Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Этьен Малюс открыл поляризацию света (1810г.), а Огюстен Френель возродил волновую теорию света Гюйгенса (1821г.). Андре Мари Ампер, которому принадлежат выдающиеся работы по уравнениям в частных производных, после 1820г. стал пионером в области электромагнетизма. Эти исследователи много дали математике, непосредственно и опосредствованно. Одним из примеров является усовершенствованная Дюпеном геометрия световых лучей Малюса, что способствовало модернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометрию прямолинейных конгруэнции.

«Аналитическая механика» Лагранжа была предметом тщательного изучения, ее методы проверялись и применялись. В статике, в силу ее геометрического характера, опирались на Монжа и на его учеников, и в течение этик лет появились несколько трактатов по статике, включая и принадлежащий самому Монжу (1788г., ряд изданий). В полной силе геометрическое направление в статике утвердил Луи Пуансо, в течение многих лет член французского Высшего совета народного образования. Его «Начала статики» (Elements de statique, 1804 г.) и «Новая теория вращения тел» (Theorie nouvelle de la rotation des corps, 1834 г.) добавили к представлению о силе представление о вращающем моменте (пара); теория Эйлера моментов инерции была дополнена эллипсоидом инерции, и было исследовано движение этого эллипсоида при движении твердого тела в пространстве и при вращении вокруг неподвижной точки. Понселе и Кориолис придали геометрический характер лагранжевой аналитической механике. Оба они, равно как и Пуансо, выделяли применение механики к теории машин. «Кориолисово ускорение», которое появляется, когда тело движется относительно ускоряемой системы координат,— один из примеров геометрической интерпретации результатов Лагранжа (1835 г.).

[10] Сказанное об отношении Пуансо, Понселе и Кориолиса к аналитической механике Лагранжа требует уточнения. Пуансо был решительным сторонником геометрических методов в механике в силу того, что он стремился к наглядному представлению всех обстоятельств движения и различных величин, характеризующих движение. Согласно Пуансо, мало вывести описывающие движение формулы, рассчитать движение, надо еще представить результат таким образом, чтобы можно было по данному решению как бы увидеть процесс движения. Понселе, который занялся механикой уже после своих капитальных исследовании по проективной геометрии, стремился применять теоретические результаты и методы

к задачам прикладного характера, в теории машин и механизмов. Заодно он ставил себе целью довести теорию до практиков, дать шложеппе методов и результатов, доступное пе только инженерам, но и техникам, мастерам, ремослишшкам.

Не отвергая аналитических методов, Попселе и примыкавшие к нему Кориолис и другие механики ставили и решали задачи, связанные с техническими запросами (первый вывод общей формулы для ускорения в относительном движении, данный Кориолнсом,— чисто аналитический): они учитывали трение (чего совсем нет у Лагранжа), пользуясь эмпирическими коэффициентами; следуя призыву Ампера, развивали кинематику механизмов; четко определили понятие работы и применяли закон живых сил в динамике машин оценивая потерю работы (энергии) вследствие наличия трущихся поверхностен и т. п. В механике Пуансо — представитель «наглядного направления», но он остается механикомтеоретиком, Понселе и Кориолис — представители «индустриального направления», и они объединяют воедино и в своих курсах, и в своей исследовательской работе теоретическую механику с новыми формирующимися дисциплинами: динамикой машин и кинематикой механизмов.

Наиболее выдающимися математиками, связанными с Политехнической школой в ее раннем периоде, были — кроме Лагранжа и Монжа — Симеон Пуассон, Жозеф Фурье и Огюстен Коши. Все трое глубоко интересовались применениями математики к механике и к физике и все трое благодаря таким интересам пришли к открытиям в чистой математике. На продуктивность Пуассона указывает частое упоминание его имени в наших учебниках: скобки Пуассона в теории дифференциальных уравнений, постоянная Пуассона в теории упругости, интеграл Пуассона и уравнение Пуассона в теории потенциала. Это «уравнение Пуассона», ∆v=4ρ, было результатом открытия Пуассона (1812 г.), что уравнение Лапласа ∆v=0 имеет силу только вне масс, а строгое доказательство для масс переменной плотности было дано лишь Гауссом в его «Общих теоремах» (1839—1840гг.). «Трактат по механике» (Traite de mecanique, 1811 г.) Пуассона написан в духе Лагранжа и Лапласа, но содержит много новшеств, как, например, явное использование импульсов , что позже сказалось на работах Гамильтона и Якоби. Изданная им в 1837 г. книга содержит «закон Пуассона» в теории вероятностей.

