Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Произведение будем обозначать АВ, так что С = АВ. Раскрывая это определение, мы скажем, что элемент в 1-й строке и й-м столбце АВ был получен попарным умножением элементов в 1-й строке А на соответствующие элементы в Ь-м столбце В и суммированием (как в определении скалярного произведения векторов). Отметим, что произведение матриц определяется только в том случае, когда первая матрица имеет столько столбцов, сколько вторая строк; если матрицы имеют размеры (т Ха) и (а)1',г), то произведением будет (туг)-матрица. Отметим, что матричное умножение некоммутагивно.
Если А является (т )1', п)-матрицей,  — (а Х г)-матрицей, то АВ определена, а ВА не определена, за исключением случая, когда т = и. Даже в этом случае обычно АВ Ф ВА. Например, ' мАГРичнхя АлГеБРА 437 Матрица называется нулевой л1атрицей и обозначается О< ял1 или О, если каждый ее элемент равен О.
Результат умножения любой матрицы на нулевую слева или справа (с необходимым числом строк или столбцов) является нулевой матрицей. Это свойство аналогично свойству системы действительных чисел. Однако важно отметить, что имеется следующее отличие: произведение АВ может быть равно О, тогда как А Ф О н В Ф О (например, (И.
6)). Вектор х с и координатами можно рассматривать как (и Х1)-матрицу (или «столбцевую матрицу»). Вместо записи х в виде (1.1) теперь мы можем использовать более удобную запись х = (х1, хв ..., х,)'. Отметим, что три векторные операции х+у, сх н х'у, определенные в приложении 1, согласуются с соответствующими матричными операциями сложения, умножения на число, матричного умножения; так, например, У Ул л я, Ял хГУ; 1=1 х у= =(Х1, ХМ ..., Хл) ял Ул Ул Так как столбцы матрицы можно рассматривать как векторы или столбцевые матрицы, то мы можем образовать их линейные комбинации; аналогичные утверждения верны для строк.
Интерпретация матричного умножения, которую мы будем часто использовать, состоит в том, что Ф-й столбец АВ является линейной комбинацией столбцов А с коэффициентами, равными элементам й-го столбца В. Это следует из определения 4, по которому й-й столбец АВ равен а11Ь!А -1 азГЬГА 1 лп лц =ХЬУА 7-1 (11. 7) Д п~ГЬГ» Здесь линейная комбинация столбцевых матриц правой части вычисляется по определениям 3 и 2. Аналогично мы можем заключить, что 1-я строка АВ является линейной комбинацией строк В с коэффициентами, равными элементам 1.й строки А. Для того чтобы вспомнить, из каких множителей образуются столбцы произведения, нужно помнить, что если А — матрица ПРИЛОЖЕНИЕ П размеров ((ПХ и), а  — размеров (ЛХг), то АВ является (л) Х г)-матрицей; таким образом, столбцы АВ имеют т элементов и, следовательно, должны образовываться из столбцов А; аналогичные рассуждения можно провести и для строк.
Свойства матричного умножения Пусть А<"'"'" В<"х'), С<"х') и Р('"Р) — матрицы, а с — число. По определениям легко проверить следующие равенства, связывающие три матричные операции: А(В+ С) = АВ+ АС, (В+ С)Р = ВР+ СР, (сА)В = А(сВ) = с(АВ) = сАВ, (АВ)' = В'А', (АВ) Р = А(ВР) = АВР. Из последнего равенства следует, что скобки могут быть поставлены илн опущены, если рассматривается произведение конечного числа матриц. Матричные обозначения позволяют более просто выражать линейные преобразования. Например, если мы обозначим через и), к, у векторы (Р( У1 М1 У1 (1 Х 1) (2Р Х 1) х(" Х ')— (Р) тл Ут то преобразования (11.1) и (11.3) можно записать в виде и=Ах, (11. 8) х= Вп), (П.
9) н тогда результирующее преобразование (11.4), получающееся подстановкой (П,9) в (П.8), принимает вид у = АВто. Определители Мы введем определитель (А( квадратной матрицы А посредством указания некоторого способа его вычисления, а его обычное определение давать не будем. Значение определителя (чнсло) может быть вычислено последовательным применением замечания, сделанного после теоремы 3 настоящего параграфа. Каждое применение этого свойства понижает порядок определителя на 1; в конце концов мы получим определители порядка 1, равные единственному элементу, из которого они состоят. Говорят, что (А~ и А имеют аорядок и, если А является (лр,'и)-матрицей. Сформулируем некоторые определения и теоремы об определителях. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА Те о рема 1.
Если А является (пХ п)-л<атрицей, то (А'(= = (А(. Те о рема 2. Если А и  — квадратные /яатрицы порядка и, то (АВ) = (А( ) В(. Определение 5. Алгебраическия дополнением Ап элемента а// матрицы А порядка и называется умноженный на ( — 1)'+/ определитель матрицы порядка и — 1, которая получается из А вычеркиванием /-й строки и /что столбца, НапРимеР, алгебРаическое дополнение азз матРицы А'зхм = = (ан) равно Т е о р е м а 3.
