Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Применяя к х, рекурреитную формулу хг = хг-~ — 1ь ° 4! (г ! 2, ° ° .), Г ((хг — ~) 3 ~ /'(")! Указание. Вычесть первую строку из остальных, затем прибавить к первому столбцу сумму остальных столбцов н применить обычную формулу к элементам первого столбца. П.5, Пусть А — симметричная матрица. Доказать, что характеристические числа А' являются квадратамн характеристических чисел А. Указание. Записать А в виде РЛР', где Л вЂ” диагональная матрица (Х~би) н Р'Р = 1.
Образовать А'. 11,6. Доказать, что для симметричной матрицы А равенство А Аз верно тогда и только тогда, когда каждое характеристическое число А равно О нлв 1. И. 7. В втой книге нас обычно интересует только существование преобразования, приводящего к главным осям.
В серии задач П. 7 — П.!О мы установвм, как его можно вычислить фактически. Пусть А1л"л' — симметричная матрица н (Ли ..., Х,) — ее характеристические числа. Вектор р чь О, удовлетворяющий равенству (А — )г1)р О, называется собственным вектором матрицы А, соответствующим характеристическому числу Ц. Доказать, что собственные векторы, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональиы. г т Указание. Умножить слева на р) н р) соответственно и сложить (А — Х 1) р = О н (А — Х .1) р ° О. И.8.
ПуСтЬ Ащ"н' СИММЕтрнЧва, а ОртОГОНаЛЬНая Матрица Рхлтгн! те. коза, что Р'АР является диагональной с диагональными злементами (Хь ..., Х,). Обозначим через (рь ..., р ) столбцы Р. Показать, что р = рг является собственным вектором А, соответствующим характеристическому числу Ц. Указание. Рассмотреть соответствующие столбцы в АР = РЛ (где Л определено в задаче П. 5). П.9. Пусть Я = х'Ах, где ПРИЛОЖЕНИЕ И где ('(х) — производная [(х) (в случае многочлена ['(х) = ла«х"-~ -~- +(л — 1)а,х"-'+...
+а««), получим последовательно хо х«, х«, ..., При возрастании г величина х, сходится к Х, эа исключением того случая, когда начальная аппроксимация х« не была достаточно хорошей. Сходнмость мож. но показать, рассматривая в окрестности х = й график [(х) и последова. тельность треугольников, г-й треугольник (г = 1, 2, 3, ...), который обра. вуется касательной к графику в точке (х,-«, ((х, ~)), ордйиатой в х, ~ н осью х; пересечением касательной с осью х является х,, Используя этот метод, найти с точностью до одной тысячной характеристические числа матрицы А= 2 — 1 б Указание. Корни расположены в окрестностях — 4, 2 и 8.
П. 11. В задаче 1. 3 (ш )( л).матрица (ап) называется магриней коэффициентов, а [т )«(л + !)).матрица, полученная из (аи) добавлением справа столбца иэ чисел (сД, называется расширенной латринед Сформулировать условия в б) и в) задачи !.3 в терминах рангов матрицы коэффициентов н расширенной матрицы. П.!2. Показатгь что матрицы вида по отношению к сложению н умножению ведут себя так же, как комплексные числа з = х+ гр.
П.13. Назовем (т~(л)-матрицу «матрицей типа Тъ, если все ее диаго. нальные элементы равны между собой и равны между собой все неднагональные элементы. Доказать, что умножение матриц типа Т коммутативно и что произведение и разность матриц типа Т явллются тоже матрицами типа Т. П.!4. Доказать. что матрица типа Т (задача П.13) с диагональными элементамн, равными а, недиагональными, равнымн Ь, н с определителем Ь =(а — Ь) [а+(л — 1)Ь) Ф О имеет обратную матрицу, которая является матрицей типа Т.
Найти обратную матрицу. Указание. Сначала допустить, что обратная матрица является матрнцей типа Т с х на диагонали н с у вие. Получить два уравнения для х и Ти решить их. Проверить непосредственно, что определенная таким образом матрица типа Т действительно является обратной. П.
15. Рассматриваются [(2л))((2л))-матрицы типа А ( ), где Ту, У, )У вЂ” матряцы типа Т (задача П. 13). Пусть матрица М = ТЛУ вЂ” Уэ невырождена. Доказать, что А имеет обратную, определяющуюся по формуле (Х Т) где Х = !УМ ', У = — УМ-',Х = 0М ', и что асс матрицы М, М-', Х, У, Я являются матрицами типа Т. П.18. Пусть А и  — матрицы размеров соответственно (т )« л) и (л )«и), Доказать, что матрицы АВ н ВА имеют одно и то же множество характеристических чисел.
злддчи Указание *!. Доказать тождество (Дум — АВ А )(ущ 0 ) (/аг 0 )(Дуга А ) 453 где 1, — единичная матрица порядка г; переходя к определителям в атом тождестве, показать, что !Дуга — АВ! Дч=!Лр„— ВА ~ Лж. П. !7. Пусть А н  — квадратные матрицы, причем А невырождена.
