Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

ренное движение, Галилей пришел к представлению о мгновенной скорости как сумме всех приращений скорости тела, полученных последним с начала движения.

Галилео Галилей

(1564—1642)

При этом Галилей описывал этот процесс как происходящий непрерывно во времени и устанавливал соответствие между двумя континуумами: континуумом значений времени и континуумом значений скорости, проходящей через все свои «степени и моменты». Это часть того пути, который вел к общему понятию функциональной зависимости и к флюэнтам и флюксиям Ньютона (заметим, что Ньютон уже в молодости изучал труды Галилея, а старший современник Ньютона Барроу был в общении с итальянскими математиками — учениками и последователями Галилея). Но Галилей пользовался и атомистическими представлениями о строении материи, и в своем творчестве он снова должен был обратиться к формально противоречивым соотношениям разрывного и непрерывного и к свойствам бесконечно большого и бесконечно малого. Но теперь успехи, достигнутые в изучении движения (установление законов падения), побуждали продвигаться вперед, не смущаясь противоречиями и имея основание надеяться на их разрешение. В частности, Галилей, указав на парадоксальное соотношение между множеством квадратов и множеством всех чисел, сделал отсюда важный вывод, что нельзя безоговорочно переносить на бесконечные соотношения, верные для конечных величин. Свои собственные выводы и представления Галилей не считал окончательными, он привлекал других ученых к проблемам, которые тогда были основными для развития математических методов, в которых нуждалось новое естествознание. Один из собеседников в знаменитых «Беседах» Галилея, Сальвиати, выражающий мысли автора, заканчивает там обсуждение так. «Если это вам нравится, то примите мои выводы; если же нет, то считайте их ложными так же, как и мои рассуждения, и поищите других объяснений, более удовлетворительных. Я только напоминаю вам при этом два слова: мы находимся в области бесконечных и неделимых» ¹).

Наступило время для первого систематического изложения результатов, достигнутых в той области, которую мы сейчас называем анализом. Такое изложение было дано в «Геометрии» Бонавентуры Кавальери (1635 г.), про

') См. Галилей, Галилео Соч , т I — М ; Л : ГТТИ 1934 — С. 127.

фессора Болонского университета. Кавальери построил упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых, основанную на схоластическом представлении о неделимых ¹), так, что точка порождает при движении линию, а линия — плоскость. Таким образом у Кавальери не было бесконечно малых или атомов. Он получал свои результаты с помощью «принципа Кавальери», согласи которому два тела одинаковой высоты имеют один и гот же объем, если плоские сечения этих тел на одинаковом уровне имеют одинаковые площади Это позволило ему выполнить вычисление, равносильное интегрирование многочленов.

Сначала, чтобы получить площадь, он складывал от резки, но когда Торричелли показал, что таким способом можно доказать, что любой треугольник делится высотой на две равновеликие части, Кавальери заменил «отрезки» «нитями», то есть он превратил отрезки в площади весьма малой ширины.

3. Это постепенное развитие анализа получило мощиый импульс, когда была опубликована «Геометрия» (1637 г) Декарта, которая включила в алгебру всю область классической геометрии. Эта книга первоначально была опубликована в качестве приложения к «Рассуждению о методе», рассуждению, в котором автор излагает свой рационалистический подход к изучению природы. Рене Декарт был родом из Турени (Франция), вел жизнь дворянина, некоторое время служил в армии Морица Оранского, в течение многих лет жил в Голландии и умер в Стокгольме, куда он был приглашен шведской королевой. Вместе с многими другими великими мыслителями семнадцатого века Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке. Так как единственной наукой о природе, обладавшей в известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к пониманию механики давала математика, то математика стала наиболее важным средством для понимания вселенной. Более того, математика со своими убедительными утверждениями сама была блестящим примером того, что в науке

') Сajori F. Indivisibles and «Ghosts of departed quantities» // History of Mathematics Scientia 1925 P 301-306; Hoppe E. Zur Geschichte der Inf'initesimalrechnung bei Leibniz und Newton // Janresb Deufsch Math Verem — 1928 — Bd 37 — S 148—187 Относитсльно некоторых утверждений Хоппе см указанную на с 121 книгу Бойера (С В Воуег), с 192, 206, 209

можно найти истину. Таким образом, механистическая философия этого периода приводила к выводу, сходному с тем, к которому пришли платоники, но исходя из других соображений. И платоники, верившие в авторитет,

Факсимиле страницы из «Геометрии» Декарта

и картезианцы, верившие в разум, считали математику царицей наук.

