Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Шарль Эрмит, профессор Сорбонны и Политехнической школы, стал ведущим представителем анализа во Франции после смерти Коши в 1857 г. Работы Эрмита, равно как и работы Лиувилля, следуют традициям Гаусса и Якоби, но они родственны также направлению Римана и Вейерштрасса. Эллиптические функции, модулярные функции, тэта-функции, теория чисел и теория инвариантов были предметом его работ, о чем свидетельствуют термины «эрмитовы числа», «эрмитовы формы», «многочлены Эрмита». Его дружба с голландским математиком Стилтьесом была существенной поддержкой для того, кто открыл «интеграл Стилтьеса» и применил непрерывные дроби в теории моментов. Оба высоко ценили
д
Томас Иоаннес Стилтьес
(1856—1894)
руг друга; Эрмит однажды писал своему другу: «Вы всегда правы, а я всегда ошибаюсь».Четырехтомная «Переписка» (Correspondence, 1905 г.) Эрмита и Стилтьеса содержит богатый материал, преимущественно о функциях комплексного переменного.
Французские геометрические традиции нашли блестящее продолжение в книгах и статьях Гастона Дарбу. Дарбу был геометром в духе Монжа, он подходил к геометрическим задачам, полностью владея теорией групп и теорией дифференциальных уравнений, а проблемы механики он исследовал, опираясь на живую пространственную интуицию. Дарбу был профессором Французского коллежа и в течение полувека активно участвовал в преподавании. Наибольшее влияние из его трудов оказали образцовые «Лекции по общей теории поверхностей» (Lecons sur la theorie generale des surfaces, в 4 томах, 1887—1896гг.), в которых изложены результаты исследований по дифференциальной геометрии кривых и поверхностей за сто лет. В руках Дарбу эта дифференциальная геометрия оказалась связанной различными нитями с дифференциальными уравнениями, обыкновенными и в частных производных, а также с механикой. Дарбу с его административным и педагогическим искусством, его тонкой геометрической интуицией, его мастерским владением аналитической техникой, его пониманием Римана занимал во Франции положение, в известной мере аналогичное тому, какое Клейн занимал в Германии.
Эта вторая часть девятнадцатого столетия была временем появления больших французских руководств по анализу и по его применениям, которые часто издавались под названием «Курс анализа» и создавались ведущими
математиками. Наиболее известными являются «Курс анализа» (Cours d'analyse) Камилла Жордана (в 3 томах, 1882—1887 гг.) и «Трактат по анализу» (Traite d'analyse) Эмиля Пикара (в 3 томах, 1891—1896 гг.), и к ним надо еще добавить «Курс математического анализа» (Cours d'analyse mathematique) Эдуарда Гурса (в 3 томах, 1902—1905гг.).
25. Величайшим французским математиком второй половины девятнадцатого века был Анри Пуанкаре, профессор Сорбонны с 1881г. до своей смерти (1912 г.). Никто из математиков этого периода не владел таким количеством дисциплин и не был в состоянии их все обогатить. Каждый год он читал лекции по новому предмету. Эти лекции были изданы слушателями, они охватывают огромную область; теорию потенциала, оптику, электричество, теплопроводность, капиллярность, электромагнетизм, гидродинамику, небесную механику, термодинамику, теорию вероятностей. Каждый из этих курсов по-своему замечателен, а в своей совокупности они содержат мысли, которые принесли плоды в трудах других ученых, но многие из них еще ждут дальнейшей разработки. Сверх того, Пуанкаре написал ряд популярных и полупопулярных книг, которые помогали понять проблемы современной математики. Среди них имеем: «Ценность науки» (La valeur de la science, 1905 г.) и «Наука и гипотеза» (La science et 1'hypothese, 1906 г.)1). Кроме этих курсов, Пуанкаре опубликовал большое число работ по так называемым автоморфным и фуксовым функциям, по дифференциальным уравнениям, по топологии и по основаниям математики, исследуя с большим мастерством техники и с глубоким пониманием все соответствующие области чистой и прикладной математики. Никто из математиков девятнадцатого столетия, быть может, за исключением Римана, не может дать так много нашему поколению.
Возможно, что ключ к пониманию трудов Пуанкаре дают его идеи в небесной механике и, в частности, в проблеме трех тел [«Новые мегоды небесной механики» (Les methodes nouvelles de mecanique celeste), в 3-х томах, 1893 г]. Здесь видно его непосредственное родство с Лапласом и показано, чго даже в конце девятнадцатого столетия старые проблемы механики относительно строения вселенной остаются в плодотворном контакте с математи
') Идеалистическая точка зрения, которой Пуанкаре придерживается в этих книгах, была подвергнута критике В И. Лениным в его «Материализме и эмпириокритицизме» (1908 г.).
кой. Именно в связи с этими проблемами Пуанкаре исследовал расходящиеся ряды и построил свою теорию асимптотических разложений, разрабатывал теорию интегральных инвариантов, исследовал устойчивость орбит и форму небесных тел.
