Главная » Просмотр файлов » Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990)

Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 35

Файл №1185896 Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc) 35 страницаКраткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896) страница 352020-08-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Шарль Эрмит, профессор Сорбонны и Политехнической школы, стал ведущим представителем анализа во Франции после смерти Коши в 1857 г. Работы Эрмита, равно как и работы Лиувилля, следуют традициям Гаусса и Якоби, но они родственны также направлению Римана и Вейерштрасса. Эллиптические функции, модулярные функции, тэта-функции, теория чисел и теория инвариантов были предметом его работ, о чем свидетельствуют термины «эрмитовы числа», «эрмитовы формы», «многочлены Эрмита». Его дружба с голландским математиком Стилтьесом была существенной поддержкой для того, кто открыл «интеграл Стилтьеса» и применил непрерывные дроби в теории моментов. Оба высоко ценили

д

Томас Иоаннес Стилтьес

(1856—1894)

руг друга; Эрмит однажды писал своему другу: «Вы всегда правы, а я всегда ошибаюсь».

Четырехтомная «Переписка» (Correspondence, 1905 г.) Эрмита и Стилтьеса содержит богатый материал, преимущественно о функциях комплексного переменного.

Французские геометрические традиции нашли блестящее продолжение в книгах и статьях Гастона Дарбу. Дарбу был геометром в духе Монжа, он подходил к геометрическим задачам, полностью владея теорией групп и теорией дифференциальных уравнений, а проблемы механики он исследовал, опираясь на живую пространственную интуицию. Дарбу был профессором Французского коллежа и в течение полувека активно участвовал в преподавании. Наибольшее влияние из его трудов оказали образцовые «Лекции по общей теории поверхностей» (Lecons sur la theorie generale des surfaces, в 4 томах, 1887—1896гг.), в которых изложены результаты исследований по дифференциальной геометрии кривых и поверхностей за сто лет. В руках Дарбу эта дифференциальная геометрия оказалась связанной различными нитями с дифференциальными уравнениями, обыкновенными и в частных производных, а также с механикой. Дарбу с его административным и педагогическим искусством, его тонкой геометрической интуицией, его мастерским владением аналитической техникой, его пониманием Римана занимал во Франции положение, в известной мере аналогичное тому, какое Клейн занимал в Германии.

Эта вторая часть девятнадцатого столетия была временем появления больших французских руководств по анализу и по его применениям, которые часто издавались под названием «Курс анализа» и создавались ведущими

математиками. Наиболее известными являются «Курс анализа» (Cours d'analyse) Камилла Жордана (в 3 томах, 1882—1887 гг.) и «Трактат по анализу» (Traite d'analyse) Эмиля Пикара (в 3 томах, 1891—1896 гг.), и к ним надо еще добавить «Курс математического анализа» (Cours d'analyse mathematique) Эдуарда Гурса (в 3 томах, 1902—1905гг.).

25. Величайшим французским математиком второй половины девятнадцатого века был Анри Пуанкаре, профессор Сорбонны с 1881г. до своей смерти (1912 г.). Никто из математиков этого периода не владел таким количеством дисциплин и не был в состоянии их все обогатить. Каждый год он читал лекции по новому предмету. Эти лекции были изданы слушателями, они охватывают огромную область; теорию потенциала, оптику, электричество, теплопроводность, капиллярность, электромагнетизм, гидродинамику, небесную механику, термодинамику, теорию вероятностей. Каждый из этих курсов по-своему замечателен, а в своей совокупности они содержат мысли, которые принесли плоды в трудах других ученых, но многие из них еще ждут дальнейшей разработки. Сверх того, Пуанкаре написал ряд популярных и полупопулярных книг, которые помогали понять проблемы современной математики. Среди них имеем: «Ценность науки» (La valeur de la science, 1905 г.) и «Наука и гипотеза» (La science et 1'hypothese, 1906 г.)1). Кроме этих курсов, Пуанкаре опубликовал большое число работ по так называемым автоморфным и фуксовым функциям, по дифференциальным уравнениям, по топологии и по основаниям математики, исследуя с большим мастерством техники и с глубоким пониманием все соответствующие области чистой и прикладной математики. Никто из математиков девятнадцатого столетия, быть может, за исключением Римана, не может дать так много нашему поколению.