Декарт опубликовал свою «Геометрию» в качество применения своего общего метода объединения, в данном

случае объединения алгебры и геометрии. Согласно общепринятой точке зрения заслуга книги Декарта состоит главным образом в создании так называемой аналитической геометрии. Верно то, что эта ветвь математики развивалась под влиянием книги Декарта, но «Геометрия» сама по себе вряд ли может рассматриваться как первый трактат по этому предмету. Там нет «декартовых осей», там не выведены уравнения прямой линии и конических сечений, хотя одно частное уравнение второго порядка истолковывается как определяющее собой коническое сечение. Более того, значительная часть книги представляет собой теорию алгебраических уравнений, там содержится «правило Декарта» для определения числа положительных и отрицательных корней.

Нам следует иметь в виду, что Аполлоний определил конические сечения с помощью того, что мы сейчас, следуя Лейбницу, называем координатами, хотя числовых значений они не имели. Широта и долгота в «Географии» Птолемея были уже числовыми координатами. Папп в свое «Собрание» включил «Сокровищницу анализа» (Analyomenos), где нам надо только модернизировать обозначения, чтобы получить последовательное применение алгебры к геометрии. Даже графическое представление встречается до Декарта (Орезм). Заслуга Декарта прежде всего состоит в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрическому анализу древних и таким образом в огромной мере расширил область ее применимости. Затем заслугой Декарта является то, что он окончательно отбросил ограничение однородности его предшественников, что было недостатком и «видовой логистики» у Виета. Теперь х², x³, ху рассматривались как отрезки. Алгебраическое уравнение стало соотношением между числами — новый шаг вперед по пути математической абстракции, необходимый для общей трактовки алгебраических кривых, и это можно рассматривать как окончательное принятие Западом алгоритмической алгебраической традиции Востока. В обозначениях Декарта многое уже является современным: мы находим в его книге выражения вида

которые отличаются от наших собственно только тем, что Декарт еще пишет аа вместо а² (что мы еще встречаем даже у Гаусса), хотя он пишет а³ вместо ааа, а⁴ вместо

аааа и т. д. В его книге разобраться нетрудно, но не следует там искать нашей современной аналитической геометрии.

Несколько ближе к такой аналитической геометрии подошел Пьер Ферма, юрист из Тулузы, который написал небольшую работу по геометрии, вероятно, до издания книги Декарта, но эта работа была опубликована только в 1679 г. Во «Введении» (Isagoge) Ферма мы находим уравнения

у = тх, xy=k²

x² + у² = а², х² ± a²y² = b²

для прямых линий и конических сечений относительно некоторой системы (обычно перпендикулярных) осей. Впрочем, эта работа выглядит более архаичной, чем «Геометрия» Декарта, так как она написана в обозначениях Виета, а к тому времени, когда было напечатано «Введение» Ферма, уже появились другие работы, в которых алгебра была применена к результатам Аполлония, — прежде всего «Трактат о конических сечениях» (Tractatus de Seclionibus conicis, 1655 г.) Джона Валлиса и, частично, «Основы кривых линий» (Eleraenta curvarum linearum, 1659 г.), написанные Иоганном де Виттом, великим пенсиооарием Голландии. Оба труда создавались под прямым влиянием Декарта. Однако прогресс шел очень медленно, и даже в книге Лопиталя «Аналитический трактат о ко нических сечениях» (Traite analytique des Sections co niques, 1707 г.) мы находим немногим больше, чем перевод Аполлония на язык алгебры. Все эти авторы не решались допускать отрицательные значения для координат, Первым, кто смело обращался с алгебраическими уравнениями, был Ньютон в своем исследовании кривых третьего порядка (1703г.), а первую аналитическую геометрию конических сечений, вполне освободившуюся от Аполлония, мы находим только во «Введении» Эйлера (1748г.). 4. Появление книги Кавальери побудило многих математиков различных стран заняться задачами, в которых применялись бесконечно малые. К основным проблемам стали подходить более абстрактным образом и при таком подходе выигрывали в общности. Задача о касательных, состоявшая в отыскании метода для проведения касательной к заданной кривой в заданной точке, все более и более выдвигалась на первый план наряду со старыми проблемами определения объемов и центров тяжести. В этой

