Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 85
Текст из файла (страница 85)
По причинам, которые выяснятся в приложении И, мы обозначим скалярное произведение через Р х у=ух= ~ х;у,. ! ! пгиложение ~ 422 Пусть х, у, х — векторы, а с — число. Легко проверить следующие свойства: х (у+ х) = х'у+ х'х, х'(су) = (сх) 'у = с (х'у), х'х ) О. В действительности х'х = 0 тогда и только тогда, когда х является нулевым вектором, т. е. о о о о х= . Важно отличать нулевой вектор 0= от числа нуль. Отметим, что эти два нуля связаны прн любом хе= Г„соотношением Ох = О. Нулевой вектор О имеет свойство, аналогичное свойству числа 0 (по которому х+ 0 = х при любом числе х), а именно х+О=х при любом х~ У,.
х Ф-у В случае одного, двух нли трех измерений мы соответственно имеем « хх=х, хх=х +х~в, хх=х1+ К + х.';+хм Таким образам, е зтих Рнс. !.4. трех случаях (х'х)'Й* является дли- ной вектора х. Понятие длины естественна обобщается следующим определением. О и р е д е л е н и е 5. Нормой (или длиной) вектора (1.1) (будем обозначать через !! х !!) называется !! х !! = (х'х)ч*.
(1.2) Из (1.2) следует, что !! сх!! = !с)!!х !!. В Ув и Уз скалярное произведение имеет важное геометрическое значение. Любая пара векторов х, у определяет треугольник (см. рис. 1.4). «Теорема косинусов» утверждает, что !! х — у!!в = !!х Р+ !!у!Р— 2!!х!! !!у!! сов сс, где а — угол между х и у. Подставляя в зто равенство !! х — у !!в = (х — у) '(х — у) = х'х — у'х — х'у + у'у, !! х |!в = х'х, !! у Р = у'у н у'х = х'у, получим х'у = !! х !! !! у !! сова. Величина !! х!! сова является алгебраической длиной проекции х на у (зта величина является алгебраической длиной, так как она отрицательна в случае 90 < и < 180'). Следовательно, скалярное произведение х'у равно алгебраической длине проекции одного вектора на другой, умноженной на норму послед- ВвктоРнля Алгавгл него.
В частности, если вектор у имеет единичную длину, т, е. если з у1 = 1, то х'у является алгебраической длиной проекции х иа у, так что вектор (х'у)у совпадает с проекцией х на у (см. рис. 1.5). Обобщим зто понятие на У,. Отметим, что если у — любой ненулевой вектор в У„, то !~у(-'у имеет единичную длину и такое же направ- Ю 1 ление, как у. ! Определение 6. Если х и у являются векторами и ' 0 о век о Ум«««««гй лев»е СвУ1У 'З у !! — »(х у) у называется проек- Рис. 1.5. 44ией х на у.
Мы лучше поймем понятие проекции, когда рассмотрим данное ниже более общее определение (определение 15), частным случаем которого является только что приведенное определение. В терминах скалярных произведений мы определим также важное понятие ортогональности векторов. В Уь два ненулевых вектора, например х, у на рис, 1.4, ортогональны тогда и только тогда, когда а = 90'. Мы условимся считать х и у также ортогональными и в том случае, когда х или у является нулевым вектором, Следовательно, х и у ортогональны тогда и только тогда, когда х'у = О. Это условие используем для определения ортогоиальности в общем случае. О п р е д е л е н и е 7.
В пространстве У„два вектора х, у называются ортогональными тогда и только тогда, когда у=о. Из определения б следует, что в У„ два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда проекция каждого из иих на другой равна нулю. Обозначение. Запись х 3 у имеет тот смысл, что векторы х и у ортогонольны. О предел ение 8. Пусть (аь ам ..., а,) — множество з векторов в У,. Векторным пространством У, порожденным векторами (аь ам ..., а ), называется множеством всех векторов, состоящее из 0 и линейных комбинаций векторов аь аы ..., а,. Обозначение (аь аз, ..., а ) нужно понимать как (а|, а2) при з = 2, (а1) при з = 1 и как пустое множество при в = О.
Включение О вместе с аь аь ..., а, в определение 8 удобно (см,, например, лемму 2) тем, что в случае пустого множества мы имеем пространство, состоящее только из О. В определении 8 У называют также линейным подпрострон. ством У,. «Линейным» оно называется на основании следующего легко проверяемого свойства: если х и у принадлежат У, то ах+ Ьу при любых числах а и Ь тоже принадлежит У. Да ПРИЛОЖЕНИЕ ! лее, У называется ноднространством У„ (обозначается так: У с Р«), так как из х ее 'Р' следует, что х ея У„ (символы ее и с являются символами включения; символ ея означает «является элементом множества» или «принадлежит множеству», а «:.— «является подмножеством множества»). Рассмотрим в У, два ненулевых и непараллельных вектора и и о.