О Фурье мы прежде всего вспоминаем как об авторе «Аналитической теории теплоты» (Theorie analytique de la

chaleur, 1822г.). Это — математическая теория теплопроводности и, стало быть, в основном исследование уравнения ∆v=k*v/t. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики, относящихся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных граничных условиях. Методом Фурье было применение тригонометрических рядов, что уже было предметом дискуссии между Эйлеров Даламбером и Даниилом Бернулли. Фурье полностью разъяснил положение вещей. Он установил тот факт, что «произвольную» функцию (функцию, которую можно изобразить дугой непрерывной кривой или сочетанием таких дуг) можно представить тригонометрическим рядом вида (А_пcos пах + B_nsinnax). Несмотря на все то, что было указано Эйлером и Бернулли, эта идея была настолько нова и ошеломляюща во времени Фурье, что, согласно преданию, когда он впервые в 1807г. высказал свои соображения, он встретил энергичную оппозицию со стороны не кого иного, как Лагранжа. Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач. Они и сами по себе привлекают внимание благодаря присущим им свойствам. Исследование этих рядов, проведенное Фурье, отчетливо поставило вопрос о том, что следует понимать под функцией. Это было одной из причин того, что математики девятнадцатого столетия сочли необходимым более тщательно рассмотреть вопросы о строгости математических доказательств и об общих основах математических понятий¹). За эту задачу» в частном случае рядов Фурье, взялись Дирихле и Риман.

7. Достижения Коши в работах, по математическому анализу отодвинули в тень его многочисленные труды по оптике и механике, но мы не должны забывать, что он, вместе с Навье, принадлежит к основателям математической теории упругости. Больше всего славы принесли ему теория функций комплексного переменного и то, что он настаивал на строгости математического анализа

') Jourdain F. P. В. Note on Fourier's Influence on the Conceptions of Mathematics / Proc. Intern. Congress Math Cambridge, 1912.— V. 2.— P. 526, 527,

Функции комплексного переменного былнг введены еще раньше, в частности Даламбером, который в одной из работ о сопротивлении жидкостей (1752 г.) получил даже то, что мы теперь называем уравнениями Коши — Римана, Но в руках Коши теория функций комплексного переменного превратилась из полезного для гидродинамики и аэродинамики орудия в новую и самостоятельную область математических исследований. Работы Коши в этой области, начиная с 1814 г., появляются непрерывно. Одной из наиболее важных является его «Мемуар об определенных интегралах, взятых между мнимыми пределами» (Memoire sur les integrales definies, prises enlre des limites imaginaires, 1825 г.). В этой работе мы находим интегральную теорему Коши, в связи с чем вводятся вычеты. Теорема о том, что всякую регулярную функцию f(z) можно разложить вблизи любой точки z = z₀ в ряд, сходящийся в круге, проходящем через особую точку, ближайщую к z = z₀, была опубликована в 1831 г., в том самом году, когда Гаусс опубликовал свою арифметическую теорию комплексных чисел. Обобщение теоремы Коши о рядах, данное Лораном, было опубликовано в 1843г., когда его знал также и Вейерштрасс. Эти факты показывают, что теории Коши не довелось встретиться с сопротивлением специалистов: с самого начала теория функций комплексного переменного была признана полностью.

Коши, вместе со своими современниками — Гауссом, Абелем и Больцано, принадлежит к пионерам в деле внедрения в математику повышенной строгости. Восемнадцатое столетие было в основном периодом экспериментирования, когда новые результаты сыпались в изобилии. Математики того времени не слишком заботились об обосновании своих исследований — о Даламбере рассказывают, что он заявил: «Шагайте вперед, и вера к вам придет». Когда они занимались обоснованием, как иной раз Эйлер и Лагранж, их аргументы не всегда были убедительными. Теперь же наступило время для точного выяснения смысла полученных результатов. Что является «функцией» вещественного переменного, которая настолько различно ведет себя в случае ряда Фурье и в случае степенного ряда? В каком отношении она находится к совершенно отличной «функции» комплексного переменного? Такие вопросы подняли все неразрешенные проблемы относительно обоснования анализа и существования потенциальной и актуальной бесконечности и выдвинули

их на передний план¹). То, что делал Евдокс во времена, последовавшие за падением афинской демократии, Коши и его скрупулезные современники начали завершать во времена промышленного капитализма. Разница в общественных условиях привела к различным результатам: успех Евдокса вел к замиранию продуктивности, успех реформаторов нового времени в высокой мере стимулировал математическую деятельность. За Коши и Гауссом последовали Вейерштрасс и Кантор.