Доказать, что ! А ! 1  — т'А ~ «г' ~, и что если В тоже неаырождена, то последний определнтель можно записать в виде ! — !гА ~У! !В!~! — МА гиВ Указание. Доказать тождество ( — УА !и)(У В)~ 0 уа) (Π — УА ~В) '! Доказательства, предложенные в указаннях к задачам П.16 н П.!7, взяты нз работы Афрайта «Ог!Ьойопа! апб оЫ!йце рго!ес!огз апб !Ье сЬагас!епзИсз о1 ра1гз о1 чес1ог врасез», 5. Ь!. А1га!1, Ргос.
СаптЬг!Ойе РЬВоз. Зос, т, 53 (!957), стр. 802. где 1 н 1,— единичные матрнцы такнх же порядков, как А н В соответственно; перейти к определителям в атом тождестве. Приложение ЕП ЭЛЛИПСОИДЫ И ИХ ОПОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ*) В атом приложении изложены в матричных обозначениях некоторые факты аналитической геометрии.
Мы будем рассматривать некоторые множества точек в п-мерном евклидовом пространстве. Условимся говорить «точка х» в том смысле, что «точка расположена на конце вектора х, проведенного из начала координат», аналогично «точка а» и т. д. Определим сферу (и-мерную) радиуса г с центром в точке а как множество всех точек, расстояние которых от а не превосходит г, т. е. как множество точек х, удовлетворяющих неравенству )(х — а(((г или ((х — а)(я(га. При а=О и г=1 получим сферу х'х ~ 1, (111. 1) которую мы назовем единичной сферой с центром в начале координат.
Единичную сферу с центром в начале координат, равномерно, растянутую по осям, назовем каноническим эллипсоидом. Будем говорить, что множество точек получено равномер. ным растяжением в сг раз (сг) 0) по хг-оси, если каждая его точка получена перемещением по линии, параллельной хсоси так, что ее !'-я координата х! умножается на сь Тогда старое х! равно новому хь деленному на сц таким образом, если множество точек, предназначенное для растяжения, задано **) уравнением или неравенством, то растянутое множество можно ') Опорные плоскости эллипсоида являются его касательными плоскостями. В наших статистических приложениях в Я 3.5 н 3.! понятия опорной н касательной плоскостей совпали. Однако опорные плоскости не всегда яв.
лаются касательными, например, в выпуклом многограннике ($3.7) каса. тельными плоскостямн являются только те плоскости, которые совпадают с гранямн; в этом случае мы использовали понятие опорной плоскости. **) В принципе любое множество точек Я может быть определено уравнением пли неравенством. Пусть функция да(х) равна ! прн хан 5 и 0 в остальных случаях; Еа(х) называется харакгеристичесной функцией Я. Множество 5 можно определитЬ уравнением Еа(х) = ! или неравенствон да(х) ) О, ЭЛЛИПСОИДЫ И ИХ ОПОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ 455 задать, заменяя в уравнении или неравенстве старое множество х1 на х;/сь Отсюда следует, что результат растяжения по нескольким осям не зависит от порядка выбора осей, по которым последовательно проводится растяжение.
Растяжение с гн ~ 1 является фактически сжатием. Если единичная сфера с центром в начале координат (И1.1) растягивается по осям с оь сь ..., с„, то результирующий канонический эллипсоид удовлетворяет неравенству (И1. 2) Числа (с;) называются полуосями эллипсоида. Если мы впишем (И1.1) в куб (х;( 1 (1=1,...,П), то сфера и куб будут растянуты в эллипсоид (И1.
2) и параллелепипед ~х;~ ( сь причем эллипсоид будет вписан в параллелепипед; интуитивно это очевидно из геометрических соображений; строго — можно доказать, используя результаты об опорных плоскостях сферы и эллнпсоида. Канонический эллипсоид симметричен по всем координатным плоскостям, так как замена х~ на — х; не меняет (Ш.2), следовательно, начало координат мы можем назвать его центром. Эллиасоидом назовем множество точек, которое сдвигом с последующим ортогональным преобразованием может быть переведено в канонический эллипсоид. Сдвиг множества на вектор а состоит в том, что каждая точка х этого множества перемешается в точку х+ а.
Это приводит к тому, что множество, определенное уравнением или неравенством, может быть сдвинуто на вектор а заменой х на х — а или х; на х,— аь где а=(аь...,а„). Напомним, что геометрически ортогональное преобразование является вращением плюс возможные отражения в координатных плоскостях. Центром только что определенного эллипсоида является точка, которая переходит в центр канонического эллипсоида. Мы получим следующий основной результат: если М вЂ” симметричная положительно определенная матрица, то неравенство (х — а)'М(х — а) ~ 1 (И1.
3) определяет эллипсоид с центром в а. Сначала мы проведем сдвиг множества (1И.З) на вектор — а. Замена х на х+а дает х'Мх ( 1. (И1. 4) Из теоремы 6 приложения И известно, что существует ортогональное преобразование, которое приводит (1И,4) к виду в А,х',~(1, где ()1) — характеристические числа М (коорди- $ 1 456 ПРИЛОЖЕНИЕ Н2 наты преобразованных точек мы будем тоже обозначать через (Х2), а не через (у;), как в теореме 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