Возможно, что ключ к пониманию трудов Пуанкаре дают его идеи в небесной механике и, в частности, в проблеме трех тел [«Новые мегоды небесной механики» (Les methodes nouvelles de mecanique celeste), в 3-х томах, 1893 г]. Здесь видно его непосредственное родство с Лапласом и показано, чго даже в конце девятнадцатого столетия старые проблемы механики относительно строения вселенной остаются в плодотворном контакте с математи

') Идеалистическая точка зрения, которой Пуанкаре придерживается в этих книгах, была подвергнута критике В И. Лениным в его «Материализме и эмпириокритицизме» (1908 г.).

кой. Именно в связи с этими проблемами Пуанкаре исследовал расходящиеся ряды и построил свою теорию асимптотических разложений, разрабатывал теорию интегральных инвариантов, исследовал устойчивость орбит и форму небесных тел.

Е

Анри Пуанкаре (1854—1912)

го фундаментальные открытия, касающиеся поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений как вблизи особенностей, так и в целом, связаны с его работами но небесной механике. То же самое относится к его исследованию о сущности вероятности — еще одна область, где интересы совпали с интересами Лапласа. Пуанкаре подобен Эйлеру и Гауссу — всякий раз, когда мы обращаемся к нему, мы чувствуем обаяние оригинальности. Труды Пуанкаре существенно повлияли на наши современные представления в области космогонии, топологии, теории вероятностей, теории относительности.

26. Рисорджименто (Risorgimento), национальное возрождение Италии, означало также возрождение итальянской математики. Некоторые из основоположников современной математики в Италии участвовали в борьбе, которая повела к освобождению их страны от Австрии и к ее объединению, и позже они совмещали свою профессиональную деятельность с политической. Влияние Римана здесь сильно сказывалось, а Клейн, Клебш и Келн познакомили итальянских математиков с геометрией и с теорией инвариантов. Заодно здесь заинтересовались и теорией упругости с ее четко выраженным геометрическим характером.

В число основоположников новой итальянской математической школы входят Бриоски, Кремона и Бетти. В 1852 г. Франческо Бриоски стал профессором в Павии, в 1862 г. он организовал политехнический институт в Милане, где преподавал до своей смерти (1897 г.). Бриоски основал журнал «Анналы чистой и прикладной ма

тематики» (Annali di matematica pura ed applicata, 1858 г.), название которого указывает на желание соревноваться с журналами Крелля и Лиувилля. В 1858 г. вместе с Бетти и Казорати он посетил ведущих математиков Франции и Германии. Вольтерра позже заявлял, что «научное существование Италии как нации» начинается с этого путешествия'). Бриоски был в Италии представителем школы исследователей алгебраических инвариантов в духе Кели и Клебша. Луиджи Кремона, с 1873 г. директор технической школы в Риме, исследовал названные его именем бирациональные преобразования плоскости и пространства (1863—1865 гг.). Он был также одним из создателей графостатики.

Эудженио Бельтрами был учеником Бриоски. Он занимал профессорские кафедры в Болонье, Пизе, Павии и Риме. Его главные работы по геометрии выполнены между 1860 и 1870 гг. Посредством своих дифференциальных параметров Бельтрами ввел в теорию поверхностей исчисление дифференциальных инвариантов. Другой результат этого периода — исследование так называемых псевдосферических поверхностей, являющихся поверхностями постоянной отрицательной гауссовой кривизны. На такой псевдосфере мы можем осуществить двумерную неевклидову геометрию Бояи — Лобачевского. Наряду с проективной интерпретацией Клейна это является методом, показывающим, что в неевклидовой геометрии нет внутренних противоречий, потому что такие противоречия должны были бы сказаться в обычной теории поверхностей.

