Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Георг Фридрих Бернгард

Риман (1826-1866)

1851 г. появилась докторская диссертация Римана по теории функций комплексного переменного и + iv = f(x+iy). Как и Даламбер и Коши, Риман исходил из гидродинамических соображений. Он конформно отображал плоскость (x,у) на плоскость (и,v) и устанавливал существование функции, преобразующей любую односвязную область одной плоскости на любую односвязную область другой плоскости. Это привело к понятию римановой поверхности, что ввело в анализ топологические представлления. В то время топология бьша еще почти незатронутым предметом, по которому была опубликована только одна работа Листинга в журнале «Gottinger Studien» за 1847 г. Риман показал существенное значение топологии для теории функций комплексного переменного. В этой диссертации разъясняется и риманово определение комплексной функции: ее действительная и мнимая части должны удовлетворять «уравнениям Коши — Римана», и_х = v_v, и_у = — v_x, в заданной области, а кроме того должны удовлетворять некоторым условиям па границе и в особых точках.

Риман применил свои идеи к гипергеометрическим и абелевым функциям (1857г.), широко пользуясь принципом Дирихле (это его же термин). Среди его результатов — открытие рода римановой поверхности как топологического инварианта и как средства классификации абелевых функций. В статье, опубликованной посмертно, эти идеи применяются к минимальным поверхностям (1867г.). К этому направлению деятельности Римана относится и его исследование по эллиптическим модулярным функциям и тэта-рядам с р независимыми переменными, а также работы по линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими коэффициентами.

В 1854 г. Риман стал приват-доцентом, представив сразу две фундаментальные работы, одну по тригономет

рическим рядам и по основам анализа, другую — по основам геометрии. В первой из этих работ рассмотрены условия Дирихле разложимости функций в ряд Фурье. Одним из этих условий было то, что функция должна быть интегрируемой. Но что это значит? Коши и Дирихле уже давали ответ на такой вопрос; Риман вместо их ответов дал свой, более содержательный. Он дал то определение, которое сейчас известно как интеграл Римана и которое было заменено лишь в двадцатом столетии интегралом Лебега. Риман показал, что функции, определенные рядами Фурье, могут обладать такими свойствами, как бесконечное число максимумов или минимумов, чего математики прежних времен не допустили бы, давая определение функции. Понятие функции стало по-настоящему высвобождаться от эйлерова представления о «любой кривой, произвольно начерченной от руки» ¹). В своих лекциях Риман приводил пример непрерывной функции, не имеющей производной; пример такой функции, данный Вейерштрассом, был опубликован в 1875г. Математики не хотели вполне серьезно относиться к этим функциям и называли их «патологическими», но современный анализ показал, насколько такие функции естественны. И здесь Риман опять-таки проник в существенную область математики.

Во второй работе 1854г. рассматриваются гипотезы, на которых основана геометрия. Пространство вводится как топологическое многообразие произвольного числа измерений, метрика в таком многообразии определяется с помощью квадратичной дифференциальной формы. В своем анализе Риман определял комплексную функцию по ее локальному поведению, здесь он таким же образом определяет характер пространства. Этот объединяющий принцип позволил Риману не только проклассифицировать все существовавшие виды геометрии, включая еще весьма неясную тогда неевклидову геометрию, но дал также возможность создать любое число новых типов пространства, многие из которых впоследствии с пользой были введены в геометрию и математическую физику. Риман опубликовал эту статью без какой-либо формульной техники, что затруднило понимание его мыслей. Позже некоторые формулы были приведены в премированной работе о распределении теплоты в твердом теле, которую Риман представил в Парижскую академию

') Эйлер Л. Интегральное исчисление, т. 3, § 301.

(l861 г.). Здесь мы имеем набросок теории преобразования квадратичных форм.

