Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Эта галиматья («се gachis») содержала ни много ни мало теорию групп, ключ к современной алгебре и к современной геометрии. В известной мере эти идеи были предвосхищены Лагранжем и итальянцем Руффини, но Галуа имел уже полное представление о теории групп. Он нашел основные свойства группы преобразований, связанной с корнями алгебраического уравнения, и показал, что область рациональности этих корней определяется такой группой. Галуа указал на то центральное положение, которое занимают инвариантные подгруппы. В теории Галуа нашли свое естественное место старые проблемы такие, как трисекция угла, удвоение куба, решение кубических и биквадратных уравнений, равно как решение алгебраического уравнения любой степени. Насколько нам известно, письмо Галуа не попало ни к Гауссу, ни к Якоби. Математическая общественность не знала об этом письме до того, как Лиувилль напечатал большую часть работ Галуа в своем журнале в 1846 г., когда Коши уже начал печатать свои работы по теории групп (1844—1846гг.). Лишь тогда некоторые математики заинтересовались теориями Галуа. Полное понимание значения

Галуа было достигнуто лишь благодаря «Трактату о подстановках» (Traite des substitutions, 1870 г.) Камилла Жордана и последовавшим за этим работам Клейна и Ли. Теперь объединяющий подход Галуа признается одним из самых выдающихся достижений математики девятнадцатого столетия¹).

У Галуа были новые идеи и относительно интегралов от алгебраических функций одного переменного, которые мы сейчас называем абелевыми интегралами. Таким образом, ход его мыслей близок к ходу мыслей Римаш. Можно, конечно, лишь в порядке предположения сказать, что, проживи Галуа дольше, современная математика вдохновлялась бы больше всего Парижем и школой Лагранжа, а не Гёттингеном и школой Гаусса.

9. В двадцатые годы появился другой молодой гений, Нильс Генрик Абель, сын сельского священника в Норвегии. Короткая жизнь Абеля почти столь же трагична, как жизнь Галуа. Будучи студентом в Христиании, он некоторое время думал, что решил уравнение пятой степени, но он сам поправил себя в брошюре, опубликованной в 1824г. Это — та знаменитая работа, в которой Абель доказал невозможность решения общего уравнения пятой степени в радикалах,— задача, которая занимала математиков со времен Бомбелли и Виета (доказательство, данное в 1799г. итальянцем Паоло Руффини, Пуассон и другие математики считали слишком неопределенным). Тогда Абель получил стипендию, что позволило ему совершить поездку в Берлин, Италию и Францию. Мучимый бедностью и чахоткой, робкий и сдержанный молодой математик завязал лишь немного знакомств. Он умер вскоре после возвращения на родину (1829г.). Во время своего путешествия Абель написал несколько работ, в которых изложены его исследования о сходимости рядов, по «абелевым» интегралам и по эллиптические функциям. Теоремы Абеля в теории бесконечных рядопоказывают, что он мог подвести под эту теорию прочный фундамент. «Можешь ли ты вообразить нечто более ужасное, чем утверждение, что 0 = 1ⁿ —2ⁿ +3ⁿ —4ⁿ +..., где п — положительное целое число?»— писал он одному и друзей и продолжал:

') См. Miller G A. History of the Theory of Groups to 1900 /, Coll. Works, v. 1.— 1935.—P. 427—467,

«В математике вряд ли есть хоть один бесконечный ряд, сумма которого была бы строго определена» (письмо кХолмбое, 1826 г.).

Исследования Абеля по эллиптическим функциям велись в непродолжительном, но увлекательном соревновании с Якоби. Гаусс в своих личных заметках уже уста|ювил, что обращение эллиптических интегралов приводиг к однозначным двоякопериодическим функциям, но он никогда не публиковал своих соображений. Лежандр, который положил столько усилий на эллиптические интегралы, полностью упустил это обстоятельство, и открытия Абеля, с которыми он познакомился уже стариком, произвели на него глубокое впечатление. Абелю повезло в том отношении, что новое периодическое издание охотно печатало его статьи: первый том «Журнала чистой и прикладной математики», издаваемого Креллем¹), содержал ни много ни мало пять статей Абеля. Во втором томе (1827 г.) появилась первая часть «Исследований об эллиптических функциях» Абеля, с чего начинается теория двоякопериодических функций.