Если У состоит из линейных комбинаций и н о, то У является плоскостью. Если !е — любой вектор У, то линейное пространство, порожденное расширенным множеством (и,о„тв), снова совпадает с У. Отсюда возникает потребность охарактеризовать минимальное множество векторов, порождающее линейное пространство. Определение 9. В Р„векторы (р!,рз,...,р,) называются линейно зависимыми, если существует множество чисел (сьсм..„с,), в котором не все числа равны нулю, и такое, что с!р!+ сзрз+ ... + с4, = О. Если такого множества чисел не существует, то векторы (р!, )!ы..., О,) называются линейно независимыми. Пустое множество условимся считать множеством линейно независимых векторов. Таким образом, при г) ! векторы (р!,(4, ",)),) линейно независимы тогда и только тогда, когда не существует вектора, являющегося линейной комбинацией других векторов; при г = ! (!)!) линейно независим в том и только в том случае, когда ))! Ф О, при г = О имеем пустое множество, которое всегда является множеством линейно независимых векгоров.
Итак, в каждом случае векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда среди этих векторов нет вектора, который входит в векторное пространство, порожденное другими векторами. Отсюда следует, что множество линейно независимых векторов не может содержать нулевого вектора и что любое подмножество этого множества также является множеством линейно независимых векторов. В предыдущем примере векторы (и,о) линейно независимы, а (и,п,те) — линейно зависимы. Установим следующую полезную лемму, Лемма 1. Если ненулевой вектор О не является линейной комбинацией множества (а!, ам..., а,) линейно независимых векторов, то (а!, ак ..., а„и тоже является множеством линейно независимых векторов. Дока з а тел ь ство. Если множество (ан .,а,) пусто, то лемма очевидна. Предположим теперь, что это множество непусто и что утверждение леммы неверно.
Тогда существуют постоянные с!, ..., с„с, не все равные нулю, такие, что с!а!+ ... + с,а, + с() = О. Если с равно нулю, то по крайней мере одно из (с;) должно быть отлично от нуля и тогда (а!) удовлетворяют равенству с!а! + ... + с,а, = О, что противоречит линейной независимости (а!). Таким образом, с ~ О вектотнля ллгввтк 426 и (1= — ~, (с!/с) а! является линейной комбинацией (а!). По. ! ! лученное противоречие доказывает лемму. 3 а м е ч а ние. Ограничение, заключающееся в том, что О— ненулевой вектор, исключает случай, когда (а!,...,а,) — пустое множество и 0 = О. О п р е д е л е н и е 10.
Базисом векторного пространства называется множество линейно независимых векторов, которое порождает 1/. Лемм а 2. Каждое векторное пространство имеет базис. Доказательство. По определению 8 существует множество (а!,...,а«), которое порождает )/. Если это множество пусто, то оно является базисом 1/ ()/ состоит только из 0). Если (а!, ..., а,) не пусто, но все он = О, то снова получим 1/ с таким же базисом. Пусть теперь имеется по крайней мере одно вв ~ О. Тогда мы образуем подмножество («4!,...,а,) путем выбрасы.
ванна всех аь равных нулю. Затем начнем последовательно рассматривать оставшиеся ак если рассматриваемое а! не является линейной комбинацией уже рассмотренных и оставленных векторов, то оно сохраняется, а в противном случае отбрасывается. Этот процесс можно начать с а!, не равного нулю. Из леммы 1 следует, что полученное таким путем подмножество будет линейно независимым. Очевидно, что отбрасывание «4! по описанному выше процессу не уменьшает пространства, порожденного оставшимися а!. Действительно, пусть через О!, ..., (1«обозначены отброшенные («4!), а через т!, ..., у, оставшиеся (д+ т = з).
Тогда каждый х~ 1/ является линейной комбинацией (а!, ..., а,) = « = ф!,..., )1«, у!,..., 1!,), например, х = ~3'"„а!(1! + ~" Ь/у/. Но ! ! / ! каждое 11! является линейной комбинацией у/, например, (1! = ~ с!/1!/ и, следовательно, х есть линейная комбинация « только 1!!.. так как х= ~ д/у/, где д/=Ь/+х а!с!/. Итак, по/ ! ! лученное подмножество является базисом 1/. О и р е д е л е н и е 11. Размерностью векторного пространства 1/ называется число векторов в любом базисе 1/. Отсюда следует, что размерность векторного пространства, состоящего только из О, равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