Около 1870г. идеи Римана все более и более становились общим достоянием более молодых математиков. Его теория квадратичных дифференциальных форм стала предметом работ двух немецких математиков Э. Б. Кристоффеля и Р. Липшица (1870 г.). В первой из этих работ введены «символы Кристоффеля». Эти исследования в сочетании с теорией дифференциальных параметров Бельтрами позволили Г. Риччи-Курбастро в Падуе создать так называемое абсолютное дифференциальное исчисление (1884 г.). Это было новой инвариантной символикой, первоначально построенной для использования в теории преобразований уравнений в частных производных, но заодно это дало подходящую символику для те

') Volterra V. P. Bull. Amor Math Soc — 1900 — V. 7 —60—62,

ории преобразований квадратичных дифференциальных форм.

В руках Риччи и некоторых из его учеников, особенно Туллио Леви-Чивита, абсолютное дифференциальное исчисление выросло в то, что мы теперь называем теорией тензоров. С помощью тензоров можно объединить многие инвариантные символики, и тензоры оказались весьма действенными при получении общих теорем теории упругости, теории относительности и гидродинамики. Название «тензор» происходит из теории упругости (В. Фогт, 1900г.).

Самым блестящим представителем дифференциальной геометрии в Италии был Луиджи Бианки. Его «Лекции по дифференциальной геометрии» (издано 3 тома, 1902— 1909 гг.) стоят в одном ряду с «Общей теорией поверхностей» Дарбу как классическое изложение дифференциальной геометрии девятнадцатого века.

27. В 1900г. на Международном конгрессе математиков в Париже гёттингенский профессор Давид Гильберт выдвинул в качестве предмета исследования двадцать три проблемы. К этому времени Гильберт уже получил признание за свои работы по алгебраическим формам и издал ставшую теперь знаменитой книгу «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometric, 1899 г.). В этой книге он дал анализ аксиом, на которых основана евклидова геометрия, и разъяснил, как с помощью современных исследований по аксиоматике можно улучшить достижения греков.

В своем докладе 1900г. Гильберт старался уловить направленность математических исследований предыдущих десятилетий и наметить контуры творческой деятельности в будущем. Перечисление его проблем позволит нам лучше понять значение математики девятнадцатого столетия.

Прежде всего Гильберт предложил арифметически сформулировать понятие континуума, как оно дано в трудах Коши, Больцано и Кантора. Существует ли кардинальное число между числом, соответствующим счетному множеству, и числом, соответствующим континууму? И можно ли рассматривать континуум как вполне упорядоченное множество? Более того, что можно сказать относительно непротиворечивости аксиом арифметики?

Следующие проблемы касаются оснований геометрии, понятия непрерывной группы преобразований по Ли — необходима ли дифференцируемость? — и математической

трактовки аксиом физики. Затем следует несколько частных проблем, сперва относящихся к арифметике и алгебре. Оставалась неизвестной иррациональность или трансцендентность некоторых чисел (например, α при алгебраическом α и иррациональном ). Не были известны также доказательство гипотезы Римана относительно нулей дзета-функции и формулировка наиболее общего закона взаимности в теории чисел. Другой проблемой в этой области было доказательство конечности некоторых полных систем функций, связанных с теорией инвариантов.

В пятнадцатой проблеме требовалось дать строгую формулировку исчислительной геометрии Шуберта, в шестнадцатой — изучить топологию алгебраических кривых и поверхностей. Еще одна проблема относится к заполнению пространства конгруэнтными многогранниками.