Мы говорим об интегральном уравнении Абеля и об абелевой теореме относительно суммы интегралов алгебраических функций, что приводит к абелевым функциям. Коммутативные группы носят название абелевых, что показывает, как тесно связаны идеи Галуа и Абеля.

10. В 1829 г., в год смерти Абеля, Карл Густав Якоб Цкоби опубликовал свои «Новые основы теории эллиптических функций» (Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum). Автор был тогда молодым профессором Кёнигсбергского университета. Якоби, сын берлинского банкира, принадлежал к видной семье; его брат Мориц²) жил в Петербурге и был одним из первых русских ученых, занимавшихся экспериментальным исследованием .электрических явлений. После нескольких лет занятий в Берлине Якоби преподавал в Кенигсберге, с 1826 по 1843г. Затем он пробыл некоторое время в Италии, пытаясь восстановить свое здоровье, и закончил свой жизненный путь профессором Берлинского университета в 1851г., в возрасте сорока шести лет. Это был остроумный и либеральный мыслитель, вдохновляющий преподаватель

') Journal fur die reine und angewandte Mathematik, основанный (в Берлине) и в течении многих лет руководимый Креллем, издается и поныне.

²) Известный в нашей стране под именем Борис Семенович Якоби.— Примеч. ред.

и ученый огромной энергии, с большой ясностью мысли, что позволило ему затронуть почти все области математики.

Свою теорию эллиптических функций Якобп строил на основе четырех функций, так называемых тэта-функций, определенных бесконечными рядами. Двоякоперподические функции snu, сnи и dnи и являются отношениями тэта-функций; они удовлетворяют некоторым тождествам и теоремам сложения, сходным с тождествами и теоремами для синуса и косинуса в обычной тригонометрии. Теоремы сложения эллиптических функции можно также рассматривать как частное применение теоремы Абеля о сумме интегралов алгебраических функций. В связи с этим возник вопрос, можно ли обратить гиперэллиптические интегралы так же, как удалось обратить эллиптические интегралы и получить эллиптические функции. Решение было найдено Якоби в 1832 г., когда он опубликовал свой результат, что такое обращение можно осуществить с помощью функций более чем одного переменного. Так родилась теория абелевых функций от р переменных, которая стала важной ветвью математики девятнадцатого столетия.

Сильвестр назвал якобианом известный функциональный определитель, чтобы воздать должное трудам Якоби по алгебре и по теории исключения. Самой известной из работ Якоби в этой области является статья «О построении и свойствах определителей» (De formatione et proprietatibus determinantium, 1841 г.), которая сделала теорию определителей общим достоянием математиков. Сама идея определителя значительно старше — она восходит в основном к Лейбницу (1693г.), щвейцарскому математику Габриэлю Крамеру (1750 г.) и Лагранжу (1770 г.), а название принадлежит Коши (1812г.). Миками указал, что японский математик Секи Кова пришел к идее определителя несколько ранее 1683 г.¹).

С Якоби, быть может, лучше всего познакомиться по его прекрасным «Лекциям по динамике» (Vorlesungen uber Dynamik), опубликованным в 1866г. по записям 1842—1843гг. Они написаны в духе французской школы Лагранжа и Пуассона, но содержат множество новых мыслей. Мы находим здесь исследования Якоби по уравнениям в частных производных первого порядка и их

') М i k a m i I. On the Japanese Theory of Determinants // Isis.— 1914.— V. 2.— P. 9—36.

применению к дифференциальным уравнениям динамики. Интересную главу «Лекций по динамике» составляет определение геодезических линий на эллипсоиде; эта задача приводит к соотношению между двумя абелевыми интегралами.

1

Вильям Роуэн Гамильтон (1805—1865)

1. От «Лекций по динамике» Якоби естественно перейти к математику, чье имя часто связывается с именем Якоби,— Вильяму Роуэну Гамильтону (не следует путать его с его современником, эдинбургским философом Вильямом Гамильтоном). Всю свою жизнь он провел в Дублине, где он родился в ирландской семье. Он поступил в «Тринити колледж» (Trinity college — колледж троицы) в 1827 г., двадцати одного года от роду он стал королевским астрономом Ирландии и оставался в этой должности до своей смерти в 1865 г. Мальчиком он изучал континентальную математику, что было еще новостью в Великобритании, по работам Клеро и Лапласа и в своих исключительно оригинальных исследованиях по оптике и динамике показал, что он овладел новыми методами. Его теория световых лучей (1824г.) — это не только дифференциальная геометрия прямолинейных конгруэнции, это и теория оптических инструментов, что позволило Гамильтону предсказать коническую рефракцию в двуосных кристаллах. В этой работе появляется его «характеристическая функция», что стало руководящей идеей в «Об

