Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 84
Текст из файла (страница 84)
мится к нулю. Не предполагайте нормальности и равенства дисперсий. Указание. Используя формулы (10.2.12) и (10.2.13) для асимптотики среднего и дисперсии величины (10.2.10), докажите, что дисперсия заключена между 8 и 1)8, а среднее стремится к бесконечности. 10А. Пусть в 1-критернн проверки разности двух средних обычная оценка / -! ч †! эм/2 СтаидартНОГО ОтКЛОИЕяня Ю. — дз. ЗаМЕНЕНа На (У! З; + У З у (В ОбО- значениях (102.10)). Покажите, что если У, и Уз-ьсо, а отношение (? = ?~?Уз постоянно, то получающийся критерий имеет правильный уровень значимости вне зависи. мости от значения 8 = о !)'ат. т! 2 10.6. В задаче 10.4 неважно, какое число ч степеней свободы мы прн. нялн в приближенном У.распределении, лишь бы ч аь вместе с У~ и Уз. Какое значение ч надо взять, если пользоваться этим критерием для малых выборок) — ч т Указание, Аппроксимнруйте У, з;+ Уз у'зз величиной с Х и вычислите ч, приравнивая первые два момента этих величин (как в 6 7.5); предполагайте нормальность н неравенство дисперсий.
В окончательной формуле (п~) надо заменить на (зз!). 10.6. В 6 10.2 мы отиетнлп, что при больших л ь' нормальна, а в задаче !тУ. 2 утверждается, чго ц нормальна прн больших ч. Отсюда следует, что прн больших л з То равно с )(ч прв некоторых с и ж тг з э а) Покажите, что прн небольших и у'-аппроксимация хьюз лучше, чем нормальная аппроксимация. злдлчи 417 б) Покажите, что если прп любом и величины с и туг-аппроксимации вычисляются приравниванием первых двух моментов, то с 1/т и и ° (и — 1) (1+ — уз) в) Пусть выборочные дисперсии з, и зз независимы, зг вычисляется по 3 случайной выборке объема ги из популяции с и ог и уз узг. Критерии 3 и доверительные интервалы при сравиеиииатг и пт основываются в нормальной теории на отношении (зЯ)/(оЯ).
Приблизьте его к рчь чг Какой поправочиый множитель необходим к т~ и тм вычисленным в нормальной теории? 10,7. Пусть в двухфакторном анализе число К наблюдений в каждой ячейке велико. Предположим, что (упз) независимы и имеют средине (р+аг+() +угг), где а,=(), уы у, О для всех й (, н диспер. сни (о~?). Покажите, что истинные вероятности ошибок первого рода при проверке гипотезы о том, что все ои = О, всегда превышают номинальный уровень значимости.
Указание. Можно показатгь что вычислении, сделанные для (10.2,1б), можно применить и к настоящему случаю, если определить подходящим образом (Уг) и (оД. 10.8. Неравенство дисперсий может нарушить статистическую независимость оценок н средних квадратов. Это можно показать иа следующем простом примере. Пусть (х~) независимы, нормальны, имеют нулевые средние и дисперсии (~ пгг. Достаточным условием независимости среднего х. или среднего квадзт рата (х, от среднего квадрата ошибок г (хг — и,) ив,чяется то, что все 7 ч 2 (хг — х,) имеют нулевую корреляцию с х..
Покажите, что это условие выполняется только в том случае, когда все (ог) равны. 109. Примените преобразование (!0.7Л) к случаям, когда величина р равна (а) пуассоновской величине, (б) выборочной дисперсии за (уз предполагается известным), (в) выборочному коэффициенту коррелиции г. В случае (в) предположите, что двумерная популяция нормальна, и используйте при. ближеииые равенства') М (г) ~м р, В(г) яэ и-'(1 — р')', где р — коэффициент корреляции в популяции. ') См., например, Крамер (Сгзшег, 1946, $27.8). 14 Г. Шефлэ Приложение 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В этом приложении даются основные понятия векторной алгебры (а в следующем — матричной алгебры), достаточные для понимания этой книги.
Мы ограничимся конечномерным векторным пространством. Математически более привлекательным является абстрактный* ) подход, однако для наших специальных целей он менее подходит. Читатель, желающий ознакомиться более детально с вводимыми ниже понятиями, отсылается к книге Мурдоха (Мпгс)осй, 1957)**).
О п р е дел е н и е 1. Вектором называется упорядоченное множество и действительных чисел ха ха (1. 1) Отметим, что поскольку мы рассматриваем упорядоченные множества чисел, то векторы ) и й различны. (Действительными числами являются числа, используемые в аналитической геометрии и в вычислениях, как, например, 2; -1; 1,67; и; е; ьа7. Будем предполагать, что читатель знаком с изображением действительных чисел на числовой оси. Недействительными (комплексными) числами являются, например, )/ — 1 и 2+31/ — 1.) «) Абстрактный подход раавнт, например, а книге Бнркгофа н МакЛейна (В)гййоИ, Масдапе, !953). *') См. также Д.