Е
Анри Пуанкаре (1854—1912)
го фундаментальные открытия, касающиеся поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений как вблизи особенностей, так и в целом, связаны с его работами но небесной механике. То же самое относится к его исследованию о сущности вероятности — еще одна область, где интересы совпали с интересами Лапласа. Пуанкаре подобен Эйлеру и Гауссу — всякий раз, когда мы обращаемся к нему, мы чувствуем обаяние оригинальности. Труды Пуанкаре существенно повлияли на наши современные представления в области космогонии, топологии, теории вероятностей, теории относительности.26. Рисорджименто (Risorgimento), национальное возрождение Италии, означало также возрождение итальянской математики. Некоторые из основоположников современной математики в Италии участвовали в борьбе, которая повела к освобождению их страны от Австрии и к ее объединению, и позже они совмещали свою профессиональную деятельность с политической. Влияние Римана здесь сильно сказывалось, а Клейн, Клебш и Келн познакомили итальянских математиков с геометрией и с теорией инвариантов. Заодно здесь заинтересовались и теорией упругости с ее четко выраженным геометрическим характером.
В число основоположников новой итальянской математической школы входят Бриоски, Кремона и Бетти. В 1852 г. Франческо Бриоски стал профессором в Павии, в 1862 г. он организовал политехнический институт в Милане, где преподавал до своей смерти (1897 г.). Бриоски основал журнал «Анналы чистой и прикладной ма
тематики» (Annali di matematica pura ed applicata, 1858 г.), название которого указывает на желание соревноваться с журналами Крелля и Лиувилля. В 1858 г. вместе с Бетти и Казорати он посетил ведущих математиков Франции и Германии. Вольтерра позже заявлял, что «научное существование Италии как нации» начинается с этого путешествия'). Бриоски был в Италии представителем школы исследователей алгебраических инвариантов в духе Кели и Клебша. Луиджи Кремона, с 1873 г. директор технической школы в Риме, исследовал названные его именем бирациональные преобразования плоскости и пространства (1863—1865 гг.). Он был также одним из создателей графостатики.
Эудженио Бельтрами был учеником Бриоски. Он занимал профессорские кафедры в Болонье, Пизе, Павии и Риме. Его главные работы по геометрии выполнены между 1860 и 1870 гг. Посредством своих дифференциальных параметров Бельтрами ввел в теорию поверхностей исчисление дифференциальных инвариантов. Другой результат этого периода — исследование так называемых псевдосферических поверхностей, являющихся поверхностями постоянной отрицательной гауссовой кривизны. На такой псевдосфере мы можем осуществить двумерную неевклидову геометрию Бояи — Лобачевского. Наряду с проективной интерпретацией Клейна это является методом, показывающим, что в неевклидовой геометрии нет внутренних противоречий, потому что такие противоречия должны были бы сказаться в обычной теории поверхностей.
Около 1870г. идеи Римана все более и более становились общим достоянием более молодых математиков. Его теория квадратичных дифференциальных форм стала предметом работ двух немецких математиков Э. Б. Кристоффеля и Р. Липшица (1870 г.). В первой из этих работ введены «символы Кристоффеля». Эти исследования в сочетании с теорией дифференциальных параметров Бельтрами позволили Г. Риччи-Курбастро в Падуе создать так называемое абсолютное дифференциальное исчисление (1884 г.). Это было новой инвариантной символикой, первоначально построенной для использования в теории преобразований уравнений в частных производных, но заодно это дало подходящую символику для те
') Volterra V. P. Bull. Amor Math Soc — 1900 — V. 7 —60—62,
ории преобразований квадратичных дифференциальных форм.
В руках Риччи и некоторых из его учеников, особенно Туллио Леви-Чивита, абсолютное дифференциальное исчисление выросло в то, что мы теперь называем теорией тензоров. С помощью тензоров можно объединить многие инвариантные символики, и тензоры оказались весьма действенными при получении общих теорем теории упругости, теории относительности и гидродинамики. Название «тензор» происходит из теории упругости (В. Фогт, 1900г.).
Самым блестящим представителем дифференциальной геометрии в Италии был Луиджи Бианки. Его «Лекции по дифференциальной геометрии» (издано 3 тома, 1902— 1909 гг.) стоят в одном ряду с «Общей теорией поверхностей» Дарбу как классическое изложение дифференциальной геометрии девятнадцатого века.
27. В 1900г. на Международном конгрессе математиков в Париже гёттингенский профессор Давид Гильберт выдвинул в качестве предмета исследования двадцать три проблемы. К этому времени Гильберт уже получил признание за свои работы по алгебраическим формам и издал ставшую теперь знаменитой книгу «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometric, 1899 г.). В этой книге он дал анализ аксиом, на которых основана евклидова геометрия, и разъяснил, как с помощью современных исследований по аксиоматике можно улучшить достижения греков.
В своем докладе 1900г. Гильберт старался уловить направленность математических исследований предыдущих десятилетий и наметить контуры творческой деятельности в будущем. Перечисление его проблем позволит нам лучше понять значение математики девятнадцатого столетия.