Если А является (и Х и) -матрицей, то ~, амАИ вЂ” — Ьз< ~ А 1, 2 амАΠ— — бд/( А ). (Н,!О) / < / < 1А) = й = / мы получим формулу В частности, при Л = Х а//А//, полезную / < мер, для вычисления определителя. Напри- ! аз< ан азз аз~ езз азз Рассмотрим матрицу А<"хзп =(ац), у которой а</ = О при <'чь / (в этом случае А называется диагональной жатрицей). Последовательным применением правила понижения порядка можно показать, что определитель диагональной матрицы <А) равен произведению аи а/и ... а„диагональных элементов А. Определение 6. Квадратная матрица А называется вырожденной, если (А ~ = О, и невырожденной, если ! А ( ~ О, Обратная матрица р<зхп к<зхи Матрица тождественного преобразования равна ! 0...0 <ззх / 0 ! ° ° ° 0 0 0 ...
! (И. 11) Это преобразование является специальным случаем преобразо- вания у = Ах при А = Е 440 пгиложение11 Определение 7. 1ых">, определенная в (11.11), пазы. вается единичной натрицей порядка н. При любых матрицах А<"""| и В<"хо мы имеем 1В = В, А1= А (наиболее просто это можно показать по правилам, установленным в связи с (П. 7) ). Отметим также, что !1~ = 1. Определение 8. Если для матрицы Аыню существует матрица Выкю такая, что ВА = АВ =1, то В называется обратной матрицей А и обозначается через В = А-'. Отметим, что обратная матрица определяется только для квадратных матриц.
Те о р е м а 4. Матрица Аых"> имеет обратную тогда и только тогда, когда А невырождена. В этом случае А-' единственна, и если н ) 1, то (1,!)-элемент А-' равен А| /!А( (индексы пере- ставлены!). Д оказ а тельство. Если А имеет обратную А-', то 1 = = !1( = 1АА — '( = !А( 1А-' ( и, следовательно, 1 А( Ф О. Обратно, пусть !А(Ф О. Если А имеет порядок 1, то А =(а), а чь О н (1 К 1) -матрица В = (а-') удовлетворяет равенствам ВА = = АВ = 1; следовательно, В является обратной матрицей А. Прн и ) 1 определены числа Ь|| — — Аи/)А(. Если В = (Ь|;), то по теореме 3 (й !)-й элемент ВА равен ~ Ьма|и = !А '~ ~ аыАы — — б,|.
Таким образом, ВА=1; аналогично находим, что АВ = 1. Следовательно, В является обратной матрицей А. Предположим, что С вЂ” другая обратная матрица. Тогда ВАС = (ВА) С = 1С = С и ВАС = В(АС) = В1 = В. Отсюда следует, что В = С. Итак, А-' = В единственна. 3 а меча н не. Чтобы проверить, что Мы""> является обратной матрицей А, достаточно проверить, что МА =1 (или что АМ = 1). Действительно, переходя к определителям в равенстве МА = 1, мы видим, что 1А ~ Ф О; следовательно, по теореме 4 А-' существует.
Умножая МА справа на А-', получаем М = А-'. Л ем ма 1. Если Аых"> невырождена, то обратная матрица транснонированной является транспонированной обратной, т. е. (А') — ' = (А-')'. Д о к а з а т е л ь ст в о. По теореме 1 А' также не вырождена; следовательно, по теореме 4 существует обратная матрица, которую мы обозначим через В =(А')-'. Транспонируя равенство А'В = 1, получаем В'А = 1'=1. Следовательно, по сделанному выше замечанию В'= А-' или В =(А-')', т. е.
(А')-' = (А-')'. Л е м м а 2. Если Аы~"> и Вы""! невырождены, то их произведение тоже невырождено и (АВ)-' =  — 'А-'. мАтричнАя АлГеБРА Доказательство. Если (А)~ О, (В) Ф О, то ~(АВ~(=- =(А) ~(В (чь О, так что АВ тоже невырожденная матрица. Кроме того, (В-'А-') (АВ) =  — ' (А-'А) В = В-'1В = В-' В = 1. Отсюда следует, что (АВ) — ' = В-'А — '. Ранг матрицы Как было отмечено раньше, в матрице Аы"м1 = (а1,аз,... ...,а ) столбцы а„..., а можно считать векторами в )г„.
О п редел е н и е 9. Рангом А = (а1, аж..., а„) называется максимальное число линейно независимых векторов множества (а1,...,ам), т. Е. раЗМЕрНОСтЬ ВЕКтарНОГО ПрОСтраНСтВа, ПОрОжденного столбцами А. Пример. Пусть определитель (Аыи"~1 не равен нулю. Тогда суще. ствует Вс"к "~ такая, что АВ = 1. Положим А (пь ..., и.) и 1 = (рь ... ..., р,), где р являются векторами базиса Эз, введенного после теоремы 1 в приложении 1, Используя интерпретацию матричного умножения, описанную выше (11.7), мы видим, что векторы р, порождающие г'„являются линейными комбинациямн векторов ц, которые, таким образом, тоже должны порождать )г„а следовательно, они являются базисом (г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