В. Беклемишев, Курс аналнтнческой геометрии н линейной алгебры, «Наука», Москва, 1974. (При.н. перев.) ВвктоРнАя АлГеБРА 419 В определении 1 п чисел записываются обычно в строку (хьхв...,х„); однако, по причине, которая выяснится в приложении !!, для нас удобнее записывать их, как в (1.1), Для любого заданного и множество всех векторов обозначается через Р',.
При и = 1, 2, нли 3 вектор (1. 1) в а-мерном евклидовом пространстве может быть изображен точкой Р с координатами (хьхв...,х„), однако лучше его изображать отрезком прямой, проведенным из начала координат в точку Р; например, изображение ух,1 векторов в $'з см. иа рис. 1. 1. (Иногда более удобно допустить, что вектор ОР изображается также любым отрезком, полученным Ю Хз из отрезка ОР параллельным переносом.) Это позволяет использовать геометрические понятия при х рассмотрении векторов в )Гь Уз или Уз, а затем перенести их на Рнс. 1.!.
случай У„с и.» 3. Так, например, в У» число хь называемое 1-й координатой (или компонентой) нектора, является алгебраической длиной проекции этого вектора на рю координатную осьч мы увидим, что это также верно в )Г,. Обозначение. Вектор (1.1) мы будем обозначать через х. Запись х~ 1'„означает, что х является вектором из Р„. Теперь мы введем основные операции над векторами. О п р е д е л е н н е 2.
Суммой х + у векторов Х~ у> Х,+У, Хз ур Хз+ Уз и у= ' является вектор Х»+ Ул Иными словами, прп сложении векторов складываются их координаты. Геометрически (а теперь мы попытаемся «представить» себе и-мерное пространство подобно тому, как мы представляем себе трехмерное) мы получим рис. 1.2. Этот рисунок показывает, что сумма векторов х и у является проведенной через начало координат диагональю параллелограмма, построенного в «плоскости», определяемой х и у, и имеющего х, и смежными боковыми сторонами. С помощью рис. 1. 2 легко получить другую геометрическую интерпретацию: если сдвинем векторы параллельно себе так, чтобы начало вектора у совпало с концом вектора х, то суммой будет вектор, соединяющий 420 пгиложаииа 1 начало х с концами у. Вторая интерпретация дает более простой геометрический способ сложения более чем двух векторов.
В этом случае вектор не должен рассматриваться как «привязанный» к началу координат, а должен свободно перемещаться в пространстве, оставаясь параллельным себе. Такое перемещение не изменяет значений х М яс'ус1 его координат. йал 1 «Уг"' В элементарной физике Ф векторы используются для изо- „ 1 браження снл.
Направление х ' вектора указывает направле- 0 г ние силы, а его «длин໠— величину силы. Сложение векторов, как мы его определили, Рис. 1.2. эквивалентно сложению соответствующих сил. Если векторы х, у изображают две силы„то вектор х+ у изображает их равнодействующую. Очевидно, что сложение векторов ассоциативно и коммутативно, т. е. если х, у, х являются векторами, то (х+ у)+ а = х+(у+а)= х+у + г и х+у = у+х.
Определение 3. Произаедеиием сх вектора х~ хс иа скаляр с (т. е. на действительное число) называется вектор сх, схс сх„ Геометрическая интерпретация дается рис. 1.3. Введенная операция называется умножением вектора ка скаляр. Оче. видно, что выполняется следующее свойство: если х и у векторы, а с и су числа, то !х=х, с(х+у)=сх+су, (с + Н) х = сх + с(х, с(с(х) = с((сх) = с ох. Векторные операции, которые были определены, позволяют ввести понятие линейной комбинации векторов.
Мы скажем, что ввктогиля ллгавях вектор х является линейной комбинацией векторов аьаь ..., а, с коэффициентами с!, св ..., с, (числамн), если х = с!а! + сзат + ...+ с.а,. Сокращенно это будем записывать в виде х=~ саи ! Если пределы суммирования по ! очевидны, то будем писать х = ~ с;а!, или даже: х = ~ с,а,.Читатель, не освоившийся !сан..., са„ -,хс1 в- ал! Рис.
1.3. с этим обозначением, должен убедить себя, что равенство Г з з Х с,а, = ~~ с!а! аналогично равенству ~ 1(х) с(х = ~ 1(у) ду. !-! у- ! ! Введем третью основную операцию, которая любой паре векторов ставит в соответствие число. Определение 4. Скалярным (или внутренним) произведением двух векторов У! У! н у= Х! х! является число ~с' х;у!,. к-! Ул О б о з н а ч е н и е. Из определения следует, что скалярное произведение коммугативно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
