математики. Внимание уделялось как преподаванию, так и исследовательской работе. Лучшие ученые Франции были приглашены, чтобы помочь этой школе. Многие крупные французские математики были студентами, профессорами или экзаменаторами Политехнической школы¹).

Для обучения в этом учреждении, как и в других технических школах, потребовался новый тип учебников. Кроме ученых трактатов для подготовленных читателей, что так типично для периода Эйлера, потребовались руководства для высшей школы. Некоторые из лучших учебников начала девятнадцатого столетия были подготовлены для студентов Политехнической школы и подобных учреждений. Влияние этих учебников можно проследить до наших дней. Хорошим примером такого руководства является «Трактат дифференциального исчисления и интегрального исчисления» (Traite du calcul differentiel et du calcul integral, в трех томах 1797—1802 гг.) Сильвестра Франсуа Лакруа, по которому целые поколения изучали анализ. Мы уже упоминали книги Лежандра. Еще одним примером является руководство Монжа по начертательной геометрии, которому все еще следуют многие современные книги по этому предмету.

') Ср. Jacobi С. G J, Werke,— Bd 7.— S. 355 (лекция, прочитанная в 1835 г).

6

Гаспар Монж (1746—1818)

. Гаспар Монж, директор Политехнической школы, был научным руководителем группы математиков, связанной с этим учреждением. Его карьера началась в военной академии в Мезьере (1768—1789гг.), где на лекциях по фортификации он имел озможность развивать начертательную геометрию, особую область геометрии. Он опубликовал свои лекции в книге «Начертательная геометрия» (Geometrie descriptive, 1795—1799 гг.). В Мезьере он начал также приме нять анализ к исследованию пространственных кривых и поверхностей, и его работы позже были опубликованы в «Приложеи анализа к геометрии» (Application de I'analyse a la ometrie, 1809 г.). Это — первая книга по дифференциальной геометрии, хотя еще не вполне современная по форме изложения. Монж — один из первых математиков нового времени, кого мы считаем специалистом: он геометр, и даже его подход к уравнениям в частных производных носит отчетливо выраженный геометрический Характер.

Геометрия начала процветать в Политехнической школe благодаря влиянию Монжа. В начертательной геометрии Монжа содержался зародыш проективной геометрии, а ею мастерство в применении алгебраических и аналитических методов в теории кривых и поверхностей во многом содействовало развитию аналитической и дифференциальной геометрии. Жан Ашетт и Жан Батист Био развивали аналитическую геометрию конических сечений и поверхностей второго порядка. В «Опыте аналитической геометрии» (Essai de geometiie aoalytique, 1802г.) Био мы, наконец, можем распознать наш современный учебник аналитической геометрии. Ученик Монжа Шарль Дюпен, во времена Наполеона молодой инженер-кораблестроитель, применял методы своего учителя в теории по

верхностей, где он нашел асимптотические и сопряженные линии. Дюпен стал профессором геометрии в Париже. За свою долгую жизнь он достиг видного положения и в области политики, и в области промышленности. «Индикатриса Дюпена» и «циклиды Дюпена» напоминают нам о его ранних интересах. В его книгах «Развитие геометрии» (Developpements de geometrie, 1813 г.) и «Применеиия геометрии» (Applications de geometrie, 1825 г.) много интересных соображений.

Самым своеобразным учеником Мошжа был Виктор Понсоле. Он получил возможность размышлять над методами своего учителя в 1813 г., когда жил в России, как военнопленный, после поражения «великой армии» Наполеона. Понселе привлекала чисто синтетическая сторона геометрии Монжа, и это привело его к той системе представлений, которую на два столетия раньше создавал Дезарг. Понселе стал основателем проективной геометрии «Трактат о проективных свойствах фигур» (Traite des proprietes projectives des figures) Понселе появился в 1822 г. Этот объемистый том содержит все существенные понятия, относящиеся к этой новой ветви геометрии, как гармоническое отношение, перспективность, проективность, инволюцию и даже циклические точки на бесконечности. Понселе знал, что фокусы конического сечения можно рассматривать как пересечение касательных к этому сечению из циклических точек. «Трактат» содержит также теорию многоугольников, вписанных в одно коническое сечение и описанных около другого конического сечения (так называемая «проблема замыкания» Понселе). Хотя эта книга была лишь первым полным трактатом по проективной геометрии, эта дисциплина в течение ближайших десятилетий достигла той степени совершенства, которая делает ее классическим примером законченной математической конструкции.

Хотя Монж был человеком твердых демократических убеждений, он относился лояльно к Наполеону, в котором он видел осуществителя идеалов революции. В 1815г., когда вернулись Бурбопы, Монж был устранен со своего поста и вскоре после этого умер. Все же Политехническая школа продолжала развиваться в духе Монжа. По самому характеру обучения было трудно отделить друг от друга чистую и прикладную математику. Много внимания уделялось механике, а математическая физика начала, наконец, освобождаться от «катоптрик» и «диоптрик» античных ученых.

Характеристики

Список файлов книги