Прежде всего Гильберт предложил арифметически сформулировать понятие континуума, как оно дано в трудах Коши, Больцано и Кантора. Существует ли кардинальное число между числом, соответствующим счетному множеству, и числом, соответствующим континууму? И можно ли рассматривать континуум как вполне упорядоченное множество? Более того, что можно сказать относительно непротиворечивости аксиом арифметики?
Следующие проблемы касаются оснований геометрии, понятия непрерывной группы преобразований по Ли — необходима ли дифференцируемость? — и математической
трактовки аксиом физики. Затем следует несколько частных проблем, сперва относящихся к арифметике и алгебре. Оставалась неизвестной иррациональность или трансцендентность некоторых чисел (например, α при алгебраическом α и иррациональном ). Не были известны также доказательство гипотезы Римана относительно нулей дзета-функции и формулировка наиболее общего закона взаимности в теории чисел. Другой проблемой в этой области было доказательство конечности некоторых полных систем функций, связанных с теорией инвариантов.
В пятнадцатой проблеме требовалось дать строгую формулировку исчислительной геометрии Шуберта, в шестнадцатой — изучить топологию алгебраических кривых и поверхностей. Еще одна проблема относится к заполнению пространства конгруэнтными многогранниками.
Остальные проблемы относятся к дифференциальным уравнениям и к вариационному исчислению. Всегда ли аналитичны решения регулярных задач в вариационном исчислении? Всякая ли регулярная вариационная задача имеет решение при заданных граничных условиях? Как униформизовать аналитические соотношения с помощью автоморфных функций? Гильберт закончил свое перечисление проблем призывом дальше развивать вариационное исчисление ').
Программа Гильберта показала жизненную силу математики конца девятнадцатого века, она находится в резком контрасте с теми пессимистическими взглядами, какие были в конце восемнадцатого столетия. Теперь некоторые из проблем Гильберта решены, другие все еще ждут окончательного решения. Развитие математики в годы после 1900г. не обмануло надежд, возникших к исходу девятнадцатого века. Все же даже гений Гильберта не мог предвидеть некоторые из поразительных достижений, которые имели место на деле и которые осуществляются теперь. Математика двадцатого столетия идет к славе своим собственным, новым путем.
') Спустя тридцать лет намеченные Гильбертом проблемы были обсуждены в статье: Bieberbach L. Uber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag liber «Mathematische Probleme» auf die Entwickhmg der Mathematik in den letzen dreifiig Jahren.— Naturwissenschaften 1936, 18, c. 1101—1111. С тех пор были достигнуты новые успехи. О современном состоянии этих проблем см. книгу: Проблемы Гильберта.— М.: Наука. 1969,
ЛИТЕРАТУРА
Лучшей историей математики девятнадцатого столетия является книга: Klein F. Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert. Bd 1.—Berlin, 1926. Bd 2.—Berlin, 1927 (первая часть имеется в русском переводе: Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.— М.: Наука, 1989; изложение яркое, но во многом субъективное, отражает склонности и симпатии автора; русская математика вне его поля зрения).
Библиография ведущих математиков девятнадцатого столетия приведена в книге: S a r t о n G. The Study of the History of Mathematics.—Cambridge (Mass.), 1936.—P. 70—98.
Там содержится перечень биографий: Абеля, Адамса, Альфаиа, Аппеля, Аропгольда, Бахмана, Бебеджа, Беллавитиса, Бельтрами, Бертрана, Бесселя, Бетти, Болла, Больцмана, Борхарда, Бояи, Бриоски, Буля, Бэра, Вейррштрасса, Галуа, Гаусса, Гёделя, Гиббса, Гордона, Грассмана, Грипа, Дарбу, Дгк. Дарвина, Дедеюшда, Джевопса, Дирихле, Жермен, Жордапа, Г. Кантора, Л. Карно, Келп, Кельвина, Кирхгофа, Клаузиуса, Клебша, Клейна, Клиффорда, Ковалевской, Коши, Кремоны, Кронекера, Куммера, Курно, Кутюра, Лагерра, Ламе, Лапласа, Леверье, Лежапдра, Лемуана, Ли, Лиувилля, Лобачевского, Лоренца. Маккаллоха, Максвелла, Мёбиуса, Мере, Минковского, Миттаг — Лёффлера, де Моргапа, Ф. Неймана, Э. Нётер, Ньюкома, Ольберса, Оппольцера, Пенлеве, Пикока, Б. Пирса, Плюккера, Понселе, Пуанкаре. Пуансо, Пуассона, Пфаффа, Рамануджаца, Релея, Ренвестра, Римана, Розенгайна, Руффини, СенВенана, Седова, Сильвестра, Смита, Стокса, Тэта, Фидлера, Фреге, Фредгольма, Френеля, Фукса, Фурье, Чебышева, Шаля, Шварца, Штаудта, Штейнера, Эджворта, Эйзенштейна, Эри, Энке.
Кроме того на русском языке имеются биографии Андреева, Буняковского, Вороного, Граве, Жуковского, Имшенецкого, Коркина, А. Н. Крылова, Ляпунова, Маркова, Млодзеевского, Остроградского, Петерсона, Чаплыгина, Чебышева; на немецком языке — Миндлинга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