Наконец, мы должны упомянуть работу Римана в которой исследуется количество F(х) простых чисел меньших заданного числа х (1859 г.). Это было применением теории функций комплексного переменного к задаче о распределении простых чисел, и там анализируется догадка Гаусса о том, что F(x) аппроксимируется интегральным логарифмом . Эта работа знаменита тем, что в ней содержится так называемая гипотеза Римана о дзета-функции Эйлера (s) (это обозначение принадлежит Риману) для комплексных s = х + iy: все не действительные нули этой функции находятся на прямой x =1/2. Эта гипотеза до сих пор и не доказана и не опровергнута¹).

14. Часто сравнивают риманово определение функции комплексного переменного с аналогичным определением Вейерштрасса. Карл Вейерштрасс в течение многих лет был учителем одной из прусских гимназий, в 1856 г. он стал профессором математики Берлинского университета, где преподавал в течение тридцати лет. Слава его лекций, всегда тщательно подготовленных, все возрастала; главным образом благодаря этим лекциям идеи Вейерштрасса стали общим достоянием математиков.

За время работы в гимназии Вейерштрасс написал несколько статей о гиперболических интегралах, абелевы функциях и алгебраических дифференциальных уравнениях. Более всего известно его обоснование теории функций комплексного переменного с помощью степенных рядов. В некотором смысле это было возвращение к Лагранжу, с тем отличием, что Вейерштрасс оперировал в комплексной плоскости и вполне строго. Значения степенного ряда внутри его круга сходимости представляют «элемент функции», а затем, если это возможно, осуществляется расширение с помощью так называемоеаналитического продолжения. Вейерштрасс особо изучал целые функции и функции, определенные бесконечными произведениями. Его эллиптическая функция (и) столь

^!)Courant R. Bemhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre / Naturwissenschaften.—1926.— Bd 14.— S, 813-818.

ж

Карл Вейерштрасс

(1815—1897)

е укоренилась, как и более ранние функции sn и, сп и, dn и Якоби.

Своей славой Вейерштрасс обязан исключительной тщательности рассуждений, «вейерштрассовой строгости», что проявилось не только в его теории функций, но и в его вариационном исчислении, Он разъяснил понятия минимума, функции, производной, и таким образом он устранил те неясности выражений, которые оставались в формулировке основных понятий анализа. Он был воплощением математической скрупулезности как методологически, так и логически. Другой пример скрупулезности его рассуждений дает нам его открытие равномерной сходимости. С Вейерштрасса начинается то сведение принципов математического анализа к простейшим арифметическим понятиям, которое мы называем арифметизациеи математики.

«В основном это заслуга научной деятельности Вейерштрасса, что теперь в анализе существуют полное согласие и уверенность относительно таких способов рассуждения, которые основаны на понятии иррационального числа и предела вообще, и ему мы обязаны тем, что существует единодушное относительно всех результатов, даже в наиболее сложных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений,— несмотря на самые дерзновенные и разнообразные сочетания при применении наложения, комбинации и перестановки пределов» ¹).

15. Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинской школы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали та

') H i 1 b e r t D. Uber das Unendliche / Math. Ann.— 1926.— Bd 95.—S. 161. На русском языке см. в книге: Гильберт Д. Основания геометрии.— М.; Л.: Гостехиздат, 1948, Добавление VIII, О бесконечном, с. 338, 339.

кие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел математики, как Кронекер, Куммер и Фробениус. К ним мы можем присоединить Дедекинда и Кантора. Эрнст Куммер был приглашен в Берлин в 1855г., чтобы заменить Дирихле. Он преподавал там до 1883г., когда сам решил прекратить математическую деятельность, так как почувствовал, что eго творческая продуктивность падает. Куммер развивал дифференциальную геометрию конгруэнции, набросок которой дал Гамильтон, и при этих исследованиях он открыл поверхность четвертого порядка с шестнадцатью угловыми точками, названную его именем. Славу ему создало прежде всего то, что он ввел идеальные числа в теорию алгебраических областей рациональности (1846г.). Эта теория была создана отчасти в связи с попытками Куммера доказать великую теорему Ферма, отчасти в связи с теорией Гаусса биквадратичных вычетов, в которой понятие простых множителей перенесено в область комплексных чисел. Идеальные множители Куммера дают возможность единственным образом разлагать числа на простые множители в общей области рациональности. Это открытие сделало возможным значительное продвижение в арифметике алгебраических чисел; полученные здесь результаты мастерски резюмированы в отчете Давида Гильберта, представленном немецкому Математическому обществу в 1897 г. Теория Дедекинда и Вебера, в которой устанавливается зависимость между теорией алгебраических функций и теорией алгебраических чисел в некоторой области рациональности (1882 г.) — пример влияния теории Куммера на процесс арифметизацпи математики.

Леопольд Кронекер, человек зажиточный, поселился в Берлине в 1855 г., и там он в течение многих лет преподавал в университете, не занимая формально профессорской кафедры, которую он принял лишь после отставки Куммера в 1883 г. Главные результаты Кронекера относятся к теории эллиптических функций, к теории идеалов и к арифметике квадратичных форм. Опубликованные его лекции по теории чисел содержат тщательное изложение его собственных и более ранних открытий; в них ясно видна его уверенность в необходимости арифметизации математики. В основе этой уверенности было стремление к строгости: Кронекер полагал, что основой математики должно быть число, а основой всех чисел — натуральное число. Например, число  надо определять

не обычным геометрическим путем, а рядом 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ..., то есть в виде комбинации целых чисел; для той же цели могут служить некоторые непрерывные дроби для . Стремление Кронекера вложить все математическое в рамки теории чисел показывает хорошо известное его заявление на съезде в Берлине в 1886 г.: «Целые числа сотворил господь бог, а все прочее — дело людских рук». Он допускал только такое определение математического понятия, для которого требовалось лишь конечное число шагов. Таким образом он преодолевал трудности актуально бесконечного, отказываясь принимать это понятие. В школе Кронекера лозунг Платона, что бог всегда «геометризует», был заменен лозунгом, что бог всегда «арифметизирует».

Учение Кронекера об актуальной бесконечности резко противоречило теориям Дедекинда и Кантора. Рихард Дедекинд, в течение тридцати одного года состоявший профессором Высшей технической школы в Брауншвейге, построил строгую теорию иррационального числа. В двух небольших книжках, «Непрерывность и иррациональные числа» (Stetigkeit und irrationale Zahleu, 1872 г.) и «Что такое числа и для чего они служат» (Was sind und was sollen die Zahlen, 1882 г.) он проделал для современной математики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует большое сходство между дедекиндовым сечением, с помощью которого современные математики (исключая школу Кронекера) определяют иррациональные числа, и античной теорией Евдокса, как она изложена в пятой книге «Начал» Евклида. Кантор и Вейерштрасс дали арифметическое определение иррационального числа, несколько отличающееся от теориии Дедекинда, но основанное на сходных соображениях.

Однако в глазах Кронекера самым большим еретиком был Георг Кантор. Кантор, который преподавал в Галле с 1869 по 1905г., известен не только благодаря его теории иррационального числа, но и благодаря его теории множеств. Этой теорией Кантор создал совершенно новую область математических исследований, которая удовлетворяет самым суровым требованиям к строгости, если только принять ее исходные посылки. Публикации Кантора начались в 1870г. и продолжались ряд лет; в 1883 г. он напечатал свои «Основы общего учения о многообразиях» (Grundlagen einer allgememen Maimigfaltigkeit-

slehre). В этих работах Кантор построил теорию трансфинитных кардинальных чисел, основанную на систематическом использовании математически актуальной бесконечности. Низшее кардинальное число ₀ он при писал счетному множеству, континууму он приписал более высокое трансфинитное число, и это дало возможность создать арифметику трансфинитных чисел, подобную обычной арифметике. Кантор так же дал определение порядковых трансфинитных чисел, показывающих, как упорядочены бесконечные множества.

Э

Характеристики

Список файлов книги