щем методе динамики» (General Method In Dynamics), напечатанном в 1834—1835 гг. Замысел Гамильтона состоял в том, чтобы из одного общего принципа вывести как оптику, так и динамику. Эйлер, защищая Мопертюи, уже показал, что с этой целью можно использовать стационарность значения интеграла «действия». Следуя этому пути, Гамильтон сделал оптику и динамику двумя видами применения вариационного исчисления. Он ищет стационарное значение некоторого интеграла и рассматривает его как функцию пределов интегрирования. Это дает «характеристическую» или «главную» функцию, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных. Одно из этих уравнений, которое обычно записываетеся в виде

Якоби особо выделил в своих лекциях по динамике, и теперь оно известно как уравнение Гамильтона — Якоби. Это затемнило значение характеристической функции Гамильтона, занимающей в его теории центральное место как средство объединения механики и математической физики. «Характеристическая функция» вновь была открыта Брунсом в 1895г. в геометрической оптике и под названием «эйконала» оказалась полезной в теории оптических инструментов.

Та часть работ Гамильтона но динамике, которая вошла в состав математики,– это прежде всего «каноническая форма, в которой он записал уравнения динамики: q’=H/p, p’=-H/q. Каноническая форма и дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби дали Ли возможность установить зависимость между динамикой и касательными преобразованиями. Другая воспринятая мысль Гамильтона — это вывод законов физики и механики из вариации некоторого интеграла. Современная теория относительности, равно как и квантовая механика, существенно использует «гампльтонову функцию».

1843г. был переломным в жизни Гамильтона. В этом году он открыл кватернионы, изучению которых он посвятил остальную часть своей жизни. Это открытие мы рассмотрим ниже.

12. Петер Лежен Дирихле был тесно связан как с Гауссом и Якоби, так и с французскими математиками. 1822—1827 гг. Он жил в Париже как частный учитель

встречался с Фурье, чью книгу он изучил; он хорошо дознакомился также и с «Арифметическими исследованиями» Гаусса. Потом он преподавал в университете в Бреслау (ныне Вроцлав), а в 1855г. став преемником Гаусса в Гёттингене. Его личное знакомство как с французскими, так и с немецкими математиками и с математикой обеих стран позволило ему стать истолкователем Гаусса и вместе с тем подвергнуть глубокому анализу ряды Фурье. Его прекрасные «Лекции по теории чисел» (Vorlesungen iiber die Theorie der Zahleii, опубликованы в 1863 г.) все еще остаются одним из лучших введений в исследования Гаусса по теории чисел. Они содержат также много новых результатов. В работе 1840г. Дирихле показал, как использовать всю мощь теории аналитических функций в задачах теории чисел, и в этих исследованиях он ввел «ряды Дирихле». Ему принадлежит также обобщение понятия квадратичной иррациональности на общие алгебраические области рациональности (поля).

Дирихле дал первое строгое доказательство сходимости рядов Фурье, и этим он содействовал уточнению понятия функции. В вариационное исчисление он ввел так называемый принцип Дирихле, который утверждает существование функции (v), обращающей в минимум интеграл ∫ (v_x² + v_y² + v_z²)dxdydz при заданных граничных условиях. Это было видоизменением принципа, введенного Гауссом в его теории потенциала 1839—1840 гг., а позже у Римана это оказалось мощным орудием при решении задач теории потенциала.

Мы уже упоминали о том, что Гильберт сумел строго обосновать этот принцип (с. 182).

13. Переходя к Бернгарду Риману, преемнику Дирихле в Гёттингене, мы встречаем человека, больше чем кто-либо другой повлиявшего на развитие современной математики. Риман был сыном деревенского священника, учился в Гёттингенском университете, где в 1851г. получил степень доктора. В том же университете в 1854 г. он стал приват-доцентом, а в 1859 г.— профессором. Болезненный, как и Абель, он провел последние месяцы жизни в Италии, где умер в 1866г. в сорокалетнем возрасте. За свою короткую жизнь он опубликовал сравнительно небольшое число работ, но каждая из них была и остается важной, а некоторые из них раскрыли совершенно новые и плодотворные области.

В

Характеристики

Список файлов книги