Коши дал то обоснование анализа, которое сейчас является общепринятым в наших учебниках. Это можно найти в его «Курсе анализа» (Cours d'analyse, 1821г.) и в его «Резюме лекций, прочитанных в Королевской политехнической школе» I (Resume des legons donnees a 1'ecole royale polytechnique, 1823г.). Коши использовал даламберово понятие предела, чтобы определить производную от функции и, таким образом, более прочно обосновать это понятие, чем были в состоянии сделать его предшественники.

Исходя из определения предела, Коши дает примеры такие, как предел sinα/α при α=0. Затем он определяет «бесконечно малое переменное» как переменное число, предел которого есть нуль, и далее постулирует, что ∆y и ∆x «будут бесконечно малыми количествами». Затем он пишет ∆y/∆x=(f(x+i)-f(x))/i и называет предел при i→0 «производной функцией у' или f(x)». Он полагает затем i = αh, где α — «бесконечно малое», a h— «конечное количество»:

называет h «дифференциалом функции y = f(x). Далее, dy=df(x)=hf’(x); dx= h ²).

Коши пользовался и обозначениями Лагранжа, и многими его результатами в теории вещественных функций, ничего не заимствуя из алгебраического обоснования по Лагранжу. Теорема о среднем значении и остаточный

') Jour da in Р. Е. В. The Origin of Cauchy's Conception of a Definite Integral and of the Continuity of a Function // Isis.— 1913.— V. 1P 661703, см также: Bibl. Math. 1905 V. 6. P. 190— 207.

²) Resume I (1823). Calcul differentiel 13—27. Точный анализ такого приема см : Р a s h M. Mathematik am Ursprung.— Leipzig. 1927 S. 4773.

ч

Эварист Галуа (1811—1832)

лен ряда Тейлора вводились так, как их вывел Лагранж, но на этот раз исследование ряда велось с должным учетом его сходимости. Несколько признаков сходимости в теории бесконечных рядов носят имя Коши. В его книгах вполне определенно намечается та арифметизация анализа, которая позже стала сутью исследований Вейерштрасса. Коши дал также первое доказательство существования решения дифференциального уравнения и системы таких уравнений (1836г.). Таким образом, Коши, наконец, заложил основы для ответа на тот ряд проблем и парадоксов, которые были бичом математиков со времен Зенона, и он сделал это, не отрицая и не игнорируя их, а создав математическую технику, которая дала возможность их учесть. Коши, как и его современник Бальзак, с которым его сближает почти неограниченная продуктивность, был легитимистом и роялистом. Но оба они были настолько глубоки в своих оценках, что, несмотря на их реакционные идеалы, многое в их произведениях сохраняет основополагающее значение. После революции 1830 г. Коши оставил свою кафедру в Политехнической школе и провел несколько лет в Турине и Праге; он вернулся в Париж в 1838 г. После 1848г. ему было разрешено остаться во Франции и преподавать, не принося присяги новому правительству. Его продуктивность была настолько велика, что Парижская академия должна была ограничить объем всех статей, публикуемых в ее «Соmрtes Rendus» (отчетах), для того чтобы справиться с продукцией Коши. Рассказывают, что он так взволновал Лапласа, когда прочел свою первую работу о сходимости рядов в Парижской академии, что этот великий ученый поспешил домой, для того чтобы проверить ряды в своей «Небесной механике». Кажется, он установил, что там нет грубых ошибок.

8. Парижская среда с ее напряженной математической деятельностью породила, около 1830 г., гения первой величины, который подобно комете исчез также внезапно, как и появился. Эварист Галуа, сын мэра маленького городка вблизи Парижа, дважды не был принят в Политехническую школу и лишь затем он поступил в Нормальную школу, но был оттуда уволен. Он старался просуществовать, обучая математике и одновременно стараясь какнибудь совместить свою страстную любовь к науке и приверженность к демократическим идеям. Галуа как республиканец участвовал в революции 1830 г., несколько месяцев провел в тюрьме и вскоре после этого, двадцати одного года от роду, был убит на дуэли. Две статьи, которые он послал в печать, пропали в редакторских ящиках, несколько других статей были напечатаны спустя много лет после его смерти. Накануне дуэли он написал одному из друзей резюме своих открытий в теории уравнений. Этот драматический документ, в котором он просит своего друга сообщить о его открытиях ведущим математикам, заканчивался такими словами:

«Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать заключение не о справедливости, а о значении этих теорем. После этого я надеюсь, найдутся люди, которые сочтут нужным расшифровать всю эту галиматью».

Характеристики

Список файлов книги