з

Рене Декарт (1597-1650)

адаче выявились два направления, геометрическое и алгебраическое. Последователи Кавальери, особенно Торричелли и Исаак Барроу, пользовались греческим методом геометрического рассуждения, не слишком заботясь о его строгости. Христиан Гюйгенс тоже явным образом тяготел к греческой геометрии. Но были другие, в частности Ферма, Декарт и Джон Валлис, у которых проявлялась противоположная тенденция— они применяли новую алгебру. Практически все авторы, писавшие в 1630—1660гг. ограничивались вопросами, касавшимися алгебраических кривых, в частности кривых с уравнением а^myⁿ=bⁿx^m. Они находили, каждый своим способом, формулы, равносильные формуле сначала для целого положительного т, затем для т целого отрицательного и дробного. Иной раз появлялась неалгебраическая кривая такая, как циклоида (рулетта), исследованная Декартом и Блезом Паскалем. «Общий трактат о рулетте» (Traite general de la roulette, 1658 г.) Паскаля (часть небольшой книги, опубликованной под именем А. Деттонвиля) оказал большое влияние на молодого Лейбница ¹).

В этот период начали обозначаться некоторые характерные черты анализа. В 1638г. Ферма открыл метод нахождения максимумов и минимумов с помощью незначительного изменения переменного в простом алгебраиче

') Bosnians H. Sur 1'oeuvre mathematique de Blaise Pascal Revue des Questions Scientifiques.— 1929,

ском уравнении с последующим обращением этого изменения в нуль. Этот метод был перенесен на более общие алгебраические кривые Иоганном Гудде, бургомистром Амстердама, в 1658г. Проводили касательные, вычисляли объемы и центры тяжести, но по-настоящему еще не уловили связи между интегрированием и дифференцированием как обратными операциями, пока это не было показано (1670 г.) Барроу, но в тяжеловесной геометрической форме. Паскаль при случае пользовался выражениями, куда входили малые количества и в которых он опускал члены более высокого порядка малости, предвосхищая спорное допущение Ньютона, что (х+dx)* (y+dy) — xy = xdy+уdx. Паскаль защищал свой прием, ссылаясь на интуицию больше, чем на логику, чем предвосхитил критику Ньютона со стороны епископа Беркли ¹).

При этих поисках нового метода схоластические представления применялись не только Кавальери, но и в трудах бельгийского иезуита Григория Сен Венсана и его учеников и помощников Пауля Гульдина и Андре Такке, Эти люди вдохновлялись и духом своей эпохи, и средневековыми схоластическими писаниями о природе континуума и о протяженности форм. В их работах впервые появляется термин «исчерпывание» для обозначения метода Архимеда. Книга Такке «О цилиндрах и кольцах» (1651 г.) оказала влияние на Паскаля.

В эпоху, когда не существовало научных журналов, такая лихорадочная активность математиков находила свое выражение в оживленной переписке ученых и в деятельности дискуссионных кружков. Основной заслугой иных ученых было то, что они являлись как бы центрами научных связей. Более всего известен в этом отношении Марен Мерсенн, чье имя как математика сохранилось в термине «числа Мерсенна». В переписке с ним состояли Декарт, Ферма, Дезарг, Паскаль и многие другие ученые²). Из дискуссионных кружков ученых вырастали академии. Они возникали в некотором роде как оппозиция университетам. Университеты развивались в период схоластики (за некоторыми исключениями, как Лейденский университет) и оставались покровителями средневекового подхода, требовавшего изложения науки в застывших

Характеристики

Список файлов книги