Остальные проблемы относятся к дифференциальным уравнениям и к вариационному исчислению. Всегда ли аналитичны решения регулярных задач в вариационном исчислении? Всякая ли регулярная вариационная задача имеет решение при заданных граничных условиях? Как униформизовать аналитические соотношения с помощью автоморфных функций? Гильберт закончил свое перечисление проблем призывом дальше развивать вариационное исчисление ').

Программа Гильберта показала жизненную силу математики конца девятнадцатого века, она находится в резком контрасте с теми пессимистическими взглядами, какие были в конце восемнадцатого столетия. Теперь некоторые из проблем Гильберта решены, другие все еще ждут окончательного решения. Развитие математики в годы после 1900г. не обмануло надежд, возникших к исходу девятнадцатого века. Все же даже гений Гильберта не мог предвидеть некоторые из поразительных достижений, которые имели место на деле и которые осуществляются теперь. Математика двадцатого столетия идет к славе своим собственным, новым путем.

') Спустя тридцать лет намеченные Гильбертом проблемы были обсуждены в статье: Bieberbach L. Uber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag liber «Mathematische Probleme» auf die Entwickhmg der Mathematik in den letzen dreifiig Jahren.— Naturwissenschaften 1936, 18, c. 1101—1111. С тех пор были достигнуты новые успехи. О современном состоянии этих проблем см. книгу: Проблемы Гильберта.— М.: Наука. 1969,

ЛИТЕРАТУРА

Лучшей историей математики девятнадцатого столетия является книга: Klein F. Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert. Bd 1.—Berlin, 1926. Bd 2.—Berlin, 1927 (первая часть имеется в русском переводе: Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.— М.: Наука, 1989; изложение яркое, но во многом субъективное, отражает склонности и симпатии автора; русская математика вне его поля зрения).

Библиография ведущих математиков девятнадцатого столетия приведена в книге: S a r t о n G. The Study of the History of Mathematics.—Cambridge (Mass.), 1936.—P. 70—98.

Там содержится перечень биографий: Абеля, Адамса, Альфаиа, Аппеля, Аропгольда, Бахмана, Бебеджа, Беллавитиса, Бельтрами, Бертрана, Бесселя, Бетти, Болла, Больцмана, Борхарда, Бояи, Бриоски, Буля, Бэра, Вейррштрасса, Галуа, Гаусса, Гёделя, Гиббса, Гордона, Грассмана, Грипа, Дарбу, Дгк. Дарвина, Дедеюшда, Джевопса, Дирихле, Жермен, Жордапа, Г. Кантора, Л. Карно, Келп, Кельвина, Кирхгофа, Клаузиуса, Клебша, Клейна, Клиффорда, Ковалевской, Коши, Кремоны, Кронекера, Куммера, Курно, Кутюра, Лагерра, Ламе, Лапласа, Леверье, Лежапдра, Лемуана, Ли, Лиувилля, Лобачевского, Лоренца. Маккаллоха, Максвелла, Мёбиуса, Мере, Минковского, Миттаг — Лёффлера, де Моргапа, Ф. Неймана, Э. Нётер, Ньюкома, Ольберса, Оппольцера, Пенлеве, Пикока, Б. Пирса, Плюккера, Понселе, Пуанкаре. Пуансо, Пуассона, Пфаффа, Рамануджаца, Релея, Ренвестра, Римана, Розенгайна, Руффини, СенВенана, Седова, Сильвестра, Смита, Стокса, Тэта, Фидлера, Фреге, Фредгольма, Френеля, Фукса, Фурье, Чебышева, Шаля, Шварца, Штаудта, Штейнера, Эджворта, Эйзенштейна, Эри, Энке.

Кроме того на русском языке имеются биографии Андреева, Буняковского, Вороного, Граве, Жуковского, Имшенецкого, Коркина, А. Н. Крылова, Ляпунова, Маркова, Млодзеевского, Остроградского, Петерсона, Чаплыгина, Чебышева; на немецком языке — Миндлинга.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее